专题提升(11)　以特殊四边形为背景的计算与证明学案

专题提升(十一)　以特殊四边形为背景的计算与证明　

类型之一　以平行四边形为背景的计算与证明

(人教版八下P68复习题第7题)

如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF.求证：∠1＝∠2.

【思想方法】　平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等、对角线互相平分等性质．根据平行四边形的性质，可以解决一些有关的计算或证明问题．平行四边形的判定有四种常用方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分．

[2018·恩施州]如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.求证：AD与BE互相平分．

如图，已知E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的点，且BE＝DF.

(1)求证：四边形AECF是平行四边形；

(2)若四边形AECF是菱形，且BC＝10，∠BAC＝90°，求BE的长．

类型之二　以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明

(人教版八下P64数学活动1)

如果我们身旁没有量角器或三角板，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法(如图)：

(1)对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时，得到了线段BN，MN，再把纸片展平．

观察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？

【思想方法】　折叠的本质是轴对称，折叠在实际生活中有广泛的应用，折叠前后的图形全等是解题的关键．特殊四边形与折叠的结合能很好地考查学生综合运用知识的能力，是中考的热点考题．

1．[2018·荆州]如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合，得到折痕MN，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交MN于点E，延长PF，交AB于点G.

求证：(1)△AFG≌△AFP；

(2)△APG为等边三角形．

2．[2019·青岛]如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，连接CG.

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．

3．[2019·宁波]如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．

(1)求证：BG＝DE；

(2)若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

4．[2019·鄂州]如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.

(1)求证：四边形DEBF是平行四边形；

(2)当DE＝DF时，求EF的长．

如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合．

(1)求证：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF；

(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化．如果不变，求出其定值；如果变化，求出其最大(或最小)值．

参考答案

【教材母题】　略

【中考变形】　略

【中考预测】　(1)略　(2)5

【教材母题】　∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.证明略．

【中考变形】

1．(1)略　(2)略

2．(1)略　(2)当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形，理由略

3．(1)略　(2)8

4．(1)略　(2)

【中考预测】

(1)略　(2)四边形AECF的面积不发生变化，其值为4，△CEF的面积发生变化，其最大值为.