高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测17《圆锥曲线的方程与性质》小题练（教师版）

这是一份高考数学(理数)二轮复习课时跟踪检测17《圆锥曲线的方程与性质》小题练（教师版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,20)＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(4,5)x B．y＝±eq \f(5,4)x
C．y＝±eq \f(1,5)x D．y＝±eq \f(2\r(5),5)x
解析：选D 在双曲线eq \f(x2,25)－eq \f(y2,20)＝1中，a＝5，b＝2eq \r(5)，
∴其渐近线方程为y＝±eq \f(2\r(5),5)x，故选D.
2．已知双曲线C的两个焦点F1，F2都在x轴上，对称中心为原点O，离心率为eq \r(3).若点M在C上，且MF1⊥MF2，M到原点的距离为eq \r(3)，则C的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 B.eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C．x2－eq \f(y2,2)＝1 D．y2－eq \f(x2,2)＝1
解析：选C 由题意可知，OM为Rt△MF1F2斜边上的中线，所以|OM|＝eq \f(1,2)|F1F2|＝c.由M到原点的距离为eq \r(3)，得c＝eq \r(3)，又e＝eq \f(c,a)＝eq \r(3)，所以a＝1，所以b2＝c2－a2＝3－1＝2.故双曲线C的方程为x2－eq \f(y2,2)＝1.故选C.
3．已知椭圆C的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)，如果直线y＝eq \f(\r(2),2)x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为( )
A．2 B．2eq \r(2)
C．8 D．2eq \r(3)
解析：选B 根据已知条件得c＝eq \r(16－m2)，则点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(16－m2)，\f(\r(2),2) \r(16－m2)))在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)上，∴eq \f(16－m2,16)＋eq \f(16－m2,2m2)＝1，可得m＝2eq \r(2).
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l.若射线y＝2(x－1)(x≤1)与C，l分别交于P，Q两点，则eq \f(|PQ|,|PF|)＝( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \r(5) D．5
解析：选C 由题意，知抛物线C：y2＝4x的焦点F(1,0)，设准线l：x＝－1与x轴的交点为F1.过点P作直线l的垂线，垂足为P1(图略)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2x－1，x≤1，))得点Q的坐标为(－1，－4)，所以|FQ|＝2eq \r(5).又|PF|＝|PP1|，所以eq \f(|PQ|,|PF|)＝eq \f(|PQ|,|PP1|)＝eq \f(|QF|,|FF1|)＝eq \f(2\r(5),2)＝eq \r(5)，故选C.
5．设F是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线分别交于P，Q，若eq \(FP,\s\up7(―→))＝3eq \(FQ,\s\up7(―→))，则双曲线的离心率为( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(\r(5),2)
C.eq \r(3) D.eq \f(\r(10),2)
解析：选C 不妨设F(－c,0)，过F作双曲线一条渐近线的垂线，可取其方程为y＝eq \f(a,b)(x＋c)，与y＝－eq \f(b,a)x联立可得xQ＝－eq \f(a2,c)，与y＝eq \f(b,a)x联立可得xP＝eq \f(a2c,b2－a2)，∵eq \(FP,\s\up7(―→)) ＝3eq \(FQ,\s\up7(―→))，
∴eq \f(a2c,b2－a2)＋c＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a2,c)＋c))，∴a2c2＝(c2－2a2)·(2c2－3a2)，两边同时除以a4得，
e4－4e2＋3＝0，∵e>1，∴e＝eq \r(3).故选C.
6．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距为4eq \r(5)，渐近线方程为2x±y＝0，则双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1
C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,64)＝1 D.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)＝1
解析：选A 法一：易知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，得eq \f(b,a)＝2，因为双曲线的焦距为4eq \r(5)，所以c＝2eq \r(5)，结合c2＝a2＋b2，可得a＝2，b＝4，所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1，故选A.
法二：易知双曲线的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2x±y＝0，可设双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝λ(λ>0)，即eq \f(x2,λ)－eq \f(y2,4λ)＝1，因为双曲线的焦距为4eq \r(5)，所以c＝2eq \r(5)，所以λ＋4λ＝20，λ＝4，所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1，故选A.
7.过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)0)的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(3－\r(5),2)
C.eq \f(－1＋\r(5),2) D.eq \f(\r(3)－1,2)
解析：选B 由题意得，A(－a,0)，B(0，b)，由在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，得点P是以点O为圆心，线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2与线段AB的切点，连接OP，则OP⊥AB，且OP＝c，即点O到直线AB的距离为c.又直线AB的方程为y＝eq \f(b,a)x＋b，
整理得bx－ay＋ab＝0，点O到直线AB的距离d＝eq \f(ab,\r(b2＋a2))＝c，两边同时平方整理得，a2b2＝c2(a2＋b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)＝a4－b4，可得b4＋a2b2－a4＝0，两边同时除以a4，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,a2)))2＋eq \f(b2,a2)－1＝0，可得eq \f(b2,a2)＝eq \f(－1＋\r(5),2)，则e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(b2,a2)＝1－eq \f(－1＋\r(5),2)＝eq \f(3－\r(5),2)，故选B.
2.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6
C.eq \f(16,3) D.eq \f(20,3)
解析：选C 法一：如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AF|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，解得y1＝2eq \r(3)，所以A(3,2eq \r(3))，又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝eq \f(2\r(3),3－1)＝eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).故选C.
法二：同法一得抛物线的方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).故选C.
3．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，若直线l经过M(0,1)，与椭圆交于A，B两点，且eq \(MA,\s\up7(―→))＝－eq \f(2,3)eq \(MB,\s\up7(―→))，则直线l的方程为( )
A．y＝±eq \f(1,2)x＋1 B．y＝±eq \f(1,3)x＋1
C．y＝±x＋1 D．y＝±eq \f(2,3)x＋1
解析：选B 依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A(x1，y1)，B(x2，y2)．
则由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋1，,\f(x2,9)＋\f(y2,5)＝1，))消去y，整理得(9k2＋5)x2＋18kx－36＝0，
Δ＝(18k)2＋4×36×(9k2＋5)>0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(18k,9k2＋5)，,x1x2＝－\f(36,9k2＋5)，,x1＝－\f(2,3)x2，))由此解得k＝±eq \f(1,3)，即直线l的方程为y＝±eq \f(1,3)x＋1，故选B.
4．已知双曲线C过点A(2eq \r(2)，eq \r(5))，渐近线为y＝±eq \f(\r(5),2)x，抛物线M的焦点与双曲线C的右焦点F重合，Q是抛物线上的点P在直线x＝－4上的射影，点B(4,7)，则|BP|＋|PQ|的最小值为( )
A．6 B．5eq \r(2)
C．－1＋5eq \r(2) D．1＋5eq \r(2)
解析：选D 由题意，双曲线C的渐近线为y＝±eq \f(\r(5),2)x，故可设双曲线C的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,\r(5))))2＝λ(λ≠0)，即eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝λ(λ≠0)．又点A(2eq \r(2)，eq \r(5))在双曲线上，所以eq \f(2\r(2)2,4)－eq \f(\r(5)2,5)＝λ，解得λ＝1，故双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1，其右焦点为F(3,0)，所以抛物线M的方程
为y2＝12x.如图，作出抛物线M，其准线为x＝－3，显然点B在抛物线的上方．设PQ与直线x＝－3交于点H，连接PF，则由抛物线的定义可得|PH|＝|PF|，所以|PQ|＝|PH|＋|QH|＝|PF|＋1，故|BP|＋|PQ|＝|BP|＋|PF|＋1，显然，当P为线段BF与抛物线的交点时，|BP|＋|PQ|取得最小值，且最小值为|BF|＋1＝eq \r(4－32＋72)＋1＝5eq \r(2)＋1.所以|BP|＋|PQ|的最小值为1＋5eq \r(2).故选D.
5．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是____________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，
又点A，B在抛物线y2＝4x上，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，
即直线AB的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
答案：2x－y－1＝0
6．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－1,0)，F2(1,0)，P是双曲线上任一点，若双曲线的离心率的取值范围为[2,4]，则eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值的取值范围是________．
解析：设P(m，n)，则eq \f(m2,a2)－eq \f(n2,b2)＝1，即m2＝a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2))).
又F1(－1,0)，F2(1,0)，则eq \(PF1,\s\up7(―→))＝(－1－m，－n)，eq \(PF2,\s\up7(―→))＝(1－m，－n)，
eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))＝n2＋m2－1＝n2＋a2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(n2,b2)))－1＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(a2,b2)))＋a2－1≥a2－1，
当且仅当n＝0时取等号，所以eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值为a2－1.
由2≤eq \f(1,a)≤4，得eq \f(1,4)≤a≤eq \f(1,2)，故－eq \f(15,16)≤a2－1≤－eq \f(3,4)，
即eq \(PF1,\s\up7(―→))·eq \(PF2,\s\up7(―→))的最小值的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(15,16)，－\f(3,4)))