高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测09《空间线面位置关系》小题练（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测09《空间线面位置关系》小题练（教师版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图(等腰直角三角形)和侧视图，且该几何体的体积为eq \f(8,3)，则该几何体的俯视图可以是( )
解析：选D 由题意可得该几何体可能为四棱锥，如图所示，其高为2，底面为正方形，面积为2×2＝4，因为该几何体的体积为eq \f(1,3)×4×2＝eq \f(8,3)，满足条件，所以俯视图可以为D.
2．把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱锥C­ABD的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )
A.eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(\r(2),4) D．eq \f(1,4)
解析：选D 由三棱锥C­ABD的正视图、俯视图得三棱锥C­ABD的侧视图为直角边长是eq \f(\r(2),2)的等腰直角三角形，其形状如图所示，所以三棱锥C­ABD的侧视图的面积为eq \f(1,4)，故选D.
3．已知两条不重合的直线m，n和两个不重合的平面α，β，m⊥α，n⊂β.给出下列四个命题：
①若α∥β，则m⊥n；②若m⊥n，则α∥β；
③若m∥n，则α⊥β；④若α⊥β，则m∥n.
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 依题意，对于①，由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则该直线也垂直于另一个平面”得知，m⊥β，又n⊂β，因此m⊥n，①正确；对于②，当α⊥β时，设α∩β＝n，在平面β内作直线m⊥n，则有m⊥α，因此②不正确；对于③，由m∥n，m⊥α得n⊥α，又n⊂β，因此有α⊥β，③正确；对于④，当m⊥α，α∩β＝n，α⊥β时，直线m，n不平行，因此④不正确．综上所述，正确命题的个数为2，故选C.
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．3 B.eq \f(11,3)
C．7 D.eq \f(23,3)
解析：选B 由题中的三视图可得，该几何体是由一个长方体切去一个三棱锥所得的几何体，长方体的长，宽，高分别为2,1,2，体积为4，切去的三棱锥的体积为eq \f(1,3)，故该几何体的体积V＝4－eq \f(1,3)＝eq \f(11,3).
5．某几何体的三视图如图所示，其俯视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )
A．192＋96π B．256＋96π
C．192＋100π D．256＋100π
解析：选C 题中的几何体是由一个直三棱柱和一个半圆柱构成的几何体，其中直三棱柱的底面是两直角边分别为8和6的直角三角形，高为8，该半圆柱的底面圆的半径为5，高为8，因此该几何体的体积为eq \f(1,2)×8×6×8＋eq \f(1,2)π×52×8＝192＋100π，选C.
6.某几何体的三视图如图所示(粗线部分)，正方形网格的边长为1，该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A．15π B．16π
C．17π D．18π
解析：选C 由题中的三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥D1­BCD，将其放在长方体ABCD­A1B1C1D1中，则该几何体的外接球即长方体的外接球，长方体的长、宽、高分别为2,2,3，长方体的体对角线长为eq \r(9＋4＋4)＝eq \r(17)，球O的直径为eq \r(17)，所以球O的表面积S＝17π，故选C.
7．如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(8,3) B．eq \f(4,3)
C.eq \f(8\r(2),3) D．eq \f(4\r(2),3)
解析：选A 记由三视图还原后的几何体为四棱锥A­BCDE，将其放入棱长为2的正方体中，如图，其中点D，E分别为所在棱的中点，分析知平面ABE⊥平面BCDE，点A到直线BE的距离即四棱锥的高，设为h，在△ABE中，易知AE＝BE＝eq \r(5)，cs∠ABE＝eq \f(\r(5),5)，则sin∠ABE＝eq \f(2\r(5),5)，所以h＝eq \f(4\r(5),5)，故四棱锥的体积V＝eq \f(1,3)×2×eq \r(5)×eq \f(4\r(5),5)＝eq \f(8,3)，故选A.
8．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6)
C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
解析：选C 如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝eq \r(12＋1＋12)＝eq \r(5)，FB1＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2，DB1＝eq \r(12＋12＋\r(3)2)＝eq \r(5).
在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FBeq \\al(2,1)＋DBeq \\al(2,1)－2FB1·DB1·cs∠DB1F，即5＝4＋5－2×2×eq \r(5)×cs∠DB1F，∴cs∠DB1F＝eq \f(\r(5),5).
9．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB＝6，BC＝2eq \r(3)，且四棱锥O­ABCD的体积为8eq \r(3)，则R等于( )
A．4 B．2eq \r(3)
C.eq \f(4\r(7),9) D．eq \r(13)
解析：选A 如图，设矩形ABCD的中心为E，连接OE，EC，由球的性质可得OE⊥平面ABCD，所以VO­ABCD＝eq \f(1,3)·OE·S矩形ABCD＝eq \f(1,3)×OE×6×2eq \r(3)＝8eq \r(3)，所以OE＝2，在矩形ABCD中可得EC＝2eq \r(3)，则R＝eq \r(OE2＋EC2)＝eq \r(4＋12)＝4，故选A.
10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．2＋4eq \r(2)＋2eq \r(3) B．2＋2eq \r(2)＋4eq \r(3)
C．2＋6eq \r(3) D．8＋4eq \r(2)
解析：选A 由三视图知该几何体为三棱锥，记为三棱锥P­ABC，将其放在棱长为2的正方体中，如图所示，其中AC⊥BC，PA⊥AC，PB⊥BC，△PAB是边长为2eq \r(2)的等边三角形，故所求表面积为S△ABC＋S△PAC＋S△PBC＋S△PAB＝eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＋eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＋eq \f(\r(3),4)×(2eq \r(2))2＝2＋4eq \r(2)＋2eq \r(3).故选A.
11.把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架中，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形)，则皮球的半径为( )
A．10eq \r(3) cm B．10 cm
C．10eq \r(2) cm D．30 cm
解析：选B 依题意，在四棱锥S­ABCD中，所有棱长均为20 cm，连接AC，BD交于点O，连接SO，则SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq \r(2) cm，易知点O到AB，BC，CD，AD的距离均为10 cm，在等腰三角形OAS中，OA＝OS＝10eq \r(2) cm，AS＝20 cm，所以O到SA的距离d＝10 cm，同理可证O到SB，SC，SD的距离也为10 cm，所以球心为四棱锥底面ABCD的中心，所以皮球的半径r＝10 cm，选B.
12．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点M为CC1的中点，点N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为( )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(1,2)
C.eq \f(1,6) D．eq \f(1,3)
解析：选D 如图所示，在线段DD1上靠近点D处取一点T，使得DT＝eq \f(1,3)，因为N是线段DD1上靠近D1的三等分点，故D1N＝eq \f(2,3)，故NT＝2－eq \f(1,3)－eq \f(2,3)＝1，因为M为CC1的中点，故CM＝1，连接TC，由NT∥CM，且CM＝NT＝1，知四边形CMNT为平行四边形，故CT∥MN，同理在AA1上靠近点A处取一点Q′，使得AQ′＝eq \f(1,3)，连接BQ′，TQ′，则有BQ′∥CT∥MN，故BQ′与MN共面，即Q′与Q重合，故AQ＝eq \f(1,3)，选D.
二、填空题
13．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则三棱锥P­BCE的体积为________．
解析：由题意知S底面ABCD＝2×2sin 60°＝2eq \r(3)，所以S△EBC＝eq \f(\r(3),2)，故VP­EBC＝eq \f(1,3)×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3).
答案：eq \f(\r(3),3)
14．已知直线a，b，平面α，且满足a⊥α，b∥α，有下列四个命题：
①对任意直线c⊂α，有c⊥a；
②存在直线c⊄α，使c⊥b且c⊥a；
③对满足a⊂β的任意平面β，有β∥α；
④存在平面β⊥α，使b⊥β.
其中正确的命题有________．(填序号)
解析：因为a⊥α，所以a垂直于α内任一直线，所以①正确；由b∥α得α内存在一直线l与b平行，在α内作直线m⊥l，则m⊥b，m⊥a，再将m平移得到直线c，使c⊄α即可，所以②正确；由面面垂直的判定定理可得③不正确；若b⊥β，则由b∥α得α内存在一条直线l与b平行，必有l⊥β，即有α⊥β，而满足b⊥β的平面β有无数个，所以④正确．
答案：①②④
15．已知三棱锥S­ABC的顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝4，则此三棱锥的体积为________．
解析：如图，设O1为△ABC的中心，连接OO1，故三棱锥S­ABC的高h＝2OO1，三棱锥S­ABC的体积V＝eq \f(1,3)×2OO1×S△ABC，因为OO1＝eq \r(22－\r(3)2)＝1，所以V＝eq \f(1,3)×2×1×eq \f(\r(3),4)×32＝eq \f(3\r(3),2).
答案：eq \f(3\r(3),2)
16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq \f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5eq \r(15)，则该圆锥的侧面积为________．
解析：如图，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形．设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝eq \r(2)r.在△SAB中，cs∠ASB＝eq \f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq \f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq \f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq \f(1,2)×(eq \r(2)r)2×eq \f(\r(15),8)＝5eq \r(15)，解得r＝2eq \r(10)，∴SA＝eq \r(2)r＝4eq \r(5)，即母线长l＝4eq \r(5)，∴S圆锥侧＝πrl＝π×2eq \r(10)×4eq \r(5)＝40eq \r(2)π.
答案：40eq \r(2)π
B级——难度小题强化练
1．已知底面半径为1，高为eq \r(3)的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为( )
A.eq \f(32\r(3)π,27) B．4π
C.eq \f(16π,3) D．12π
解析：选C 如图，△ABC为圆锥的轴截面，O为其外接球的球心，设外接球的半径为R，连接OB，OA，并延长AO交BC于点D，则AD⊥BC，由题意知，AO＝BO＝R，BD＝1，AD＝eq \r(3)，则在Rt△BOD中，有R2＝(eq \r(3)－R)2＋12，解得R＝eq \f(2\r(3),3)，所以外接球O的表面积S＝4πR2＝eq \f(16π,3)，故选C.
2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A.eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．2 D．eq \f(8,3)
解析：选A 由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A­BCD所示，故该几何体的体积V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×2×2＝eq \f(2,3).
3．已知圆柱的高为2，底面半径为eq \r(3)，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )
A．4π B．eq \f(16,3)π
C.eq \f(32,3)π D．16π
解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是球的半径r＝OB＝eq \r(OA2＋AB2)＝eq \r(12＋\r(3)2)＝2.故这个球的表面积S＝4πr2＝16π.故选D.
4．三棱锥P­ABC的四个顶点都在体积为eq \f(500π,3)的球的表面上，底面ABC所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选C 依题意，设题中球的球心为O，半径为R，△ABC的外接圆半径为r，则eq \f(4πR3,3)＝eq \f(500π,3)，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距离为eq \r(R2－r2)＝3，因此三棱锥P­ABC的高的最大值为5＋3＝8，故选C.
5．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B．eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(3\r(2),4) D．eq \f(\r(3),2)
解析：选A 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)×sin 60°＝eq \f(3\r(3),4).故选A.
6．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H.下列说法错误的是________(将符合题意的序号填到横线上)．
①AG⊥△EFH所在平面； ②AH⊥△EFH所在平面；
③HF⊥△AEF所在平面； ④HG⊥△AEF所在平面．
解析：根据折叠前AB⊥BE，AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE，AH⊥HF，HE∩HF＝H，可得AH⊥平面EFH，即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确；∵AG⊥EF，AH⊥EF，AH∩AG＝A，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内，∴③不正确；∵HG不垂直AG，∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上，说法错误的序号是①③④.
答案：①③④