【高频真题解析】2022年北京市海淀区中考数学模拟考试 A卷（含答案解析）

这是一份【高频真题解析】2022年北京市海淀区中考数学模拟考试 A卷（含答案解析），共28页。试卷主要包含了下列利用等式的性质，错误的是，二次函数y＝等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角，则这个人工湖的直径AD为（ ）m．
A．B．C．D．200
2、某次知识竞赛共有20道题，规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过125分，他至少要答对多少道题？如果设小明答对x道题，根据题意可列不等式（ ）
A．10x﹣5（20﹣x）≥125B．10x+5（20﹣x）≤125
C．10x+5（20﹣x）＞125D．10x﹣5（20﹣x）＞125
3、截至2021年12月31日，我国已有11.5亿人完成了新冠疫苗全程接种，数据11.5亿用科学记数法表示为（ ）
A．11.5×108B．1.15×108C．11.5×109D．1.15×109
4、一列火车匀速行驶，经过一条长400米的隧道需要30秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，则火车的长为（ ）
A．B．133C．200D．400
5、已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（ ）
A．5B．8C．11D．9
6、下列利用等式的性质，错误的是（ ）
A．由，得到B．由，得到
C．由，得到D．由，得到
7、为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（+x)=288B．200（1+2x)=288
C．200（1+x)²＝288D．200（1+x²)=288
8、二次函数y＝（x＋2）2＋5的对称轴是（ ）
A．直线x＝B．直线x＝5C．直线x＝2D．直线x＝﹣2
9、为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》、《新中国史》、《改革开放史》、《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（ ）
A．B．C．D．1
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10、若关于x的不等式组有且仅有3个整数解，且关于y的方程的解为负整数，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、小河的两条河岸线a∥b，在河岸线a的同侧有A、B两个村庄，考虑到施工安全，供水部门计划在岸线b上寻找一处点Q建设一座水泵站，并铺设水管PQ，并经由PA、PB跨河向两村供水，其中QP⊥a于点P.为了节约经费，聪明的建设者们已将水泵站Q点定好了如图位置（仅为示意图），能使三条水管长的和最小.已知，，，在A村看点P位置是南偏西30°，那么在A村看B村的位置是_________．
2、已知点P在线段AB上，如果AP2＝AB•BP，AB＝4，那么AP的长是_____．
3、已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2021＝___．
4、如图，点C是线段AB的中点，点D在线段AB上，且AD＝AB，DC＝2cm，那么线段AB的长为________cm．
5、如图，点、点是线段上的两个点，且，如果AB=5cm，CD=1cm，那么的长等于_______cm．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在四边形ABCD中，BA=BC，AC⊥BD，垂足为O．P是线段OD上的点（不与点O重合），把线段AP绕点A逆时针旋转得到AQ，∠OAP=∠PAQ，连接PQ，E是线段PQ的中点，连接OE交AP于点F．
（1）若BO=DO，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）探究线段PO，PE，PF之间的数量关系．
2、如图1，点A、O、B依次在直线MN上，如图2，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，当其中一条射线回到起始位置时，运动停止，直线MN保持不动，设旋转时间为ts．
（1）当t＝3时，∠AOB＝ ；
（2）在运动过程中，当射线OB与射线OA垂直时，求t的值；
（3）在旋转过程中，是否存在这样的t，使得射线OB、射线OA和射线OM，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分？如果存在，直接写出答案；如果不存在，请说明理由．
3、如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，联结BD并延长，交AC的延长线干点E，求∠ADE的度数．
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4、计算：
（1）；
（2）．
5、如图，四边形ABCD内接⊙O，∠C＝∠B．
（1）如图1，求证：AB＝CD；
（2）如图2，连接BO并延长分别交⊙O和CD于点F、E，若CD＝EB，CD⊥EB，求tan∠CBF；
（3）如图3，在（2）的条件下，在BF上取点G，连接CG并延长交⊙O于点I，交AB于H，EF∶BG＝1∶3，EG＝2，求GH的长．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
连接BD，利用同弧所对圆周角相等以及直径所对的角为直角，求证为等腰直角三角形，最后利用勾股定理，求出AD即可．
【详解】
解：连接BD，如下图所示：
与所对的弧都是．
．
所对的弦为直径AD，
．
又，
为等腰直角三角形，
在中，，
由勾股定理可得：．
故选：B．
【点睛】
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本题主要是考查了圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角和勾股定理，熟练运用圆周角定理以及直径所对的圆周角为直角，得到对应的直角三角形，再用勾股定理求解边长，是解决本题的主要思路．
2、D
【分析】
根据规定每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】
解：由题意可得，
10x-5（20-x）＞125，
故选：D．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
3、D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：11.5亿＝1150000000＝1.5×109．
故选：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4、C
【分析】
设火车的车长是x米，根据经过一条长400m的隧道需要30秒的时间，可求火车速度，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是10秒，可求火车上速度，根据车速相同可列方程求解即可．
【详解】
解：设火车的长度是x米，根据题意得出：=，
解得：x=200，
答：火车的长为200米；
故选择C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量关系，列方程求解．
5、C
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】
解：解不等式x-a≥1，得：x≥a+1，
解不等式x+5≤b，得：x≤b-5，
∵不等式组的解集为3≤x≤4，
∴a+1=3，b-5=4，
∴a=2，b=9，
则a+b=2+9=11，
故选：C．
【点睛】
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本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6、B
【分析】
根据等式的性质逐项分析即可．
【详解】
A.由，两边都加1，得到，正确；
B.由，当c≠0时，两边除以c，得到，故不正确；
C.由，两边乘以c,得到，正确；
D.由，两边乘以2,得到，正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．
7、C
【分析】
设月增长率为x，根据等量关系用增长率表示7月份的销售量与销售288相等，可列出方程200（1+x)²＝288即可．
【详解】
解：设月增长率为x，则可列出方程200（1+x)²＝288．
故选C．
【点睛】
本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．
8、D
【分析】
直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】
解：由二次函数y=（x+2）2+5可知，其图象的对称轴是直线x=-2．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．
9、A
【分析】
直接根据概率公式求解即可．
【详解】
解：由题意得，他恰好选到《新中国史》这本书的概率为，
故选：A．
【点睛】
本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10、C
【分析】
解不等式组得到，利用不等式组有且仅有3个整数解得到，再解分式方程得到· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
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，根据解为负整数，得到a的取值，再取共同部分即可．
【详解】
解：解不等式组得：，
∵不等式组有且仅有3个整数解，
∴，
解得：，
解方程得：，
∵方程的解为负整数，
∴，
∴，
∴a的值为：-13、-11、-9、-7、-5、-3，…，
∴符合条件的整数a为：-13，-11，-9，共3个，
故选C．
【点睛】
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了解一元一次不等式组的整数解．
二、填空题
1、北偏西60°
【分析】
根据题意作出图形，取的中点，连接，过点作，过点作，交的延长线于点，作关于的对称点，平移至处，则最小，即三条水管长的和最小，进而找到村的位置，根据方位角进行判断即可．
【详解】
解：如图，取的中点，连接，过点作，过点作，交的延长线于点
作关于的对称点，平移至处，则最小，即三条水管长的和最小，
此时三点共线，
点在的延长线上，
在A村看点P位置是南偏西30°，
,
是等边三角形
,
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即在A村看B村的位置是北偏西60°
故答案为：北偏西60°
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，方位角的计算，等边三角形的性质与判定，等边对等角，根据题意作出图形是解题的关键．
2、2﹣2
【分析】
先证出点P是线段AB的黄金分割点，再由黄金分割点的定义得到AP＝AB，把AB＝4代入计算即可．
【详解】
解：∵点P在线段AB上，AP2＝AB•BP，
∴点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝AB＝×4＝2﹣2，
故答案为：2﹣2．
【点睛】
本题考查了黄金分割点，牢记黄金分割比是解题的关键．
3、-1
【分析】
由非负数的意义求出x、y的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵（2x-4）2+|x+2y-8|=0，
∴2x-4=0，x+2y-8=0，
解得，x=2，y=3，
∴（x-y）2021=（2-3）2021=（-1）2021=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查非负数的意义，掌握绝对值、偶次幂的运算性质是解决问题的前提．
4、6
【分析】
设AD=xcm，则AB=3xcm，根据线段中点定义求出cm，列得，求出x即可得到答案．
【详解】
解：设AD=xcm，则AB=3xcm，
∵点C是线段AB的中点，
∴cm，
∵DC＝2cm，
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∴，
得x=2，
∴AB=3xcm=6cm，
故答案为：6．
【点睛】
此题考查了线段中点的定义，列一元一次方程解决几何图形问题，正确设出AD=xcm，则AB=3xcm，由此列出方程是解题的关键．
5、2
【分析】
，可知，代值求解即可．
【详解】
解：
，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了线段的和与差．解题的关键在于正确的表示各线段之间的数量关系．
三、解答题
1、（1）见详解；（2）
【分析】
（1）根据线段垂直平分线的性质可知AB=AD，BC=CD，进而根据菱形的判定定理可求证；
（2）连接AE并延长，交BD的延长线于点G，连接FQ，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而可得，然后证明，即有，最后根据勾股定理可求解．
【详解】
（1）证明：∵AC⊥BD，BO=DO，
∴AC垂直平分BD，
∴AB=AD，BC=CD，
∵BA=BC，
∴BA=AD=CD=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：，理由如下：
连接AE并延长，交BD的延长线于点G，连接FQ，如图所示：
由旋转的性质可得AP=AQ，
∵E是线段PQ的中点，
∴，
∵，，
∴，
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∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵AP=AQ，E是线段PQ的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，，
∴在Rt△QFP中，由勾股定理得：，
∵E是线段PQ的中点，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定、等腰三角形的性质与判定、垂直平分线的性质定理、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的判定、等腰三角形的性质与判定、垂直平分线的性质定理、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
2、
（1）150°
（2）9或27或45；
（3）t为、、、、
【分析】
（1）求出∠AOM及∠BON的度数可得答案；
（2）分两种情况：①当时，②当时，根据OA与OB重合前，OA与OB重合后，列方程求解；
（3）射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，②OA分∠BOM为3：2时，③OB分∠AOM为2：3时，④OB分∠AOM为3：2时，⑤OM分∠AOB为2：3时，⑥ OB分∠AOM为2：3时，⑦OB分∠AOM为3:2时，⑧ OA分∠BOM为3:2时，⑨ OA分∠BOM为2:3时，列方程求解并讨论是否符合题意．
（1）
解：当t＝3时，∠AOM=12°，∠BON=18°，
∴∠AOB＝180°-∠AOM-∠BON=150°，
故答案为：150°；
（2）
解：分两种情况：
①当时，
当OA与OB重合前，，得t=9；
当OA与OB重合后，，得t=27；
②当时，
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当OA与OB重合前，，得t=45；
当OA与OB重合后，，得t=63（舍去）；
故t的值为9或27或45；
（3）
解：射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分有以下九种情况：
①OA分∠BOM为2：3时，
∴4t：（180-4t-6t）=2：3，
解得：t=；
②OA分∠BOM为3：2时，
∴4t：（180-4t-6t）=3：2，
解得：t=；
③OB分∠AOM为2：3时，
∵，
∴，
得t=；
④OB分∠AOM为3：2时，
∴，
得t=；
⑤OM分∠AOB为2：3时，
∴，
得t=54，
此时>180°，故舍去；
⑥ OB分∠AOM为2：3时，
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∴，
得，
此时，故舍去；
⑦OB分∠AOM为3:2时，
∴，
得，
此时，故舍去；
⑧ OA分∠BOM为3:2时，
∴，
得，
⑨ OA分∠BOM为2:3时，
∴，
得t=67.5（舍去）
综上，当t的值分别为、、、、时，射线OB、射线OM、射线OA中，其中一条射线把另外两条射线的夹角（小于180°）分成2：3的两部分．
【点睛】
此题考查了角的计算，角的旋转，几何图形中角度的度数比，列一元一次方程，正确画出图形求角度值是解题的关键．
3、110°
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质可求∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，根据等腰三角形的性质可求∠BDA，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．
【点睛】
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本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角，等腰三角形的三线合一”是解本题的关键.
4、
（1）
（2）
【分析】
（1）先计算单项式乘单项式，积的乘方，再合并同类项即可；
（2）利用平方差公式与完全平方公式计算，在合并同类项即可．
（1）
解：，
，
；
（2）
解：，
，
．
【点睛】
本题考查单项式乘单项式，积的乘方混合运算，乘法公式的混合计算，掌握单项式乘单项式，积的乘方混合运算，熟记乘法公式是解题关键．
5、（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）过点D作DE∥AB交BC于E，由圆内接四边形对角互补可以推出∠B+∠A=180°，证得AD∥BC，则四边形ABED是平行四边形，即可得到AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，这DE=CD=AB；
（2）连接OC，FC，设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x，由垂径定理可得，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，则∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，可得∠FBC=∠FCE；由勾股定理得，则，
解得，则；
（3）EF：BG=1：3，即则 解得，则，，，如图所示，以B为圆心，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别过点A作AM⊥BC与M，过点G作GN⊥BC与N，连接FC，分别求出G点坐标为，C点坐标为；A点坐标为
然后求出直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，即可得到H的坐标为（，），则．
【详解】
解：（1）如图所示，过点D作DE∥AB交BC于E，
∵四边形ABCD是圆O的圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠B=∠C，
∴∠B+∠A=180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
号学级年名姓
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 外 · · · · · · ○ · · · · · ·
∴AB=DE，∠DEC=∠B=∠C，
∴DE=CD=AB；
（2）如图所示，连接OC，FC，
设BE=CD=2x，OB=OC=OF=r，则OE=BE-BO=2x-r，EF=BF-BE=2r-2x
∵CD⊥EB，BF是圆O的直径，
∴，∠CEB=∠CEF=∠FCB=90°，
∴∠FBC+∠F=∠FCE+∠F=90°，
∴∠FBC=∠FCE；
∵，
∴，
∴，
解得，
∴；
（3）∵EF：BG=1：3，即
∴ ，即
∴，
解得，
∴，
∴，，
如图所示，以B为圆心，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别过点A作AM⊥BC与M，过点G作GN⊥BC与N，连接FC，
∴，
∴，，
∵，
∴,，
∴,，
∴，，
∴G点坐标为（，），C点坐标为（，0）；
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 内 · · · · · · ○ · · · · · ·
号学级年名姓
· · · · · · 线 · · · · · · ○ · · · · · · 封 · · · · · · ○ · · · · · · 密 · · · · · · ○ · · · · · · 外 · · · · · · ○ · · · · · ·
∵，
∴，
∵∠ABC=∠ECB，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∴，
∴A点坐标为（，）
设直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，
∴，，
∴，，
∴直线CG的解析式为，直线AB的解析式为，
联立，
解得，
∴H的坐标为（，），
∴．
【点睛】
本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数与几何综合，垂径定理，勾股定理，两点距离公式，解题的关键在于能够正确作出辅助线，利用数形结合的思想求解．