高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测16《直线与圆》小题练（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测16《直线与圆》小题练（教师版），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知直线l1：x＋2ay－1＝0，l2：(a＋1)x－ay＝0，若l1∥l2，则实数a的值为( )
A．－eq \f(3,2) B．0
C．－eq \f(3,2)或0 D．2
解析：选C 由l1∥l2得1×(－a)＝2a(a＋1)，即2a2＋3a＝0，解得a＝0或a＝－eq \f(3,2).
经检验，当a＝0或a＝－eq \f(3,2)时均有l1∥l2，故选C.
2．经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的面积S＝( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：选D 法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－D＋F＝0，,9＋3D＋F＝0，,1＋4＋D＋2E＋F＝0，))解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，所以圆的半径r＝2，所以S＝4π.故选D.
法二：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心坐标为(1，a)，则r＝eq \r(4＋a2)＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以S＝4π，故选D.
3．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－eq \r(3)y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶5
解析：选A (x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝eq \f(1,\r(1＋3))＝eq \f(1,2)，所以较短弧所对的圆心角为eq \f(2π,3)，较长弧所对的圆心角为eq \f(4π,3)，故两弧长之比为1∶2，故选A.
4．已知直线3x＋ay＝0(a>0)被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则a的值为( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C．2eq \r(2) D．2eq \r(3)
解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为eq \r(3)，即eq \f(6,\r(9＋a2))＝eq \r(3)，得a＝eq \r(3).
5．已知圆(x－a)2＋y2＝1与直线y＝x相切于第三象限，则a的值是( )
A.eq \r(2) B．－eq \r(2)
C．±eq \r(2) D．－2
解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x－y＝0的距离等于半径，即有eq \f(|a|,\r(2))＝1，|a|＝eq \r(2).又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a＝－eq \r(2)，故选B.
6．已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为( )
A．－6±2eq \r(5) B．6±2eq \r(5)
C．2eq \r(5)±6 D．6±4eq \r(5)
解析：选B 因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x，,x＋y＝4，))解得x＝y＝2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r＝eq \r(2－22＋2－42)＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以eq \f(|2＋4－t|,\r(5))＝2，解得t＝6±2eq \r(5).
7．若过点A(1,0)的直线l与圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，l与直线x＋2y＋2＝0的交点为N，则|AM|·|AN|的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：选B 圆C的方程化成标准方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，故圆心C(3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx－y－k＝0(k≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＋2＝0，,kx－y－k＝0，))得Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－2,2k＋1)，－\f(3k,2k＋1)))，又直线CM与l垂直，得直线CM的方程为y－4＝－eq \f(1,k)(x－3)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－4＝－\f(1,k)x－3，,kx－y－k＝0，))得Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k2＋4k＋3,k2＋1)，\f(4k2＋2k,k2＋1)))，
则|AM|·|AN|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k2＋4k＋3,k2＋1)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4k2＋2k,k2＋1)))2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－2,2k＋1)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－3k,2k＋1)))2)
＝eq \f(2|2k＋1|,1＋k2)×eq \r(1＋k2)×eq \f(3\r(1＋k2),|2k＋1|)＝6.故选B.
8．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选B 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq \f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.
9．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为( )
A．4 B．3
C．5 D．6
解析：选A 易知圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝eq \f(|－25|,5)＝5，所以圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为5－1＝4.
10．若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．(－eq \r(3)，eq \r(3)) B．[－eq \r(3)，eq \r(3) ]
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))
解析：选D 数形结合可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－3)，则圆心(1,0)到直线y＝k(x－3)的距离应小于等于半径1，即eq \f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得－eq \f(\r(3),3)≤k≤eq \f(\r(3),3)，故选D.
11．在平面直角坐标系xOy中，已知A(－1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 设P(x，y)，则由|PA|2－|PB|2＝4，得(x＋1)2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d＝eq \f(|0＋0－2|,\r(2))＝eq \r(2)＜2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点，则eq \f(|PB|,|PA|)的最大值是( )
A．1 B．3
C．2 D.eq \r(2)
解析：选C 设动点P(x，y)，令eq \f(|PB|,|PA|)＝t(t>0)，则eq \f(1－x2＋－1－y2,－x2＋－2－y2)＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*)
易知当1－t2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，
又点P在圆x2＋y2＝2上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x－(1－2t2)y－2＋3t2＝0，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝eq \f(|－2＋3t2|,\r(1＋1－2t22))≤eq \r(2)，解得0二、填空题
13．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq \f(|1＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，
∴|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(4－2)＝2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
14．如果直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，则a＝________.
解析：由直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＋7－a＝0平行，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(aa－1－2×3＝0，,a7－a－3×3a≠0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝3或a＝－2，,a≠0且a≠－2，))故a＝3.
答案：3
15．过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为____________________．
解析：易知当CM⊥AB时，∠ACB最小，直线CM的斜率为kCM＝eq \f(1－0,\f(1,2)－1)＝－2，从而直线l的斜率为kl＝－eq \f(1,kCM)＝eq \f(1,2)，其方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，即2x－4y＋3＝0.
答案：2x－4y＋3＝0
16．过点(eq \r(2)，0)作直线l与曲线y＝eq \r(1－x2)相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
解析：令P(eq \r(2)，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，
所以S△AOB＝eq \f(1,2)|OA|·|OB|·sin∠AOB＝eq \f(1,2)sin∠AOB≤eq \f(1,2)，
当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，
则|OH|＝eq \f(\r(2),2)，于是sin∠OPH＝eq \f(|OH|,|OP|)＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(2))＝eq \f(1,2)，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，
则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－eq \f(\r(3),3).
答案：－eq \f(\r(3),3)
B级——难度小题强化练
1．已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－eq \r(3)，eq \r(3)]上的任意一个数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
A.eq \f(\r(3),3) B.eq \f(3,4)
C.eq \f(1,4) D.eq \f(3－\r(3),3)
解析：选D 当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))>eq \r(2)，解得k>1或k<－1，又k∈[－eq \r(3)，eq \r(3)]，所以－eq \r(3)≤k<－1或12．设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心C(1,1)，半径r＝2，当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，计算出弦长为2eq \r(3)，符合题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx＋3，由弦长为2eq \r(3)可知，圆心到该直线的距离为1，从而有eq \f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，此时方程为y＝－eq \f(3,4)x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为x＝0或3x＋4y－12＝0，故选B.
3．已知圆O：x2＋y2＝1，点P为直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)))
解析：选B 因为点P是直线eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1上的一动点，所以设P(4－2m，m)．
因为PA，PB是圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，所以点A，B在以OP为直径的圆C上，即弦AB是圆O和圆C的公共弦．
因为圆心C的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－m，\f(m,2)))，且半径的平方r2＝eq \f(4－2m2＋m2,4)，
所以圆C的方程为(x－2＋m)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(m,2)))2＝eq \f(4－2m2＋m2,4)，①又x2＋y2＝1，②
所以②－①得，(2m－4)x－my＋1＝0，即公共弦AB所在的直线方程为(2x－y)m＋(－4x＋1)＝0，所以由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－4x＋1＝0，,2x－y＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,4)，,y＝\f(1,2)，))所以直线AB过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))).故选B.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则cs∠AOB＝( )
A.eq \f(\r(5),10) B．－eq \f(\r(5),10)
C.eq \f(9,10) D．－eq \f(9,10)
解析：选D 法一：因为圆x2＋y2＝4的圆心为O(0,0)，半径为2，所以圆心O到直线y＝2x＋1的距离d＝eq \f(|2×0－0＋1|,\r(22＋－12))＝eq \f(1,\r(5))，
所以弦长|AB|＝2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(5))))2)＝2eq \r(\f(19,5)).
在△AOB中，由余弦定理得cs∠AOB＝eq \f(|OA|2＋|OB|2－|AB|2,2|OA|·|OB|)＝eq \f(4＋4－4×\f(19,5),2×2×2)＝－eq \f(9,10).
法二：取AB的中点D，连接OD(图略)，则OD⊥AB，且∠AOB＝2∠AOD，又圆心到直线的距离d＝eq \f(|2×0－0＋1|,\r(22＋－12))＝eq \f(1,\r(5))，即|OD|＝eq \f(1,\r(5))，所以cs∠AOD＝eq \f(|OD|,|OA|)＝eq \f(1,2\r(5))，故cs∠AOB＝2cs2∠AOD－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2\r(5))))2－1＝－eq \f(9,10).
5．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心坐标为C(1,2)，半径r＝2，因为圆上存在两点关于直线l对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，得m＝－1，所以M(－1，－1)，|MC|2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r2＝4，所以|MP|＝eq \r(13－4)＝3.
答案：3
6．已知m>0，n>0，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是____________．
解析：因为m>0，n>0，直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，所以圆心C(1,1)到直线的距离d＝eq \f(|m＋1＋n＋1－2|,\r(m＋12＋n＋12))＝1，即|m＋n|＝eq \r(m＋12＋n＋12)，两边平方并整理得m＋n＋1＝mn≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m＋n,2)))2，即(m＋n)2－4(m＋n)－4≥0，解得m＋n≥2＋2eq \r(2)，所以m＋n的取值范围为[2＋2eq \r(2)，＋∞)．
答案：[2＋2eq \r(2)，＋∞)