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数学人教版28.1 锐角三角函数课时练习
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这是一份数学人教版28.1 锐角三角函数课时练习，共51页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练等内容，欢迎下载使用。
专题28.1 锐角三角函数
典例体系（本专题共74题34页）
一、知识点
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
4、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
二、考点点拨与训练
考点1：正弦定义及应用
典例：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为( )
A． B． C． D．
方法或规律点拨
本题考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角函数等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.2
巩固练习
1．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2020·吉林东北师大附中月考）如图， 在中，，，， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·河南初三期末）如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（ ）1-cn-jy.com
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·福建三明·初三月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2020·河南周口·初三期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上的中点，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( )
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·广东广州·初三其他）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
考点2：余弦的定义及应用
典例：（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=0.6，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
方法或规律点拨
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是（ ）
A．m·sin35° B． C． D．m·cos35°
2．（2020·江苏省淮阴中学开明分校期中）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cosACB值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·上海市民办新北郊初级中学期中）已知中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国初三月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为( )
A． B． C． D．.
7．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如果⊿ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦値是（ ）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
考点3：正切定义及应用
典例：（2020·云南昆明三中初三一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
方法或规律点拨
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
巩固练习
1．（2020·宁阳县第十二中学期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．（2020·辽宁二模）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，如果那么值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
6．（2020·吉林长春·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点O和坐标原点重合，A，B两点分别在函数和的图像上，若将绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，则在旋转过程中，的值（ ）
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．不变
7．（2020·甘肃初三其他）如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E，若AB=4,CE=2BE，．则是的值为( )
A．3 B． C．6 D．12
8．（2020·甘肃初三其他）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
9．（2019·福建三明·初三月考）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为( )
A． B． C． D．
考点4：特殊角三角函数的计算
典例：（2020·山西月考）如图所示，已知点坐标为（6，0），直线与轴交于点，连接，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
方法或规律点拨
本题考查一次函数图象坐标特点，外角性质、特殊三角函数值具有一定的综合性，数形结合的思想是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）sin 30°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2020·湖南期末）如果，那么锐角A的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
4．（2019·漳州外国语学校）按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．的值为( )
A． B． C． D．
6．（2019·广东初三一模）已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
7．（2020·全国期中）下列计算中错误的是( )
A． B．
C． D．
考点5：特殊角三角函数值混合运算
典例：（2019·西安市曲江第一中学理工大校区期中）计算
（1）•tan 30°
（2）．
方法或规律点拨
本题考查特殊角的三角函数值的混合计算，零指数幂和负指数幂．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
巩固练习
1．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）计算：．
2．（2020·湖南期末）计算：
3．（2020·兰州市第四十九中学二模）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
4．（2020·湖北孝感·初三其他）计算：
5．（2020·广东深圳·初三其他）计算：
6．（2020·山东济南·中考真题）计算：．
7．（2020·湖南期中）计算：．
8．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）计算：．
9．（2020·哈尔滨市实验学校初三月考）先化简，再求代数式的值，其中．
考点6：由特殊角三角函数值判定三角形形状
典例：在中，若，，则这个三角形一定是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
方法或规律点拨
本题主要考查三角形形状的判断，能够根据三角函数值求出角度及角度的范围是解题的关键．
巩固练习
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
2．在中，(2sinA-1)2+=0，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（ ）
A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形
C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形
5．若△ABC的三个内角满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．（2020·吉林省实验繁荣学校初三月考）已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·四川南充·初三月考）关于的方程有两个相等的实数根，则锐角的度数（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．不影响方程的解
8．（2020·成都市金牛区天一学校初三开学考试）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA= ， 则cosA等于（ ）
A． B． C． D．1
10．（2020·河南初三期末）在△ABC中，tanC＝，cosA＝，则∠B＝（ ）
A．60° B．90° C．105° D．135°
11．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·上海市西南模范中学月考）在中，，则的形状是__________．
13．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）在△ABC中，若∠A、∠B满足|tanA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=__．
14．（2020·上海炫学培训学校有限公司初三期中）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=1：，AB=6，则∠B=_____．
考点7：用计算器求锐角三角函数值
典例：（2020·云南昆明·中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
方法或规律点拨
本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
巩固练习
1．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东淄博·中考真题）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）.版权所有
A． B． C． D．
3．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°， 正确的按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变
5．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算其按键顺序如下：，若显示的结果为4，则的数字为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2017·河北初三课时练习）用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是( )
A． B．
C． D．
8．（2018·陕西西安·初三期末）选做题（从下面两题中任选一题）
（1）用科学计算器计算：135×sin13°≈ （结果精确到0.1）
（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值
专题28.1 锐角三角函数
典例体系（本专题共74题34页）
一、知识点
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
4、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
二、考点点拨与训练
考点1：正弦定义及应用
典例：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，
，
由折叠的性质得到：≌，
，
，
，
，
又，
，
在直角中，，
，
故选A．
方法或规律点拨
本题考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角函数等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
巩固练习
1．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】解答：在Rt△ABC中，
∵sinA=，
∴AB=3，
∴根据勾股定理，得AC=,
故选A．
2．（2020·吉林东北师大附中月考）如图， 在中，，，， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，
sinB=，
故选择D．
3．（2020·河南初三期末）如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过作于，则，
＝5．
．
故选：A．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴，
∴．
5．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴，
∴；
故答案选A．
6．（2019·福建三明·初三月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则 ， .
故本题应选C.
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，
∴．
故选：C．
8．（2020·河南周口·初三期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上的中点，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，D是斜边AB上的中点，
∴，
∵，∴，
，．
故选：B．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴可以假设BC＝k，AC＝2k，
∴AB＝k，
∴sinA＝＝．
故选：B．
10．（2020·广东广州·初三其他）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】解：如图：
连接OC并延长交圆与,连接,可得∠A=∠,
可得sin∠===,可得=,
即圆的直径为，圆的半径为，
故选A.
考点2：余弦的定义及应用
典例：（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=0.6，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
再Rt中，cos∠BDC=0.6，
∴CD=0.6BD=0.6(8-CD)
∴CD=3cm，
∴BD=5cm，
由勾股定理得：BC=4cm
故选：A．
方法或规律点拨
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是（ ）
A．m·sin35° B． C． D．m·cos35°
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中， AB=m，∠A=35°，，
∴AC=，
故选：D.
2．（2020·江苏省淮阴中学开明分校期中）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cosACB值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，过点作于．
在中，，，
，
，
故选：C．
3．（2019·上海市民办新北郊初级中学期中）已知中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵△ABC中，∠C=90°，
∴AB为斜边，∠A的对边为BC，邻边为AC，
∵cosA是∠A的余弦，
∴由定义cosA=．
故选择：D．
4．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为．
∴cos∠ABC=．
故选B．
5．（2020·全国初三月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图：
∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：C．
6．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为( )
A． B． C． D．.
【答案】D
【解析】解：设小正方形边长为1，则AC=．
所以，cosC=
故选D．
7．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=，AD=，
cosA===，
故选D．
8．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
作AD垂直BC的延长线于点D
则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45°
∴
故答案选择B.
9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如果⊿ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦値是（ ）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
【答案】C
【解析】三角形各边长度都扩大为原来的3倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的正弦、余弦值不变，
故选：C．
考点3：正切定义及应用
典例：（2020·云南昆明三中初三一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，
∴tan∠EFC＝＝，
设CE＝3k，则CF＝4k，
由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，
解得：k＝1，
∴矩形ABCD的周长＝2(AB+BC)＝2(8k+10k)＝36（cm），
故选：D．
方法或规律点拨
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
巩固练习
1．（2020·宁阳县第十二中学期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】连接AC，
由网格图可得：，
由勾股定理可得：AC=，AB=，
∴tan=．
故选：D．
2．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【解析】因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，
故选：A．
3．（2020·辽宁二模）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】设，
由折叠可知，
则
由得
设
因为F、A关于DE对称
故选：C．
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，如果那么值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，
在中，设，，
则，
又，，
，
故．
故选：．
5．如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∴tan∠ACB＝，
故选B．
6．（2020·吉林长春·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点O和坐标原点重合，A，B两点分别在函数和的图像上，若将绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，则在旋转过程中，的值（ ）
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．不变
【答案】D
【解析】解：如图，分别过B、A作BC⊥x轴、AD⊥x轴于C、D点，并设A、B的坐标分别为：，则有 ，即 ，变形得：
同理有
故选D．
7．（2020·甘肃初三其他）如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E，若AB=4,CE=2BE，．则是的值为( )
A．3 B． C．6 D．12
【答案】A
【解析】∵tan∠AOD＝，
∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y＝经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a＝或a＝0（舍），
则k＝12×＝3，
故选A．
8．（2020·甘肃初三其他）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，
故选C．
9．（2019·福建三明·初三月考）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】据题意可得：在Rt△ABF中，有AB=8，AF=AD=10，BF=6，
而Rt△ABF∽Rt△EFC，故有∠EFC=∠BAF，故tan∠EFC=tan∠BAF=．
故选A．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO=∠PNO=90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM=ON，PN=OM，
∵P（4，3），
∴ON=PM=4，PN=3，
∴tanα=，
故选C．
考点4：特殊角三角函数的计算
典例：（2020·山西月考）如图所示，已知点坐标为（6，0），直线与轴交于点，连接，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】解：设直线与x轴交于点C，
当y=0代入y=x+b中，得x= -b，
则C（-b，0），
当x=0代入中，得到y=b，
则B（0，b），
∴OC=OB=b，
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
又∵，
∴∠BAO=75°-45°=30°，
∵A（6，0），
∴在Rt△AOB中，OB=tan30°OA=，
∴b=．
故选：A．
方法或规律点拨
本题考查一次函数图象坐标特点，外角性质、特殊三角函数值具有一定的综合性，数形结合的思想是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）sin 30°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】sin 30°=，
故选：B.
2．（2020·湖南期末）如果，那么锐角A的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
【答案】A
【解析】解：∵，
∴锐角A的度数是60°，
故选：A．
4．（2019·漳州外国语学校）按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】A. ，时，y=sin60°=，
B. ，时，y=cos45°=，
C. ，时，y=sin30°=，
D. ，时，y=cos45°=，
故选C．
5．的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】tan60°=，
故选C.
6．（2019·广东初三一模）已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【答案】A
【解析】解：∵3tanA﹣＝0，
∴tanA＝，
∴∠A＝30°．
故选：A．
7．（2020·全国期中）下列计算中错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、，此项错误；
B、，此项正确；
C、，则，此项正确；
D、，则，此项正确；
考点5：特殊角三角函数值混合运算
典例：（2019·西安市曲江第一中学理工大校区期中）计算
（1）•tan 30°
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=
=．
方法或规律点拨
本题考查特殊角的三角函数值的混合计算，零指数幂和负指数幂．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
巩固练习
1．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）计算：．
【答案】1．
【解析】原式=
=
=1
2．（2020·湖南期末）计算：
【答案】
【解析】解：
．
3．（2020·兰州市第四十九中学二模）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
【答案】-3
【解析】解：原式＝3﹣4×﹣4﹣（﹣1）
＝3﹣2﹣4﹣+1
＝﹣3．
4．（2020·湖北孝感·初三其他）计算：
【答案】-5
【解析】解：原式==．
5．（2020·广东深圳·初三其他）计算：
【答案】7
【解析】解：原式
．
6．（2020·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】4
【解析】解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
7．（2020·湖南期中）计算：．
【答案】．
【解析】
=4-1-2+3+
=6-．
8．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）计算：．
【答案】
【解析】解：原式
．
9．（2020·哈尔滨市实验学校初三月考）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，．
【解析】
；
，
∴原式．
考点6：由特殊角三角函数值判定三角形形状
典例：在中，若，，则这个三角形一定是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】∵，
∴ ．
∵，
∴．
，
，
∴为锐角三角形，
故选：A．
方法或规律点拨
本题主要考查三角形形状的判断，能够根据三角函数值求出角度及角度的范围是解题的关键．
巩固练习
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【解析】∵△ABC中，tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
2．在中，(2sinA-1)2+=0，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】C
【解析】解：∵(2sinA-1)2+=0，
∴2sinA-1=0，cosB-=0，
∴sinA=，cosB=，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故△ABC为直角三角形．
故选C．
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
4．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（ ）
A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形
C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形
【答案】B
【解析】、是的内角，且，，
，，
，
是等腰直角三角形，
故选：B．
5．若△ABC的三个内角满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】解：由题意得，tanA﹣1＝0，cosB﹣＝0，
则tanA＝1，cosB＝，
∠A＝45°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
6．（2020·吉林省实验繁荣学校初三月考）已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：为锐角，且，
．
故选：．
7．（2020·四川南充·初三月考）关于的方程有两个相等的实数根，则锐角的度数（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．不影响方程的解
【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得，则．
故选：C．
8．（2020·成都市金牛区天一学校初三开学考试）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知为锐角，且，
，即．
故选C．
9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA= ， 则cosA等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
所以∠A=30°，
所以cosA=，
故选A.
10．（2020·河南初三期末）在△ABC中，tanC＝，cosA＝，则∠B＝（ ）
A．60° B．90° C．105° D．135°
【答案】C
【解析】解：∵tanC＝，cosA＝，
∴∠C=30°，∠A=45°，
∴∠B=180°-∠C-∠A=105°．
故选：C．.版权所有
11．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
12．（2020·上海市西南模范中学月考）在中，，则的形状是__________．
【答案】钝角三角形
【解析】∵
∴，
即，
∴，
∴
∴是钝角三角形
故答案为：钝角三角形
13．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）在△ABC中，若∠A、∠B满足|tanA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=__．
【答案】60°
【解析】解：∵
∴tanA-=0，sinB-=0，
解得：∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=60°．
故答案为：60°．
14．（2020·上海炫学培训学校有限公司初三期中）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
【答案】直角三角形
【解析】∵，，
∴ ∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形，
故填：直角三角形．
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=1：，AB=6，则∠B=_____．
【答案】30°
【解析】如图：
∵∠C＝90°，AC:BC=1:，
∴，
∴∠B＝30°．
故答案为：30°
考点7：用计算器求锐角三角函数值
典例：（2020·云南昆明·中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
【答案】B
【解析】解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
巩固练习
1．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：
故选：B．
2．（2020·山东淄博·中考真题）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
3．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°， 正确的按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是：
故选：B．
4．把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变
【答案】D
【解析】三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
5．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算其按键顺序如下：，若显示的结果为4，则的数字为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：，
当显示结果为时，的数字为.
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由tan∠A＝，得
tan∠A＝．
故选：D．
7．（2017·河北初三课时练习）用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果.先按键“sin”，再输入角的度数24，按键“=”即可得到结果.故选A.
8．（2018·陕西西安·初三期末）选做题（从下面两题中任选一题）
（1）用科学计算器计算：135×sin13°≈ （结果精确到0.1）
（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值
【答案】（1）301165.0；（2）3.
【解析】解：（1）原式＝××0.224 95
≈135×3.605×0.225
≈371293×3.605×0.225
≈301165.0；
故答案为：301165.0；
（2）∵α是锐角，且sin（α+15°）＝，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴原式＝2﹣4×﹣1+1+3＝3；
专题28.1 锐角三角函数
典例体系（本专题共74题34页）
一、知识点
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
4、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
二、考点点拨与训练
考点1：正弦定义及应用
典例：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为( )
A． B． C． D．
方法或规律点拨
本题考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角函数等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.2
巩固练习
1．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2020·吉林东北师大附中月考）如图， 在中，，，， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·河南初三期末）如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（ ）1-cn-jy.com
A． B． C． D．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·福建三明·初三月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2020·河南周口·初三期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上的中点，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( )
A． B． C． D．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·广东广州·初三其他）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
考点2：余弦的定义及应用
典例：（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=0.6，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
方法或规律点拨
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是（ ）
A．m·sin35° B． C． D．m·cos35°
2．（2020·江苏省淮阴中学开明分校期中）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cosACB值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·上海市民办新北郊初级中学期中）已知中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·全国初三月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为( )
A． B． C． D．.
7．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如果⊿ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦値是（ ）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
考点3：正切定义及应用
典例：（2020·云南昆明三中初三一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
方法或规律点拨
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
巩固练习
1．（2020·宁阳县第十二中学期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
3．（2020·辽宁二模）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，如果那么值是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
6．（2020·吉林长春·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点O和坐标原点重合，A，B两点分别在函数和的图像上，若将绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，则在旋转过程中，的值（ ）
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．不变
7．（2020·甘肃初三其他）如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E，若AB=4,CE=2BE，．则是的值为( )
A．3 B． C．6 D．12
8．（2020·甘肃初三其他）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
9．（2019·福建三明·初三月考）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为( )
A． B． C． D．
考点4：特殊角三角函数的计算
典例：（2020·山西月考）如图所示，已知点坐标为（6，0），直线与轴交于点，连接，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
方法或规律点拨
本题考查一次函数图象坐标特点，外角性质、特殊三角函数值具有一定的综合性，数形结合的思想是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）sin 30°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2020·湖南期末）如果，那么锐角A的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
4．（2019·漳州外国语学校）按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．的值为( )
A． B． C． D．
6．（2019·广东初三一模）已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
7．（2020·全国期中）下列计算中错误的是( )
A． B．
C． D．
考点5：特殊角三角函数值混合运算
典例：（2019·西安市曲江第一中学理工大校区期中）计算
（1）•tan 30°
（2）．
方法或规律点拨
本题考查特殊角的三角函数值的混合计算，零指数幂和负指数幂．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
巩固练习
1．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）计算：．
2．（2020·湖南期末）计算：
3．（2020·兰州市第四十九中学二模）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
4．（2020·湖北孝感·初三其他）计算：
5．（2020·广东深圳·初三其他）计算：
6．（2020·山东济南·中考真题）计算：．
7．（2020·湖南期中）计算：．
8．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）计算：．
9．（2020·哈尔滨市实验学校初三月考）先化简，再求代数式的值，其中．
考点6：由特殊角三角函数值判定三角形形状
典例：在中，若，，则这个三角形一定是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
方法或规律点拨
本题主要考查三角形形状的判断，能够根据三角函数值求出角度及角度的范围是解题的关键．
巩固练习
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
2．在中，(2sinA-1)2+=0，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（ ）
A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形
C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形
5．若△ABC的三个内角满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．（2020·吉林省实验繁荣学校初三月考）已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·四川南充·初三月考）关于的方程有两个相等的实数根，则锐角的度数（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．不影响方程的解
8．（2020·成都市金牛区天一学校初三开学考试）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA= ， 则cosA等于（ ）
A． B． C． D．1
10．（2020·河南初三期末）在△ABC中，tanC＝，cosA＝，则∠B＝（ ）
A．60° B．90° C．105° D．135°
11．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·上海市西南模范中学月考）在中，，则的形状是__________．
13．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）在△ABC中，若∠A、∠B满足|tanA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=__．
14．（2020·上海炫学培训学校有限公司初三期中）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=1：，AB=6，则∠B=_____．
考点7：用计算器求锐角三角函数值
典例：（2020·云南昆明·中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
方法或规律点拨
本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
巩固练习
1．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2020·山东淄博·中考真题）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）.版权所有
A． B． C． D．
3．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°， 正确的按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变
5．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算其按键顺序如下：，若显示的结果为4，则的数字为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2017·河北初三课时练习）用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是( )
A． B．
C． D．
8．（2018·陕西西安·初三期末）选做题（从下面两题中任选一题）
（1）用科学计算器计算：135×sin13°≈ （结果精确到0.1）
（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值
专题28.1 锐角三角函数
典例体系（本专题共74题34页）
一、知识点
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0
1
cosα
1
0
tanα
0
1
不存在
4、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
二、考点点拨与训练
考点1：正弦定义及应用
典例：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，
，
由折叠的性质得到：≌，
，
，
，
，
又，
，
在直角中，，
，
故选A．
方法或规律点拨
本题考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，三角函数等，熟练掌握相关的性质及定理是解题的关键.
巩固练习
1．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】解答：在Rt△ABC中，
∵sinA=，
∴AB=3，
∴根据勾股定理，得AC=,
故选A．
2．（2020·吉林东北师大附中月考）如图， 在中，，，， 则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理AB=，
sinB=，
故选择D．
3．（2020·河南初三期末）如右图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，过作于，则，
＝5．
．
故选：A．
4．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴，
∴．
5．（2020·黑龙江哈尔滨·月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，
∴，
∴；
故答案选A．
6．（2019·福建三明·初三月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC边上的高为2，则 ， .
故本题应选C.
7．如图，在中，，，，则的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵，，，
∴，
∴．
故选：C．
8．（2020·河南周口·初三期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上的中点，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵，D是斜边AB上的中点，
∴，
∵，∴，
，．
故选：B．
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，
∴可以假设BC＝k，AC＝2k，
∴AB＝k，
∴sinA＝＝．
故选：B．
10．（2020·广东广州·初三其他）如图，△ABC内接于⊙O，若sin∠BAC=，BC=2，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【解析】解：如图：
连接OC并延长交圆与,连接,可得∠A=∠,
可得sin∠===,可得=,
即圆的直径为，圆的半径为，
故选A.
考点2：余弦的定义及应用
典例：（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC=0.6，则BC的长是（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD=AD，
∴CD+BD=8cm，
再Rt中，cos∠BDC=0.6，
∴CD=0.6BD=0.6(8-CD)
∴CD=3cm，
∴BD=5cm，
由勾股定理得：BC=4cm
故选：A．
方法或规律点拨
此题主要考查了线段垂直平分线的性质以及解直角三角形等知识，得出AD=BD，进而用CD表示出BD是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边AC的长是（ ）
A．m·sin35° B． C． D．m·cos35°
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中， AB=m，∠A=35°，，
∴AC=，
故选：D.
2．（2020·江苏省淮阴中学开明分校期中）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cosACB值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图，过点作于．
在中，，，
，
，
故选：C．
3．（2019·上海市民办新北郊初级中学期中）已知中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵△ABC中，∠C=90°，
∴AB为斜边，∠A的对边为BC，邻边为AC，
∵cosA是∠A的余弦，
∴由定义cosA=．
故选择：D．
4．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4，
∴斜边为．
∴cos∠ABC=．
故选B．
5．（2020·全国初三月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：如图：
∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4，
∴BC＝＝＝1，
∴cosB＝＝，
故选：C．
6．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值为( )
A． B． C． D．.
【答案】D
【解析】解：设小正方形边长为1，则AC=．
所以，cosC=
故选D．
7．如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过B点作BD⊥AC，如图，
由勾股定理得，AB=，AD=，
cosA===，
故选D．
8．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
作AD垂直BC的延长线于点D
则△ABD为等腰直角三角形，∠B=45°
∴
故答案选择B.
9．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）如果⊿ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦値是（ ）
A．都扩大为原来的3倍 B．都缩小为原来的
C．没有变化 D．不能确定
【答案】C
【解析】三角形各边长度都扩大为原来的3倍，
∴得到的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的正弦、余弦值不变，
故选：C．
考点3：正切定义及应用
典例：（2020·云南昆明三中初三一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为（ ）
A．18 B．25 C．32 D．36
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由折叠的性质得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，
∴tan∠EFC＝＝，
设CE＝3k，则CF＝4k，
由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，
解得：k＝1，
∴矩形ABCD的周长＝2(AB+BC)＝2(8k+10k)＝36（cm），
故选：D．
方法或规律点拨
此题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、三角函数等知识，解答本题关键是根据三角函数定义，表示出每条线段的长度，然后利用勾股定理进行解答．
巩固练习
1．（2020·宁阳县第十二中学期中）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】连接AC，
由网格图可得：，
由勾股定理可得：AC=，AB=，
∴tan=．
故选：D．
2．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则锐角A的正切函数值（ ）
A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定
【答案】A
【解析】因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，
故选：A．
3．（2020·辽宁二模）如图，矩形中，是的中点，将沿翻折，点落在点处，．设，的面积为，则与的函数图象大致为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【解析】设，
由折叠可知，
则
由得
设
因为F、A关于DE对称
故选：C．
4．（2020·哈尔滨市萧红中学初三月考）如图，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，如果那么值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：，
在中，设，，
则，
又，，
，
故．
故选：．
5．如图，在8×4的正方形网格中，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，Rt△ADC中，∠ADC=90°，
∴tan∠ACB＝，
故选B．
6．（2020·吉林长春·初三其他）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点O和坐标原点重合，A，B两点分别在函数和的图像上，若将绕着点O按顺时针方向旋转一定的角度，则在旋转过程中，的值（ ）
A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．不变
【答案】D
【解析】解：如图，分别过B、A作BC⊥x轴、AD⊥x轴于C、D点，并设A、B的坐标分别为：，则有 ，即 ，变形得：
同理有
故选D．
7．（2020·甘肃初三其他）如图，矩形ABCD的顶点A,B在x轴的正半轴上，反比例函数在第一象限内的图像经过点D，交BC于点E，若AB=4,CE=2BE，．则是的值为( )
A．3 B． C．6 D．12
【答案】A
【解析】∵tan∠AOD＝，
∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a），
∵CE＝2BE，
∴BE＝BC＝a，
∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y＝经过点D、E，
∴k＝12a2＝（4+4a）a，
解得：a＝或a＝0（舍），
则k＝12×＝3，
故选A．
8．（2020·甘肃初三其他）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，
∴∠AOB=90°，
∵BD=8，
∴OB=4，
∵tan∠ABD=，
∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，
故选C．
9．（2019·福建三明·初三月考）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】据题意可得：在Rt△ABF中，有AB=8，AF=AD=10，BF=6，
而Rt△ABF∽Rt△EFC，故有∠EFC=∠BAF，故tan∠EFC=tan∠BAF=．
故选A．
10．如图，在平面直角坐标系中，点，与轴正半轴的夹角为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过P作PN⊥x轴于N，PM⊥y轴于M，则∠PMO=∠PNO=90°，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PMO=∠PNO=90°，
∴四边形MONP是矩形，
∴PM=ON，PN=OM，
∵P（4，3），
∴ON=PM=4，PN=3，
∴tanα=，
故选C．
考点4：特殊角三角函数的计算
典例：（2020·山西月考）如图所示，已知点坐标为（6，0），直线与轴交于点，连接，，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】解：设直线与x轴交于点C，
当y=0代入y=x+b中，得x= -b，
则C（-b，0），
当x=0代入中，得到y=b，
则B（0，b），
∴OC=OB=b，
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=45°，
又∵，
∴∠BAO=75°-45°=30°，
∵A（6，0），
∴在Rt△AOB中，OB=tan30°OA=，
∴b=．
故选：A．
方法或规律点拨
本题考查一次函数图象坐标特点，外角性质、特殊三角函数值具有一定的综合性，数形结合的思想是解题的关键．
巩固练习
1．（2020·江苏省锡山高级中学实验学校期中）sin 30°的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】sin 30°=，
故选：B.
2．（2020·湖南期末）如果，那么锐角A的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．30° D．20°
【答案】A
【解析】解：∵，
∴锐角A的度数是60°，
故选：A．
4．（2019·漳州外国语学校）按如图所示的运算程序，能使输出的值为的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】A. ，时，y=sin60°=，
B. ，时，y=cos45°=，
C. ，时，y=sin30°=，
D. ，时，y=cos45°=，
故选C．
5．的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】tan60°=，
故选C.
6．（2019·广东初三一模）已知∠A是锐角，且满足3tanA﹣＝0，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【答案】A
【解析】解：∵3tanA﹣＝0，
∴tanA＝，
∴∠A＝30°．
故选：A．
7．（2020·全国期中）下列计算中错误的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】A、，此项错误；
B、，此项正确；
C、，则，此项正确；
D、，则，此项正确；
考点5：特殊角三角函数值混合运算
典例：（2019·西安市曲江第一中学理工大校区期中）计算
（1）•tan 30°
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）原式=
=
=；
（2）原式=
=
=．
方法或规律点拨
本题考查特殊角的三角函数值的混合计算，零指数幂和负指数幂．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
巩固练习
1．（2020·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校二模）计算：．
【答案】1．
【解析】原式=
=
=1
2．（2020·湖南期末）计算：
【答案】
【解析】解：
．
3．（2020·兰州市第四十九中学二模）计算：﹣4cos45°﹣（﹣）﹣2﹣|1﹣|．
【答案】-3
【解析】解：原式＝3﹣4×﹣4﹣（﹣1）
＝3﹣2﹣4﹣+1
＝﹣3．
4．（2020·湖北孝感·初三其他）计算：
【答案】-5
【解析】解：原式==．
5．（2020·广东深圳·初三其他）计算：
【答案】7
【解析】解：原式
．
6．（2020·山东济南·中考真题）计算：．
【答案】4
【解析】解：原式
＝1﹣1+2+2
＝4．
7．（2020·湖南期中）计算：．
【答案】．
【解析】
=4-1-2+3+
=6-．
8．（2020·宁波市惠贞书院初二期末）计算：．
【答案】
【解析】解：原式
．
9．（2020·哈尔滨市实验学校初三月考）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，．
【解析】
；
，
∴原式．
考点6：由特殊角三角函数值判定三角形形状
典例：在中，若，，则这个三角形一定是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】∵，
∴ ．
∵，
∴．
，
，
∴为锐角三角形，
故选：A．
方法或规律点拨
本题主要考查三角形形状的判断，能够根据三角函数值求出角度及角度的范围是解题的关键．
巩固练习
1．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝，你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【答案】B
【解析】∵△ABC中，tanA=1，sinB=，∴∠A=45°，∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
2．在中，(2sinA-1)2+=0，则是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】C
【解析】解：∵(2sinA-1)2+=0，
∴2sinA-1=0，cosB-=0，
∴sinA=，cosB=，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
故△ABC为直角三角形．
故选C．
3．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】∵cosA=，tanB=，
∴∠A=45°，∠B=60°．
∴∠C=180°-45°-60°=75°．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．
4．在中，若tanA=1，cosB=，则下列判断最确切的是（ ）
A．是等腰三角形 B．是等腰直角三角形
C．是直角三角形 D．是一般锐角三角形
【答案】B
【解析】、是的内角，且，，
，，
，
是等腰直角三角形，
故选：B．
5．若△ABC的三个内角满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【解析】解：由题意得，tanA﹣1＝0，cosB﹣＝0，
则tanA＝1，cosB＝，
∠A＝45°，∠B＝45°，
则∠C＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形．
故选：C．
6．（2020·吉林省实验繁荣学校初三月考）已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：为锐角，且，
．
故选：．
7．（2020·四川南充·初三月考）关于的方程有两个相等的实数根，则锐角的度数（ ）
A．等于 B．等于 C．等于 D．不影响方程的解
【答案】C
【解析】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，解得，则．
故选：C．
8．（2020·成都市金牛区天一学校初三开学考试）已知为锐角，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知为锐角，且，
，即．
故选C．
9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA= ， 则cosA等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】解：因为在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，
所以∠A=30°，
所以cosA=，
故选A.
10．（2020·河南初三期末）在△ABC中，tanC＝，cosA＝，则∠B＝（ ）
A．60° B．90° C．105° D．135°
【答案】C
【解析】解：∵tanC＝，cosA＝，
∴∠C=30°，∠A=45°，
∴∠B=180°-∠C-∠A=105°．
故选：C．.版权所有
11．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sinB＝＝，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
12．（2020·上海市西南模范中学月考）在中，，则的形状是__________．
【答案】钝角三角形
【解析】∵
∴，
即，
∴，
∴
∴是钝角三角形
故答案为：钝角三角形
13．（2020·聊城市茌平区振兴街道中学初三月考）在△ABC中，若∠A、∠B满足|tanA﹣|+（sinB﹣）2=0，则∠C=__．
【答案】60°
【解析】解：∵
∴tanA-=0，sinB-=0，
解得：∠A=60°，∠B=60°，
∴∠C=60°．
故答案为：60°．
14．（2020·上海炫学培训学校有限公司初三期中）△ABC中，，，则△ABC的形状是___________．
【答案】直角三角形
【解析】∵，，
∴ ∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，
故△ABC是直角三角形，
故填：直角三角形．
15．Rt△ABC中，∠C=90°，AC：BC=1：，AB=6，则∠B=_____．
【答案】30°
【解析】如图：
∵∠C＝90°，AC:BC=1:，
∴，
∴∠B＝30°．
故答案为：30°
考点7：用计算器求锐角三角函数值
典例：（2020·云南昆明·中考真题）某款国产手机上有科学计算器，依次按键：，显示的结果在哪两个相邻整数之间（ ）
A．2～3 B．3～4 C．4～5 D．5～6
【答案】B
【解析】解：使用计算器计算得，
4sin60°≈3.464101615，
故选：B．
方法或规律点拨
本题考查计算器的使用，正确地操作和计算是得出正确答案的前提．
巩固练习
1．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是：
故选：B．
2．（2020·山东淄博·中考真题）已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下），按下的第一个键是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据计算器求锐角的方法即可得结论．
【解答】解：∵已知sinA＝0.9816，运用科学计算器求锐角A时（在开机状态下）的按键顺序是：2ndF，sin，0，∴按下的第一个键是2ndF．
故选：D．
3．利用我们数学课本上的计算器计算sin52°， 正确的按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是：
故选：B．
4．把三边的长度都扩大为原来的倍，则锐角的余弦值（ ）
A．扩大为原来的倍 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的倍 D．不变
【答案】D
【解析】三边的长度都扩大为原来的3倍，
则所得的三角形与原三角形相似，
∴锐角A的大小不变，
∴锐角A的余弦值不变，
故选：D．
5．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算其按键顺序如下：，若显示的结果为4，则的数字为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：，
当显示结果为时，的数字为.
6．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，若用科学计算器求∠A的度数，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由tan∠A＝，得
tan∠A＝．
故选：D．
7．（2017·河北初三课时练习）用计算器计算sin24°的值，以下按键顺序正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据用计算器算三角函数的方法：先按键“sin”，再输入角的度数，按键“=”即可得到结果.先按键“sin”，再输入角的度数24，按键“=”即可得到结果.故选A.
8．（2018·陕西西安·初三期末）选做题（从下面两题中任选一题）
（1）用科学计算器计算：135×sin13°≈ （结果精确到0.1）
（2）已知α是锐角，且sin（α+15°）＝．计算﹣4cosα﹣（π﹣3.14）0+tanα+的值
【答案】（1）301165.0；（2）3.
【解析】解：（1）原式＝××0.224 95
≈135×3.605×0.225
≈371293×3.605×0.225
≈301165.0；
故答案为：301165.0；
（2）∵α是锐角，且sin（α+15°）＝，
∴α+15°＝60°，
∴α＝45°，
∴原式＝2﹣4×﹣1+1+3＝3；
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