安徽省马鞍山滁州市2022年高三上学期第一次教学质量监测（一模）理科数学试题含答案

这是一份安徽省马鞍山滁州市2022年高三上学期第一次教学质量监测（一模）理科数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，函数的图象大致是，已知的内角的对边分别为，设，等内容，欢迎下载使用。
2022年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学试题本试卷5页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁． 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，，则  A．  B． C． D． 2．复数满足，则A.  B.  C.  D. 或 3．若变量满足约束条件则的最小值为A． B． C． D．  4．已知抛物线过点，则其准线方程为A． B． C． D． 5．已知集合，集合，在集合中任  取一个元素，则的概率是A． B． C． D． 6．志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，冬奥会城市志愿者已于2021年12月5               日在主要服务站点开始上岗，预计2022年1月25日开始全面上岗服务．现有4名志愿者要安排              到3个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则              不同的安排方案共有A．48种 B．36种 C．24种 D．12种  7．函数的图象大致是 A．  B． C．  D．  8．如图，圆锥的底面圆直径，其侧面展开图为半圆，底面圆 的弦，则异面直线与所成角的余弦值为A．     B．   C．  D． 9．已知的内角的对边分别为，设， ，则 A． B． C． D．10．若仅存在一条直线与函数（）和的图象均相切，则实数 A． B． C． D．11．1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最                            长（即可见角最大）？后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题． 我们把地球表面抽象为平面，悬杆抽象为线段（或直线上两点），则上述问题可以转 化为如下的数学模型：如下左图，一条直线垂直于一个平面，直线上有两点位于平面              的同侧，求平面上一点，使得最大．        建立如上右图所示的平面直角坐标系，设两点的坐标分别为，设点 的坐标为，当最大时，A． B． C． D． 12．已知均为正实数，且，若，则下列关系中可能成立的是A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知，，，，则   ▲  ．14．已知，则   ▲  ．15．已知双曲线：的左、右焦点分别，为渐近线上一点，为  坐标原点，且，的面积为，则双曲线的离心率为   ▲  16．三棱锥中，是边长为的等边三角形，，平面平面， 则该三棱锥的外接球的体积为  ▲  ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分） 已知数列的首项，，前项的和为，且．数列是首项为2的等比数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项的和．    18．（12分） 如图，在四棱锥中，，，，，，，，． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值．     19．（12分）    某厂生产两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示： 以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中． （注：收益率）等级一等品二等品三等品指标值产品收益率 （1）求的值； （2）将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．    ①从产品中随机抽取3件，求其中一等品件数的分布列及数学期望；   ②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品或产品，试分析投资哪种产品收益更大．     20．（12分） 已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，离心率为，为椭圆上一点，轴，且的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于两点，为的中点，作射线交椭圆于点，交直线：于点，且满足，证明：直线过定点，并求出此定点的坐标．   21．（12分） 已知函数． （1）求函数的单调性； （2）若存在使得，求证：．      （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的直角坐标方程为． （1）写出曲线的普通方程和直线的极坐标方程； （2）若直线（）与曲线交于两点，与直线交于点，求的值．      23．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
2022年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测理科数学参考答案 一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案CBADABDBCCDA 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．    14．   15．    16． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．（一）必考题：共60分．17．（12分）【解析】（1），，．      ……………3分，所以是等差数列，，又，则，所以的公差为，         ……………6分（2）由（1）            ……………7分，          ……………11分所以．           ……………12分 18．（12分）【解析】（1）证明：因为，，， 所以，则， 又，，所以平面，      ……………3分所以，又，，所以平面．      ……………5分  （2）法一：过点作，交于点过点作，交于点，连接 易证平面， 所以为二面角的补角， 在中，易得， 在中，易得， 所以，则． 所以二面角的正弦值为．         ……………12分 法二：过点作，交于点，过点作且，以点为空间直角坐标系原点，分别以方向为正方向建立空间直  角坐标系．易得，，，，      ……………7分易得平面的法向量为易得平面的法向量为故所以，则        ……………11分故二面角的正弦值为．         ……………12分     19．（12分）【解析】（1）．             ………………3分 （2）①由直方图知：产品为一等品的概率是，二等品概率是，三等品概率是， 随机抽取3件是一等品的件数X可能的取值是0,1,2,3, 且，  ………………4分 .   .       则的分布列为：0123        ……7分．       ………………8分②产品的收益：， 产品的收益：，      ………………10分，因为，所以，故投资产品的收益更大．      ………………12分20．（12分）【解析】（1）因为，，则， 又，解得，故椭圆的方程为．    ………………4分 （2）法一：当直线斜率存在且不为0时，设：（）， 由， 得：，，      ………………6分 故，则：，与：联立得，：， ：与：联立得：，     ………………8分 因为，则， 即，解得，则：，恒过点， ……10分 当时，易知，  由得，则：过点， 当斜率不存在时，设，易知，  由得，则：过点，         综上，直线过定点．             ………………12分 法二：可先由斜率为0和斜率不存在时分别求出：和：得出定点坐标， 再证明直线过点，可按步骤酌情给分．21．（12分）【解析】（1）易知时，为增函数，且，   ………………2分 故时，，单调递减， 时，，单调递增．        ………………4分 （2）， …5分 又，所以，   ……7分 下证：，即，      ………………8分 令，， 因为，所以在时单调递增， 故，即，即，       所以，             ……………11分 又为增函数，故．        ……………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）（为参数），得曲线的普通方程.      ，得直线的极坐标方程；．  …………5分 （2）曲线的极坐标方程为，将带入曲线的极坐标方程得：，.将带入直线的极坐标方程得：.．   …………10分 法二：直线普通方程为，与直线的交点， 直线的参数方程为（为参数），带入曲线 得：，则．           …………10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当时，， 由得不等式的解集为       ………………5分 （2）由二次函数，知其在处取得最小值1， 因为，在处取得最大值， 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点， 只需，即，所以m的取值范围为．          ………………10分