初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试习题课件ppt

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如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC边的中点，过D点作DE⊥DF，交AB于E，交BC于F.若AE＝4，FC＝3，求EF的长．
解：连接BD.∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点，∠ABC＝90°，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC.∴∠ABD＝∠CBD＝45°.又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C.∴BD＝CD.∵DE⊥DF，BD⊥AC，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.∴∠FDC＝∠EDB.
如图，在四边形ABFC中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＝2AB2－CD2.求证：AB＝BC.
证明：∵CD⊥AD，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形．由勾股定理得AD2＋CD2＝AC2.∵AD2＝2AB2－CD2，∴AD2＋CD2＝2AB2.∴AC2＝2AB2.∵∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形．由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，∴AB2＋BC2＝2AB2.∴BC2＝AB2.∴AB＝BC.
如图，∠C＝90°，AM＝CM，MP⊥AB于点P.求证：BP2＝BC2＋AP2.
证明：连接BM.∵PM⊥AB，∴△BMP和△AMP均为直角三角形．∴BP2＋PM2＝BM2，AP2＋PM2＝AM2.同理可得BC2＋CM2＝BM2，∴BP2＋PM2＝BC2＋CM2.又∵CM＝AM，∴CM2＝AM2＝AP2＋PM2.∴BP2＋PM2＝BC2＋AP2＋PM2.∴BP2＝BC2＋AP2.
如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝8，∠A＝60°，∠D＝150°，四边形ABCD的周长为32，求BC和CD的长度．
解：如图，连接BD.∵AB＝AD，∠A＝60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD＝AB＝8，∠1＝60°.∴∠2＝150°－60°＝90°.设BC＝x，则CD＝16－x，由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10.∴BC＝10，CD＝6.
【点拨】当已知条件比较分散且无法直接使用时，往往通过作辅助线构造特殊三角形进行计算．
如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x，∵BC＝9，∴CF＝9－x.∴C′F＝9－x.由题意得BC′＝3.在Rt△C′BF中，根据勾股定理可得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4.∴BF的长是4.
【点拨】根据折叠前后，重合的图形全等，得到相等的线段、相等的角．在新增的Rt△C′BF中，利用折叠的性质，表示出各边长，列方程求解．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动，设运动的时间为t s.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
解：由题意知BP＝t cm，当△ABP为直角三角形时，有两种情况：Ⅰ.如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4.
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况：Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5；Ⅱ.如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8 cm，t＝8；
如图，某学校(A点)到公路(直线l)的距离为300 m，到公交站(D点)的距离为500 m．现要在公路边上建一个商店(C点)，使之到学校A及公交站D的距离相等，求商店C与公交站D之间的距离．
解：设CD＝x(x＞0)m，则AC＝x m，作AB⊥l于点B，则AB＝300 m.在Rt△ABD中，AD2＝AB2＋BD2，AB＝300 m，AD＝500 m，∴BD＝400 m.∴BC＝(400－x)m.在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，∴x2＝3002＋(400－x)2，解得x＝312.5.答：商店C与公交站D之间的距离为312.5 m.
【2020·黄冈】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”(注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是________尺．
【教材P18习题T5变式】如图，圆柱形玻璃容器高10 cm，底面周长为30 cm，在外侧距下底1 cm的点S处有一只蚂蚁，与蚂蚁相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1 cm的点F处有食物，求蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度．
解：如图，将圆柱形玻璃容器侧面展开，连接SF，过点S作SP⊥MN于点P.由题意可知FP＝10－2＝8(cm)，SP＝15 cm.在Rt△SPF中，SF2＝SP2＋FP2＝152＋82＝289，∴SF＝17 cm.答：蚂蚁要吃到食物所走最短路线的长度为17 cm.
【教材P18习题T5改编】如图，桌子上放着一个长方体盒子，长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm，在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃．求小虫爬行的最短路程．