人教A版（2019）高中数学选择性必修一、二知识要点

高二上数学知识要点
专题01 空间向量及其运算
考点一
空间向量的有关概念



1．空间向量的有关概念
（1）空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的模或长度 .
（2）相等向量：方向相同且模相等的向量．
（3）共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作 a∥b.
（4）共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．
2．空间向量中的有关定理
（1）共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.
（2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.应用：证明线面平行。
（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．
3．两个向量的数量积
（1）非零向量a，b的数量积．
（2）空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
易误提醒
（1）共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．
（2）空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
（3）由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量．
（4）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．
考点二
空间向量的线性运算




空间向量的线性运算：和平面向量一样，使用三角形法则和平行四边形法则
考点三
空间向量的坐标运算




设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).


向量表示
坐标表示
数量积
a·b

共线
a＝λb(b≠0)

垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)

模
|a|

夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝


易误提醒
（1）空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．
（2）进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算．
必备方法
用空间向量解决几何问题的一般步骤：
（1）适当的选取基底{a，b，c}．
（2）用a，b，c表示相关向量．
（3）通过运算完成证明或计算问题．
专题02 空间向量在立体几何中的应用
考点一 方向向量与法向量
1．直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
2．平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫作平面α的法向量．
易误提醒
（1）通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行于x轴，y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)．
（2）求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n＝(0,0,0)不能作为法向量．
必备方法
平面的法向量求法步骤：
（1）设平面的法向量为n＝(x，y，z)．
（2）找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标，；
（3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组
（4）解方程组，取其中的一组解，即得法向量，建议法向量取的数值为整数，方便计算．
考点二 利用空间向量证明和求解角和距离的问题
1.利用空间向量证明平行和垂直问题
（1）设直线l1的方向向量为，l2的方向向量为，则:
．
（2）设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则:
．
（3）设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则:

2.求点面距
①、两点间的距离的求法：、两点间的距离为。
②、点线距离的求法：如图1，在直线上任取一点，取直线的一个方向向量，则点到的距离为。

图1 图2 图3
③、点面距离的求法：如图2，设是平面的一个法向量，是平面的一条斜线，则点到平面的距离为。
※④、两异面直线距离的求法：如图3，设、是两异面直线，是与公垂线的方向向量，又、分别是、上的任意两点，则、的距离是。
⑤、两平行平面间距离的求法：把求两平行平面间的距离转化为求点面距离。
3.求角度：
（1）求两条异面直线所成的角
设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则

l1与l2所成的角θ
a与b的夹角
范围
00
相交
Δ＝0
相切
Δ0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
5．解决直线与圆综合问题的常用结论
(1)圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于l.
(2)圆与直线l相交的情形：①圆心到l的距离小于半径，过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；
②连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；
③过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．
专题05 椭圆
一、椭圆的定义
1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
2．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则M点的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则M点的轨迹为线段F1F2；
(3)若ab>0)
＋＝1(a>b>0)
图形


性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率
e＝，且e∈(0,1)
轴
长轴A1A2的长为2a
短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
三、必会结论
(1)点P(x0，y0)与椭圆＋＝1的关系
①点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋1.
(2)若P为椭圆＋＝1上任一点，F为其一个焦点，O是椭圆的中心(坐标原点)，则有a－c≤|PF|≤a＋c，b≤|PO|≤a.
2．必清误区
在设椭圆＋＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则有|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
注：
1．求椭圆方程的方法
(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．
(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式．
2．焦点三角形中的常用结论
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等，常用到的结论有：(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(3)当P为短轴端点时，θ最大．（4）
3.求椭圆离心率的方法
（1）．直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
（2）．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
3．解决直线与椭圆有关问题的求解策略
解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．
4．弦长公式
设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
＝(k为直线斜率)．
提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．
5.过焦点的弦中最短的为通径：



专题06 双曲线
一、双曲线的定义
1．平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a0，c>0.
(1)当2a|F1F2|时，M点不存在．
二、双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
三、必会结论
(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x轴上时，渐近线斜率为±，当焦点在y轴上时，渐近线斜率为±.
(3)渐近线与离心率
－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝.
(4)过双曲线的焦点垂直于实轴的直线被双曲线截的弦长为.
(5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程为－＝t(t≠0)．
（6）焦点到渐进弦的距离为b。
2．必清误区
直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．
注：
1.“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧
（1）．常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用．
（2）．技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1||PF2|的联系．
提醒：利用双曲线的定义解决问题，要注意三点：
(1)距离之差的绝对值．(2)2a0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.
5.解决与双曲线有关综合问题的方法
（1）．解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解．
（2）．解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍．
专题07 抛物线
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
二、抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0))
|PF|＝x0＋
|PF|＝－x0＋
|PF|＝y0＋
|PF|＝－y0＋
三、必会结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2.
(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF为直径的圆与y轴相切．
(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p.通径是过焦点最短的弦．
（5）
四、必知联系
(1)若抛物线的开口方向不能确定，可设抛物线的标准方程为y2＝mx或x2＝my(m≠0)．
(2)若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线相切，或直线平行于对称轴，即由得ay2＋by＋c＝0或ax2＋bx＋c＝0.当时，直线与抛物线相切，当a＝0时，此时直线就是与对称轴平行的直线．
注：
1．抛物线几何性质的确定
由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．
2．求抛物线的标准方程的方法及流程
(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．
(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
3.与抛物线有关的最值问题的求解策略
与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
4. 解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法
（1）．直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
（2）．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
（3）．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解决．
提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
专题8 等差数列及其前n项和
一、　等差数列
1．定义：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
2．通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.
3．前n项和公式：Sn＝na1＋＝.注意实际的项数。
4．a，b的等差中项A＝.
二、　等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．
(1)若m，n，p，q，k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，
则am＋an＝ap＋aq＝2ak.
(2)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.
(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}是等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，也是等差数列．
(5)若数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an，
S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)．
（6） 若等差数列{an}的项数为2n，则，
项数为2n-1,则
（7）若，若
三、必会结论
(1)等差数列的增减性：d＞0时为递增数列，且当a1＜0时，前n项和Sn有最小值，d＜0时为递减数列，且当a1＞0时，前n项和Sn有最大值．
(2)数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)是{an}成等差数列的充分条件．
(3)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.
(4)若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{pan}，{an＋p}，{pan＋qbn}都是等差数列(p，q都是常数)，且公差分别为pd1，d1，pd1＋qd2.
四．必知联系
(1)当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．
(2)公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．
注：
1．等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．
2．等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式，如已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d，若已知通项公式，则使用公式Sn＝.
3.等差数列的四个判定方法
（1）．定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
（2）．等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．
（3）．通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．
（4）．前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
4．求等差数列前n项和最值的方法
(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.
(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．
(3)项的符号法：当a1＞0，d＜0时，满足的项数n，使Sn取最大值；当a1＜0，d＞0时，满足的项数n，使Sn取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个．
5．求数列{|an|}前n项和的方法
(1)先求an，令an≥0(an≤0)找出an≥0与an