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人教版九年级下册29.1 投影课时作业
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这是一份人教版九年级下册29.1 投影课时作业，共48页。试卷主要包含了知识点，考点点拨与训练等内容，欢迎下载使用。
专题29.1 投影
典例体系（本专题共56题32页）
一、知识点
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
二、考点点拨与训练
考点1：平行投影
典例：（2020·南昌市第十四中学初三月考）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）；
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示）
方法或规律点拨
平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子；点光源是由两个影子与物高决定；点光源经过物体的顶端也可得到物体在点光源下的影子．
巩固练习
1．（2020·四川省达川第四中学初三月考）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为
A．15m B．m C．60 m D．m
2．（2019·广东宝安·初一期末）如图，太阳光线AC和是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，则两根木杆高度相等．这利用了全等图形的性质，其中判断ABC≌的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
3．（2020·贵州贵阳·初三开学考试）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影 B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影 D．台灯发出的光线所形成的投影
4．（2019·四川江阳·初一期末）在太阳光的照射下，矩形相框在地面上的投影不可能是（ ）
A．一条线段 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形
5．（2019·河北初三期末）如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测. 根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是 （ ）
A．小明：“早上8点” B．小亮：“中午12点”
C．小刚：“下午5点” D．小红：“什么时间都行”
6．（2020·山东青岛·初三期末）如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④①
7．（2020·陕西金台·初三期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．4.25m B．4.45m C．4.60m D．4.75m
8．（2020·辽宁丹东·初三期末）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（ ）
A．③—④—①—② B．②—①—④—③ C．④—①—②—③ D．④—①—③—②
9．（2020·福建宁化·初三期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(画图时，不要求做文字说明，保留作图痕迹即可)
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
10．（2020·甘肃肃州·初三期末）如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．
11．（2020·湖南雨花·初三其他）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
12．（2020·广西北海·初三月考）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．
（1）画出太阳光线CE和AB的影子BF；
（2）若AB=10米，CD=6米，CD到PQ的距离DQ的长为8米，求此时木杆AB的影子BF的长．
13．（2020·山西榆次·初三期末）下面图（1），图（2）分别是两种不同情形下旗杆和木杆的影子．
（1）哪个图反映了阳光下的情形？
（2）若同一时刻阳光下，木杆的影子长为0.8米，旗杆的影子长为7.2米，木杆的高为1.5米，求旗杆的高度．
14．（2019·河北初三期末）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为.
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；
（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
考点2：中心投影
典例：（2020·揭阳市实验中学初三期中）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN=0.6 m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB=1.6 m．(图中线段AB、CD、EF表示小明的身高)
(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
(2)求小明位于F处的影长．
方法或规律点拨
本题主要考查中心投影，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．
巩固练习
1．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
2．（2020·银川唐徕回民中学初三二模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
3．（2020·河北路南·初三期末）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
4（2019·河北初三期末）在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（ ）
A．把投影灯向银幕的相反方向移动 B．把剪影向投影灯方向移动
C．把剪影向银幕方向移动 D．把银幕向投影灯方向移动
5．（2019·山东泰山·初三期末）在某光源下，两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是( )
A． B．
C． D．
6．（2020·江苏泰兴·初三月考）某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米／秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出O到MN的垂线段OH(不写画法)；
（2）若小明身高1.5m，求OH的长．
8．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
9．（2020·四川大邑·初三期中）学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；
（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
10．（2020·四川渠县·期末）如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母表示）
（2）在图中画出路灯灯杆（用线段表示）；
（3）若左边树的高度是4米，影长是3米，树根离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．
11．（2019·西夏·宁夏大学附属中学初三月考）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，请在图中画出此时小明的影长B1C1，并求B1C1的长；
12．（2019·安徽禹会·初三期中）如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面．
（1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度；
（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？
13．（2020·四川雅安·初三期末）如图，王乐同学在晩上由路灯走向路灯．当他行到处时发现，他往路灯下的影长为2m，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了到处，此时他在路灯下的影孑恰好位于路灯的正下方（已知王乐身高，路灯高）．.版权所有
（1）王乐站在处时，在路灯下的影子是哪条线段？
（2）计算王乐站在处时，在路灯下的影长；
（3）计算路灯的高度．
考点3：正投影
典例：（2018·全国初三单元测试）如图，在底面是正三角形的三棱柱中，边AB，A'B'垂直于投影面P且AB，A'B'上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影长为2 cm，CC'的投影长为6 cm.
(1)画出三棱柱在投影面P上的正投影;
(2)求出三棱柱的表面积.
方法或规律点拨
本题考查了正投影的画法以及直三棱柱的表面积的求法.
巩固练习
1．（2020·河北邢台·初三二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·广西初三二模）把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国初三课时练习）如图所示的圆台的上下底面与平行光线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
4．（2019·全国初三课时练习）当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·全国初三课时练习）当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A．20 B．300 C．400 D．600
6．（2019·全国初三单元测试）如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（ ）
A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱
8．（2019·全国初三课时练习）一张矩形纸板（不考虑厚度，不折叠）的正投影可能是（ ）
①矩形；②平行四边形；③线段；④三角形；⑤任意四边形；⑥点
A．②③④ B．①③⑥ C．①②⑤ D．①②③
9．（2018·全国初三单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．① B．② C．③ D．都不是
10．（2020·全国初三课时练习）木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
11．（2019·全国初三课时练习）已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
考点4：视角与盲区问题
典例：（2019·全国初三单元测试）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间．
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
(2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式．
①1≤t≤2；
②2≤t≤3；
③3≤t≤4.
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况．
方法或规律点拨
此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法.
巩固练习
1．（2019·全国初三单元测试）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
3．（2019·全国初三期末）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M
4．（2020·山东岚山·初三期末）高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
5．（2019·全国初三单元测试）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
6．（2018·全国初三单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)________．
7．（2019·全国初三单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
8．（2019·全国初三单元测试）王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨．
9．（2019·全国初三单元测试）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
10．（2020·陕西凤翔·初三期末）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
11．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？
(2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？
12．（2019·全国初三单元测试）如图假设一座大楼高30米，观众坐在距大楼500米处，魔术师只需做一个屏障，屏障上的图画和没有大楼以后的景物一样，将屏障立在大楼前100米处，这样观众看上去好像大楼突然消失了．若要完全挡住大楼，请你找到一个方法计算出屏障至少要多高？(人身高忽略不计)
13．（2019·全国初三单元测试）明明与亮亮在借助两堵残墙玩捉迷藏游戏，若明明站在如图所示位置时，亮亮在哪个范围内活动是安全的？请在图(1)的俯视图(2)中画出亮亮的活动范围．
14．（2019·全国初三单元测试）如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
(1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)．
(2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离．
专题29.1 投影
典例体系（本专题共56题32页）
一、知识点
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
二、考点点拨与训练
考点1：平行投影
典例：（2020·南昌市第十四中学初三月考）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）；
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）如图1，CD是木杆在阳光下的影子；
（2）如图2，点P是影子的光源，
方法或规律点拨
平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子；点光源是由两个影子与物高决定；点光源经过物体的顶端也可得到物体在点光源下的影子．
巩固练习
1．（2020·四川省达川第四中学初三月考）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为
A．15m B．m C．60 m D．m
【答案】A
【解析】解：设旗杆的高度为xm，
由题意得，
解得x=15，这根旗杆的高度为15m．
故选A.
2．（2019·广东宝安·初一期末）如图，太阳光线AC和是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，则两根木杆高度相等．这利用了全等图形的性质，其中判断ABC≌的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】B
【解析】解：∵AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵两根高度相同的木杆竖直插在地面上，
∴AB＝A′B′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，
在△ACB和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）．
故选：B．
3．（2020·贵州贵阳·初三开学考试）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影 B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影 D．台灯发出的光线所形成的投影
【答案】B
【解析】解：因为：投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，
所以A，C，D都属于中心投影，只有B属于平行投影．
故选B．
4．（2019·四川江阳·初一期末）在太阳光的照射下，矩形相框在地面上的投影不可能是（ ）
A．一条线段 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形
【答案】C
【解析】在太阳光的照射下，矩形相框在地面上的投影不可能是三角形，
故选：C．
5．（2019·河北初三期末）如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测. 根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是 （ ）
A．小明：“早上8点” B．小亮：“中午12点”
C．小刚：“下午5点” D．小红：“什么时间都行”
【答案】C
【解析】解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．
故选C．
6．（2020·山东青岛·初三期末）如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④①
【答案】C
【解析】根据平行投影的规律以及电线杆从早到晚影子的指向规律，可知：俯视图的顺序为：④③①②，
故选C．
7．（2020·陕西金台·初三期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）.版权所有
A．4.25m B．4.45m C．4.60m D．4.75m
【答案】B
【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得
而CB=1.2，
∴BD=0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x=4.45，
∴树高是4.45m．
故选B．
8．（2020·辽宁丹东·初三期末）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（ ）
A．③—④—①—② B．②—①—④—③ C．④—①—②—③ D．④—①—③—②
【答案】B
【解析】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；
影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案
故选B
9．（2020·福建宁化·初三期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(画图时，不要求做文字说明，保留作图痕迹即可)
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE=10m．
【解析】解：（1）如图，连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF．
∴，
∴
∴DE=10（m）．
10．（2020·甘肃肃州·初三期末）如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）10m
【解析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=BC：EF，
∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴5：DE=3：6，
∴DE=10m．
11．（2020·湖南雨花·初三其他）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．
【解析】（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；
（2）根据题意画出图形，如图所示，
根据平行投影可知：＝，DE＝0.3，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH是平行四边形，
∴FH＝DG＝0.2，
∵AE＝4.42，
∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵＝，
∴AB＝＝8（米）．
答：树的高度为8米．
（3）由（2）可知：
AF＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
12．（2020·广西北海·初三月考）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．
（1）画出太阳光线CE和AB的影子BF；
（2）若AB=10米，CD=6米，CD到PQ的距离DQ的长为8米，求此时木杆AB的影子BF的长．
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）木杆AB的影长BF是米．
【解析】解：（1）如图所示，CE和BF即为所求；
（2）设木杆AB的影长BF为x米，
由题意，得：
，即，
解得：．
答：木杆AB的影子BF的长为米．
13．（2020·山西榆次·初三期末）下面图（1），图（2）分别是两种不同情形下旗杆和木杆的影子．
（1）哪个图反映了阳光下的情形？
（2）若同一时刻阳光下，木杆的影子长为0.8米，旗杆的影子长为7.2米，木杆的高为1.5米，求旗杆的高度．
【答案】（1）图（1）；（2）旗杆高度为13.5米
【解析】解：（1）图（1）；
（2）设旗杆的高度为米，
∵同一时刻物高之比等于影长之比，
∴
解得，
答：旗杆高度为13.5米
14．（2019·河北初三期末）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为.
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；
（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）根据平行投影的性质可得，A1B1=AB=8cm；
（2）如图（2），过A作AH⊥BB1，垂足为H．
∵AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，
∴四边形AA1B1H为矩形，
∴AH=A1B1，
在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，AB=8 cm，
∴，
∴．
考点2：中心投影
典例：（2020·揭阳市实验中学初三期中）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN=0.6 m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB=1.6 m．(图中线段AB、CD、EF表示小明的身高)
(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
(2)求小明位于F处的影长．
【答案】（1）画图见解析；（2）小明位于F处的影长为0.4 m．
【解析】（1）如图：点O是路灯的位置，FG是小明位于F处时，在路灯下的影子；
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH=xm，
由AB∥CD∥OH得：，
即，
解得x=1.2．
设FG=ym，
同理得，
即 ，
解得y=0.4，
所以小明位于F处的影长为0.4m .
方法或规律点拨
本题主要考查中心投影，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．
巩固练习
1．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即
∴A′B′＝6，
故选：C．
2．（2020·银川唐徕回民中学初三二模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
【答案】B
【解析】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．
故选B．
3．（2020·河北路南·初三期末）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
【答案】A
【解析】解：A．太阳距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．
B．台灯的光线是由台灯光源发出的光线，是中心投影；
C．手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线，是中心投影；
D．路灯的光线是由路灯光源发出的光线，是中心投影．
所以，只有A不是中心投影．
故选：A．
4（2019·河北初三期末）在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（ ）
A．把投影灯向银幕的相反方向移动 B．把剪影向投影灯方向移动
C．把剪影向银幕方向移动 D．把银幕向投影灯方向移动
【答案】B
【解析】解：根据中心投影的特点可知，如图，
当投影灯接近银幕时，投影会越来越大；相反当投影灯远离银幕时，投影会越来越小，故A错误；
当剪影越接近银幕时，投影会越来越小；相反当剪影远离银幕时，投影会越来越大，故B正确，C错误；
当银幕接近投影灯时，投影会越来越小；当银幕远离投影灯时，投影会越来越大，故D错误．
故选：B．
5．（2019·山东泰山·初三期末）在某光源下，两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，将a、b木棒的顶端与影子的末端分别连接，得到光源O，
连接光源O与木c的顶端并延长与地面的交点为E，连接EF即为木棒c的影子，
故选：C.
6．（2020·江苏泰兴·初三月考）某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米／秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出O到MN的垂线段OH(不写画法)；
（2）若小明身高1.5m，求OH的长．
【答案】（1）见解析；（2）4m
【解析】解：（1）如图所示：
（2）由题意得：BM=BD=2×1.5=3，
∵CD∥OH，
∴△CDG∽△OHG，
∴，
∵AB=CD=1.5，
∴①，
∵AB∥OH，
∴△ABM∽△OHM，
，
∴②，
由①②得：OH=4，
则OH的长为4m．
8．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
【答案】AB=6m
【解析】解：，
∴,即
，
即
解得，
解得，
即路灯A的高度AB为.
9．（2020·四川大邑·初三期中）学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；
（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
【答案】（1）路灯距地面的高度为8米；（2）小龙的身影的长度为3米
【解析】（1）∵AB⊥OM，PO⊥OM，
∴，
∴，
∴，
∴OP=8，
即路灯距地面的高度为8米；
（2）∵CD⊥OM，PO⊥OM，
∴，
∴，
∵OC=OA-AC=20-7=13，CD=1.5，OP=8，
∴，
∴CN=3，
即小龙的身影的长度为3米．
10．（2020·四川渠县·期末）如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母表示）
（2）在图中画出路灯灯杆（用线段表示）；
（3）若左边树的高度是4米，影长是3米，树根离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）灯杆的高度是米
【解析】解：（1）如图所示：O即为所求；
（2）如图所示：CO即为所求；
（3）由题意可得：△EAB∽△EOC，
则，
∵EB=3m，BC=1m，AB=4m，
∴，
解得：CO=，
答：灯杆的高度是 米．
11．（2019·西夏·宁夏大学附属中学初三月考）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，请在图中画出此时小明的影长B1C1，并求B1C1的长；
【答案】（1）见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m；（3）小明的影子的长是m．
【解析】（1）如图，连接CA，HE并延长相交于点G，即为所求路灯灯泡的位置，作出图形即可；
（2）由题意得：易得△ABC∽△GHC，
∴，
∴，
解得：GH=4.8，
答：路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m；
故答案为：4.8；
（3）连接G延长交HC于点，则即为小明的影子，在（1）中作图即得，与（2）类似，易证△∽△GH，
∴，
设长为xm，为HB的中点，
则，
解得：x=，
即=m，
答：小明的影子的长是m；
故答案为：．
12．（2019·安徽禹会·初三期中）如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面．
（1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度；
（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？
【答案】（1）作图见解析，影子DE的长度为3米；（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化规律为：先变长，后变短；当木棒CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE'最长，3米≤影长≤5米．
【解析】如图，
（1）DE即为木棒CD的影子，
根据题意，得
AB=6，CD=3，BD=3．
∵CD∥AB，∴
即，
解得：DE=3．
所以影子DE的长度为3米；
（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，
其影子的变化规律为：先变长，后变短；
当木棒CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE'最长．
如图DC'⊥AE'，∴∠E'C'D=∠ABE'=90°，
∠C'E'D=∠AE'B，∴△E'C'D∽△E'BA，
∴
即BE'=2C'E'
设C'E'=x，则BE'=2x，
∴DE'=BE'﹣BD=2x﹣3，
在Rt△DE'C'中，根据勾股定理，得(2x﹣3)2=32+x2
解得：x=0或4，
∴DE'=5，
所以其影长的取值范围是：大于或等于3米，小于或等于5米．
13．（2020·四川雅安·初三期末）如图，王乐同学在晩上由路灯走向路灯．当他行到处时发现，他往路灯下的影长为2m，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了到处，此时他在路灯下的影孑恰好位于路灯的正下方（已知王乐身高，路灯高）．
（1）王乐站在处时，在路灯下的影子是哪条线段？
（2）计算王乐站在处时，在路灯下的影长；
（3）计算路灯的高度．
【答案】（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子；（2）王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m；（3）路灯A的高度为12m
【解析】解：（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子．
（2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，
∴，
解得：QD=1.5m．
所以王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m
（3）由题意得Rt△QDF∽Rt△CDA，
∴，
∴，
解得：AC=12m．
所以路灯A的高度为12m.
考点3：正投影
典例：（2018·全国初三单元测试）如图，在底面是正三角形的三棱柱中，边AB，A'B'垂直于投影面P且AB，A'B'上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影长为2 cm，CC'的投影长为6 cm.
(1)画出三棱柱在投影面P上的正投影;
(2)求出三棱柱的表面积.
【答案】(1)画图见解析；(2)见解析.
【解析】(1)三棱柱在投影面P上的正投影如图.
(2)∵CD∥MH，∴CD=MH.
又∵MH=2 cm，∴CD=2 cm.
在Rt△ADC中，设AD=x cm，
则AC=2x cm，又CD=2 cm，由勾股定理，解得AC=cm.
三棱柱表面积S=2S△ABC+3S矩形ACC'A'，CC'=HK=6 cm，
因此，三棱柱表面积S=2××2×+3×6× = (cm2).
方法或规律点拨
本题考查了正投影的画法以及直三棱柱的表面积的求法.
巩固练习
1．（2020·河北邢台·初三二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．
故选C．
2．（2019·广西初三二模）把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是正三角形，
故选：B．
3．（2020·全国初三课时练习）如图所示的圆台的上下底面与平行光线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
【答案】C
【解析】根据题意，圆台的上下底面与平行光线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形
故选：C．
4．（2019·全国初三课时练习）当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．
故选：D．
5．（2019·全国初三课时练习）当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A．20 B．300 C．400 D．600
【答案】C
【解析】解：根据题意知，该正方体的正投影是边长为20的正方形，
∴正投影的面积为，
故选：C．
6．（2019·全国初三单元测试）如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（ ）
A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱
【答案】B
【解析】根据平行投影的特点，图中圆柱体的正投影是矩形，故答案选择B.
8．（2019·全国初三课时练习）一张矩形纸板（不考虑厚度，不折叠）的正投影可能是（ ）
①矩形；②平行四边形；③线段；④三角形；⑤任意四边形；⑥点
A．②③④ B．①③⑥ C．①②⑤ D．①②③
【答案】D
【解析】解：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影，根据矩形纸板摆放位置的不同，它的正投影会不同：
①当矩形面板正面向平行光线时，矩形的平行投影是矩形；
②当矩形面板与平行光线平行时，矩形的平行投影是线段；
③当矩形面板与平行光线成大于0度小于90度的角度时，矩形的平行投影是平行四边形；
故选：D.
9．（2018·全国初三单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．① B．② C．③ D．都不是
【答案】C
【解析】根据题意：①是点光源的投影，是错误的；②是斜投影，故错误；③是正投影，故正确.
故选C.
10．（2020·全国初三课时练习）木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
【答案】D
【解析】正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.2m.
故选D.
11．（2019·全国初三课时练习）已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
【答案】50平方厘米．
【解析】
如图所示，过A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝AB·cos45°＝10×=5(厘米)，
∴A1B1＝AH＝5(厘米)，
∵A1D1＝AD＝10(厘米)，
∴矩形A1B1C1D1的面积＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(平方厘米)．
考点4：视角与盲区问题
典例：（2019·全国初三单元测试）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间．
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
(2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式．
①1≤t≤2；
②2≤t≤3；
③3≤t≤4.
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】(1)如图：
(2)①当1≤t≤2时，△PAB内的盲区是梯形AEFG.
FG是△PAE的中位线，FG＝t－1，AE＝2(t－1)．而梯形AEFG的高为2，
∴y＝[(t－1)＋2(t－1)]×2＝3t－3.
②当2≤t≤3时，△PAB内的盲区是梯形QRST.
易知TS＝1，QR＝2，而梯形QRST的高为2，
∴y＝(1＋2)×2＝3.
③当3≤t≤4时，△PAB内的盲区是梯形WBUV.
易知UV＝1－(t－3)＝4－t，WB＝2(4－t)，而梯形的高为2，
∴y＝[(4－t)＋2(4－t)]×2＝12－3t.
当1≤t≤2时，盲区的面积由0逐渐增大到3；
当2≤t≤3时，盲区的面积y为定值3；
当3≤t≤4时，盲区的面积由3逐渐减小到0.
方法或规律点拨
此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法.
巩固练习
1．（2019·全国初三单元测试）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
【答案】C
【解析】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C.
3．（2019·全国初三期末）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M
【答案】D
【解析】只有在P点的盲区内才不容易被发现．由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这四点时不容易被发现．
故选D．
4．（2020·山东岚山·初三期末）高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
【答案】42
【解析】解：设此建筑物的高度为x米，根据题意得：，解得：x=42．
故答案为：42．
5．（2019·全国初三单元测试）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
【答案】17
【解析】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16，
在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，
因此，FE=OF÷2=1
S△OFE=2×1÷2=1，
因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米．
故答案为：17.
6．（2018·全国初三单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)________．
【答案】①②③
【解析】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选①②③.
7．（2019·全国初三单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变．
【解析】(1)形成的盲区为梯形AEFB，
∵AB∥EF，
∴△PAB∽△PEF，
∴＝，
∴EF＝9，
∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化，
∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变．
所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变．
8．（2019·全国初三单元测试）王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨．
【答案】见解析.
【解析】
从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨．
根据题意画出盲区即可判断出答案．
9．（2019·全国初三单元测试）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位．
【解析】解(1)如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区．
(2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H.
由题意，得∠MON＝90°.
∵OG⊥MN，OH⊥EF，
OG＝OH＝15，
∴∠EOF＝∠MON＝90°.
∴r＝＝15.
∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)．
∴1125÷0.8≈1406.
∴A票区约有1406个座位．
10．（2020·陕西凤翔·初三期末）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
【答案】（1）汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；（2）他向前行驶了18.3米．
【解析】解：（1）如图所示：
汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；
（2）∵小明的视角为30°，A建筑物高25米，
∴AC＝25，
tan30°＝＝，
∴AM＝25 ，
∵∠AEC＝45°，
∴AE＝AC＝25m，
∴ME＝AM﹣AE＝43.3﹣25＝18.3m．
则他向前行驶了18.3米．
11．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？
(2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？
【答案】（1）不能；（2）AM至少为10m，此时视角为30°.
【解析】解：(1)不能，连接点A与M楼的顶点，因为建筑物在A点的盲区范围内
(2)设AM＝x，则，解得x＝10，故至少与M楼相距10 m，tanα=，所以α=30°，此时视角为30°.
12．（2019·全国初三单元测试）如图假设一座大楼高30米，观众坐在距大楼500米处，魔术师只需做一个屏障，屏障上的图画和没有大楼以后的景物一样，将屏障立在大楼前100米处，这样观众看上去好像大楼突然消失了．若要完全挡住大楼，请你找到一个方法计算出屏障至少要多高？(人身高忽略不计)
【答案】屏障至少是24 m.
【解析】连接OA，交CD于E，
由题意知，AB⊥OB，CD⊥OB，EDO＝ABO＝90.
则tanEOD＝tanAOB＝＝，
故＝，
解得ED＝24(m)．
故答案为：屏障至少是24 m.
13．（2019·全国初三单元测试）明明与亮亮在借助两堵残墙玩捉迷藏游戏，若明明站在如图所示位置时，亮亮在哪个范围内活动是安全的？请在图(1)的俯视图(2)中画出亮亮的活动范围．
【答案】阴影部分A、B为亮亮活动的范围见解析．
【解析】阴影部分A、B为亮亮活动的范围．
故答案为阴影部分A、B为亮亮活动的范围见解析．
14．（2019·全国初三单元测试）如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
(1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)．
(2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）点C到胜利街口的距离CM为24 m.
【解析】解 (1)如图所示，CP为视线，点C为所求位置．
(2)∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，
∴∠CMD＝∠PND＝90°.
又∵∠CDM＝∠PDN，
∴△CDM∽△PDN，
∴＝.
∵MN＝30 m，MD＝12 m，
∴ND＝18 m.
∴＝，
∴CM＝24(m)．
∴点C到胜利街口的距离CM为24 m.
专题29.1 投影
典例体系（本专题共56题32页）
一、知识点
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
二、考点点拨与训练
考点1：平行投影
典例：（2020·南昌市第十四中学初三月考）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）；
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示）
方法或规律点拨
平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子；点光源是由两个影子与物高决定；点光源经过物体的顶端也可得到物体在点光源下的影子．
巩固练习
1．（2020·四川省达川第四中学初三月考）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为
A．15m B．m C．60 m D．m
2．（2019·广东宝安·初一期末）如图，太阳光线AC和是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，则两根木杆高度相等．这利用了全等图形的性质，其中判断ABC≌的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
3．（2020·贵州贵阳·初三开学考试）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影 B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影 D．台灯发出的光线所形成的投影
4．（2019·四川江阳·初一期末）在太阳光的照射下，矩形相框在地面上的投影不可能是（ ）
A．一条线段 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形
5．（2019·河北初三期末）如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测. 根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是 （ ）
A．小明：“早上8点” B．小亮：“中午12点”
C．小刚：“下午5点” D．小红：“什么时间都行”
6．（2020·山东青岛·初三期末）如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④①
7．（2020·陕西金台·初三期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．4.25m B．4.45m C．4.60m D．4.75m
8．（2020·辽宁丹东·初三期末）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（ ）
A．③—④—①—② B．②—①—④—③ C．④—①—②—③ D．④—①—③—②
9．（2020·福建宁化·初三期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(画图时，不要求做文字说明，保留作图痕迹即可)
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
10．（2020·甘肃肃州·初三期末）如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．
11．（2020·湖南雨花·初三其他）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
12．（2020·广西北海·初三月考）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．
（1）画出太阳光线CE和AB的影子BF；
（2）若AB=10米，CD=6米，CD到PQ的距离DQ的长为8米，求此时木杆AB的影子BF的长．
13．（2020·山西榆次·初三期末）下面图（1），图（2）分别是两种不同情形下旗杆和木杆的影子．
（1）哪个图反映了阳光下的情形？
（2）若同一时刻阳光下，木杆的影子长为0.8米，旗杆的影子长为7.2米，木杆的高为1.5米，求旗杆的高度．
14．（2019·河北初三期末）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为.
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；
（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
考点2：中心投影
典例：（2020·揭阳市实验中学初三期中）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN=0.6 m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB=1.6 m．(图中线段AB、CD、EF表示小明的身高)
(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
(2)求小明位于F处的影长．
方法或规律点拨
本题主要考查中心投影，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．
巩固练习
1．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
2．（2020·银川唐徕回民中学初三二模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
3．（2020·河北路南·初三期末）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
4（2019·河北初三期末）在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（ ）
A．把投影灯向银幕的相反方向移动 B．把剪影向投影灯方向移动
C．把剪影向银幕方向移动 D．把银幕向投影灯方向移动
5．（2019·山东泰山·初三期末）在某光源下，两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是( )
A． B．
C． D．
6．（2020·江苏泰兴·初三月考）某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米／秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出O到MN的垂线段OH(不写画法)；
（2）若小明身高1.5m，求OH的长．
8．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
9．（2020·四川大邑·初三期中）学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；
（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
10．（2020·四川渠县·期末）如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母表示）
（2）在图中画出路灯灯杆（用线段表示）；
（3）若左边树的高度是4米，影长是3米，树根离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．
11．（2019·西夏·宁夏大学附属中学初三月考）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，请在图中画出此时小明的影长B1C1，并求B1C1的长；
12．（2019·安徽禹会·初三期中）如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面．
（1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度；
（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？
13．（2020·四川雅安·初三期末）如图，王乐同学在晩上由路灯走向路灯．当他行到处时发现，他往路灯下的影长为2m，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了到处，此时他在路灯下的影孑恰好位于路灯的正下方（已知王乐身高，路灯高）．.版权所有
（1）王乐站在处时，在路灯下的影子是哪条线段？
（2）计算王乐站在处时，在路灯下的影长；
（3）计算路灯的高度．
考点3：正投影
典例：（2018·全国初三单元测试）如图，在底面是正三角形的三棱柱中，边AB，A'B'垂直于投影面P且AB，A'B'上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影长为2 cm，CC'的投影长为6 cm.
(1)画出三棱柱在投影面P上的正投影;
(2)求出三棱柱的表面积.
方法或规律点拨
本题考查了正投影的画法以及直三棱柱的表面积的求法.
巩固练习
1．（2020·河北邢台·初三二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·广西初三二模）把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国初三课时练习）如图所示的圆台的上下底面与平行光线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
4．（2019·全国初三课时练习）当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·全国初三课时练习）当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A．20 B．300 C．400 D．600
6．（2019·全国初三单元测试）如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（ ）
A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱
8．（2019·全国初三课时练习）一张矩形纸板（不考虑厚度，不折叠）的正投影可能是（ ）
①矩形；②平行四边形；③线段；④三角形；⑤任意四边形；⑥点
A．②③④ B．①③⑥ C．①②⑤ D．①②③
9．（2018·全国初三单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．① B．② C．③ D．都不是
10．（2020·全国初三课时练习）木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
11．（2019·全国初三课时练习）已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
考点4：视角与盲区问题
典例：（2019·全国初三单元测试）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间．
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
(2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式．
①1≤t≤2；
②2≤t≤3；
③3≤t≤4.
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况．
方法或规律点拨
此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法.
巩固练习
1．（2019·全国初三单元测试）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
3．（2019·全国初三期末）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M
4．（2020·山东岚山·初三期末）高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
5．（2019·全国初三单元测试）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
6．（2018·全国初三单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)________．
7．（2019·全国初三单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
8．（2019·全国初三单元测试）王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨．
9．（2019·全国初三单元测试）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
10．（2020·陕西凤翔·初三期末）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
11．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？
(2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？
12．（2019·全国初三单元测试）如图假设一座大楼高30米，观众坐在距大楼500米处，魔术师只需做一个屏障，屏障上的图画和没有大楼以后的景物一样，将屏障立在大楼前100米处，这样观众看上去好像大楼突然消失了．若要完全挡住大楼，请你找到一个方法计算出屏障至少要多高？(人身高忽略不计)
13．（2019·全国初三单元测试）明明与亮亮在借助两堵残墙玩捉迷藏游戏，若明明站在如图所示位置时，亮亮在哪个范围内活动是安全的？请在图(1)的俯视图(2)中画出亮亮的活动范围．
14．（2019·全国初三单元测试）如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
(1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)．
(2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离．
专题29.1 投影
典例体系（本专题共56题32页）
一、知识点
投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。在物体的平行投影中，投影线垂直于投影面，则该平行投影称为正投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
二、考点点拨与训练
考点1：平行投影
典例：（2020·南昌市第十四中学初三月考）（1）一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子（用线段CD表示）；
（2）图2是两根标杆及它们在灯光下的影子．请在图中画出光源的位置（用点P表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】解：（1）如图1，CD是木杆在阳光下的影子；
（2）如图2，点P是影子的光源，
方法或规律点拨
平行光线得到的影子是平行光线经过物体的顶端得到的影子；点光源是由两个影子与物高决定；点光源经过物体的顶端也可得到物体在点光源下的影子．
巩固练习
1．（2020·四川省达川第四中学初三月考）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为
A．15m B．m C．60 m D．m
【答案】A
【解析】解：设旗杆的高度为xm，
由题意得，
解得x=15，这根旗杆的高度为15m．
故选A.
2．（2019·广东宝安·初一期末）如图，太阳光线AC和是平行的，在同一时刻，若两根木杆的影子一样长，则两根木杆高度相等．这利用了全等图形的性质，其中判断ABC≌的依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA
【答案】B
【解析】解：∵AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′，
∵两根高度相同的木杆竖直插在地面上，
∴AB＝A′B′，∠ABC＝∠A′B′C′＝90°，
在△ACB和△A′B′C′中，
，
∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）．
故选：B．
3．（2020·贵州贵阳·初三开学考试）下列投影现象属于平行投影的是（ ）
A．手电筒发出的光线所形成的投影 B．太阳光发出的光线所形成的投影
C．路灯发出的光线所形成的投影 D．台灯发出的光线所形成的投影
【答案】B
【解析】解：因为：投影线交于一点的投影为中心投影，投影线相互平行的投影称为平行投影，
所以A，C，D都属于中心投影，只有B属于平行投影．
故选B．
4．（2019·四川江阳·初一期末）在太阳光的照射下，矩形相框在地面上的投影不可能是（ ）
A．一条线段 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形
【答案】C
【解析】在太阳光的照射下，矩形相框在地面上的投影不可能是三角形，
故选：C．
5．（2019·河北初三期末）如图是胡老师画的一幅写生画，四位同学对这幅画的作画时间作了猜测. 根据胡老师给出的方向坐标，猜测比较合理的是 （ ）
A．小明：“早上8点” B．小亮：“中午12点”
C．小刚：“下午5点” D．小红：“什么时间都行”
【答案】C
【解析】解：根据题意：影子在物体的东方，根据北半球，从早晨到傍晚影子的指向是：西-西北-北-东北-东，可得应该是下午．
故选C．
6．（2020·山东青岛·初三期末）如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（ ）
A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④①
【答案】C
【解析】根据平行投影的规律以及电线杆从早到晚影子的指向规律，可知：俯视图的顺序为：④③①②，
故选C．
7．（2020·陕西金台·初三期末）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（ ）.版权所有
A．4.25m B．4.45m C．4.60m D．4.75m
【答案】B
【解析】如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得
而CB=1.2，
∴BD=0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x=4.45，
∴树高是4.45m．
故选B．
8．（2020·辽宁丹东·初三期末）如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（ ）
A．③—④—①—② B．②—①—④—③ C．④—①—②—③ D．④—①—③—②
【答案】B
【解析】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；
影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案
故选B
9．（2020·福建宁化·初三期中）已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=3m．
（1）请你在图中画出此时DE在阳光下的投影；(画图时，不要求做文字说明，保留作图痕迹即可)
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为6m，请你计算DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE=10m．
【解析】解：（1）如图，连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
说明：画图时，不要求学生做文字说明，只要画出两条平行线AC和DF，再连接EF即可．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE．
∵∠ABC=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF．
∴，
∴
∴DE=10（m）．
10．（2020·甘肃肃州·初三期末）如图，AB和DE直立在地面上的两根立柱，已知AB=5m,某一时刻AB在太阳光下的影子长BC=3m．
（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；
（2）在测量AB影子长时，同时测量出EF=6m，计算DE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）10m
【解析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影．
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵∠ABC=∠DEF=90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴AB：DE=BC：EF，
∵AB=5m，BC=3m，EF=6m，
∴5：DE=3：6，
∴DE=10m．
11．（2020·湖南雨花·初三其他）在阳光下，小玲同学测得一根长为1米的垂直地面的竹竿的影长为0.6米，同时小强同学测量树的高度时，发现树的影子有一部分0.2米落在教学楼的第一级台阶上，落在地面上的影长为4.42米，每级台阶高为0.3米．小玲说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度应该是4.62米”；小强说：“要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度肯定比4.62米要长”．
（1）你认为小玲和小强的说法对吗？
（2）请根据小玲和小强的测量数据计算树的高度；
（3）要是没有台阶遮挡的话，树的影子长度是多少？
【答案】（1）小玲的说法不对，小强的说法对；（2）树的高度为8米；（3）树的影子长度是4.8米．
【解析】（1）小玲的说法不对，小强的说法对，理由如下（2）可得；
（2）根据题意画出图形，如图所示，
根据平行投影可知：＝，DE＝0.3，
∴EH＝0.3×0.6＝0.18，
∵四边形DGFH是平行四边形，
∴FH＝DG＝0.2，
∵AE＝4.42，
∴AF＝AE+EH+FH＝4.42+0.18+0.2＝4.8，
∵＝，
∴AB＝＝8（米）．
答：树的高度为8米．
（3）由（2）可知：
AF＝4.8（米），
答：树的影子长度是4.8米．
12．（2020·广西北海·初三月考）如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．
（1）画出太阳光线CE和AB的影子BF；
（2）若AB=10米，CD=6米，CD到PQ的距离DQ的长为8米，求此时木杆AB的影子BF的长．
【答案】（1）如图所示，见解析；（2）木杆AB的影长BF是米．
【解析】解：（1）如图所示，CE和BF即为所求；
（2）设木杆AB的影长BF为x米，
由题意，得：
，即，
解得：．
答：木杆AB的影子BF的长为米．
13．（2020·山西榆次·初三期末）下面图（1），图（2）分别是两种不同情形下旗杆和木杆的影子．
（1）哪个图反映了阳光下的情形？
（2）若同一时刻阳光下，木杆的影子长为0.8米，旗杆的影子长为7.2米，木杆的高为1.5米，求旗杆的高度．
【答案】（1）图（1）；（2）旗杆高度为13.5米
【解析】解：（1）图（1）；
（2）设旗杆的高度为米，
∵同一时刻物高之比等于影长之比，
∴
解得，
答：旗杆高度为13.5米
14．（2019·河北初三期末）已知木棒垂直投射于投影面上的投影为，且木棒的长为.
（1）如图（1），若平行于投影面，求长；
（2）如图（2），若木棒与投影面的倾斜角为，求这时长.
【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）根据平行投影的性质可得，A1B1=AB=8cm；
（2）如图（2），过A作AH⊥BB1，垂足为H．
∵AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1，
∴四边形AA1B1H为矩形，
∴AH=A1B1，
在Rt△ABH中，∵∠BAH=30°，AB=8 cm，
∴，
∴．
考点2：中心投影
典例：（2020·揭阳市实验中学初三期中）如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FM运动，当他运动2米到达点D处时，测得影长DN=0.6 m，再前进2米到达点B处时，测得影长MB=1.6 m．(图中线段AB、CD、EF表示小明的身高)
(1)请画出路灯O的位置和小明位于F处时，在路灯灯光下的影子；
(2)求小明位于F处的影长．
【答案】（1）画图见解析；（2）小明位于F处的影长为0.4 m．
【解析】（1）如图：点O是路灯的位置，FG是小明位于F处时，在路灯下的影子；
（2）过O作OH⊥MG于点H，设DH=xm，
由AB∥CD∥OH得：，
即，
解得x=1.2．
设FG=ym，
同理得，
即 ，
解得y=0.4，
所以小明位于F处的影长为0.4m .
方法或规律点拨
本题主要考查中心投影，需要把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可．
巩固练习
1．（2020·重庆南岸·一模）如图，在直角坐标系中，点P（2，2）是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影长为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】延长PA、PB分别交x轴于A′、B′，作PE⊥x轴于E，交AB于D，如图
∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．
∴PD＝1，PE＝2，AB＝3，
∵AB∥A′B′，
∴△PAB∽△PA′B′，
∴，即
∴A′B′＝6，
故选：C．
2．（2020·银川唐徕回民中学初三二模）如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子（ ）
A．逐渐变短 B．先变短后变长
C．先变长后变短 D．逐渐变长
【答案】B
【解析】晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子先变短，再变长．
故选B．
3．（2020·河北路南·初三期末）下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）
A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线
【答案】A
【解析】解：A．太阳距离地球很远，我们认为是平行光线，因此不是中心投影．
B．台灯的光线是由台灯光源发出的光线，是中心投影；
C．手电筒的光线是由手电筒光源发出的光线，是中心投影；
D．路灯的光线是由路灯光源发出的光线，是中心投影．
所以，只有A不是中心投影．
故选：A．
4（2019·河北初三期末）在皮影戏的表演中，要使银幕上的投影放大，下列做法中正确的是（ ）
A．把投影灯向银幕的相反方向移动 B．把剪影向投影灯方向移动
C．把剪影向银幕方向移动 D．把银幕向投影灯方向移动
【答案】B
【解析】解：根据中心投影的特点可知，如图，
当投影灯接近银幕时，投影会越来越大；相反当投影灯远离银幕时，投影会越来越小，故A错误；
当剪影越接近银幕时，投影会越来越小；相反当剪影远离银幕时，投影会越来越大，故B正确，C错误；
当银幕接近投影灯时，投影会越来越小；当银幕远离投影灯时，投影会越来越大，故D错误．
故选：B．
5．（2019·山东泰山·初三期末）在某光源下，两根木棒在同一平面内的影子如图所示，此时，第三根木棒的影子表示正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，将a、b木棒的顶端与影子的末端分别连接，得到光源O，
连接光源O与木c的顶端并延长与地面的交点为E，连接EF即为木棒c的影子，
故选：C.
6．（2020·江苏泰兴·初三月考）某兴趣小组开展课外活动．如图，小明从点M出发以1.5米／秒的速度，沿射线MN方向匀速前进，2秒后到达点B，此时他(AB)在某一灯光下的影长为MB，继续按原速行走2秒到达点D，此时他(CD)在同一灯光下的影子GD仍落在其身后，并测得这个影长GD为1.2米．
（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出O到MN的垂线段OH(不写画法)；
（2）若小明身高1.5m，求OH的长．
【答案】（1）见解析；（2）4m
【解析】解：（1）如图所示：
（2）由题意得：BM=BD=2×1.5=3，
∵CD∥OH，
∴△CDG∽△OHG，
∴，
∵AB=CD=1.5，
∴①，
∵AB∥OH，
∴△ABM∽△OHM，
，
∴②，
由①②得：OH=4，
则OH的长为4m．
8．（2020·桂林·广西师大附属外国语学校初三月考）如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
【答案】AB=6m
【解析】解：，
∴,即
，
即
解得，
解得，
即路灯A的高度AB为.
9．（2020·四川大邑·初三期中）学习了相似三角形的知识后，爱探究的小明下晚自习后利用路灯的光线去测量了一路灯的高度，并作出了示意图：如图，路灯（点P）距地面若干米，身高1.6米的小明站在距路灯的底部（O点）20米的A点时，身影的长度AM为5米；
（1）请帮助小明求出路灯距地面的高度；
（2）若另一名身高为1.5米小龙站在直线OA上的C点时，测得他与小明的距离AC为7米，求小龙的身影的长度．
【答案】（1）路灯距地面的高度为8米；（2）小龙的身影的长度为3米
【解析】（1）∵AB⊥OM，PO⊥OM，
∴，
∴，
∴，
∴OP=8，
即路灯距地面的高度为8米；
（2）∵CD⊥OM，PO⊥OM，
∴，
∴，
∵OC=OA-AC=20-7=13，CD=1.5，OP=8，
∴，
∴CN=3，
即小龙的身影的长度为3米．
10．（2020·四川渠县·期末）如图，是两棵树分别在同一时刻、同一路灯下的影子．
（1）请画出路灯灯泡的位置（用字母表示）
（2）在图中画出路灯灯杆（用线段表示）；
（3）若左边树的高度是4米，影长是3米，树根离灯杆底的距离是1米，求灯杆的高度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）灯杆的高度是米
【解析】解：（1）如图所示：O即为所求；
（2）如图所示：CO即为所求；
（3）由题意可得：△EAB∽△EOC，
则，
∵EB=3m，BC=1m，AB=4m，
∴，
解得：CO=，
答：灯杆的高度是 米．
11．（2019·西夏·宁夏大学附属中学初三月考）学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为的小明的影子长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置；
（2）求路灯灯泡的垂直高度；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，请在图中画出此时小明的影长B1C1，并求B1C1的长；
【答案】（1）见解析；（2）路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m；（3）小明的影子的长是m．
【解析】（1）如图，连接CA，HE并延长相交于点G，即为所求路灯灯泡的位置，作出图形即可；
（2）由题意得：易得△ABC∽△GHC，
∴，
∴，
解得：GH=4.8，
答：路灯灯泡的垂直高度GH是4.8m；
故答案为：4.8；
（3）连接G延长交HC于点，则即为小明的影子，在（1）中作图即得，与（2）类似，易证△∽△GH，
∴，
设长为xm，为HB的中点，
则，
解得：x=，
即=m，
答：小明的影子的长是m；
故答案为：．
12．（2019·安徽禹会·初三期中）如图所示，灯在距地面6米的A处，与灯柱AB相距3米的地方有一长3米的木棒CD直立于地面．
（1）在图中画出木棒CD的影子，并求出它的长度；
（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化有什么规律？你能求出其影长的取值范围吗？
【答案】（1）作图见解析，影子DE的长度为3米；（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，其影子的变化规律为：先变长，后变短；当木棒CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE'最长，3米≤影长≤5米．
【解析】如图，
（1）DE即为木棒CD的影子，
根据题意，得
AB=6，CD=3，BD=3．
∵CD∥AB，∴
即，
解得：DE=3．
所以影子DE的长度为3米；
（2）当木棒绕其与地面的固定端点D按顺时针方向旋转到地面时，
其影子的变化规律为：先变长，后变短；
当木棒CD与经过C'点的光线垂直时，影子DE'最长．
如图DC'⊥AE'，∴∠E'C'D=∠ABE'=90°，
∠C'E'D=∠AE'B，∴△E'C'D∽△E'BA，
∴
即BE'=2C'E'
设C'E'=x，则BE'=2x，
∴DE'=BE'﹣BD=2x﹣3，
在Rt△DE'C'中，根据勾股定理，得(2x﹣3)2=32+x2
解得：x=0或4，
∴DE'=5，
所以其影长的取值范围是：大于或等于3米，小于或等于5米．
13．（2020·四川雅安·初三期末）如图，王乐同学在晩上由路灯走向路灯．当他行到处时发现，他往路灯下的影长为2m，且恰好位于路灯的正下方，接着他又走了到处，此时他在路灯下的影孑恰好位于路灯的正下方（已知王乐身高，路灯高）．
（1）王乐站在处时，在路灯下的影子是哪条线段？
（2）计算王乐站在处时，在路灯下的影长；
（3）计算路灯的高度．
【答案】（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子；（2）王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m；（3）路灯A的高度为12m
【解析】解：（1）线段CP为王乐在路灯B下的影子．
（2）由题意得Rt△CEP∽Rt△CBD，
∴，
解得：QD=1.5m．
所以王乐站在Q处时，在路灯A下的影长为1.5m
（3）由题意得Rt△QDF∽Rt△CDA，
∴，
∴，
解得：AC=12m．
所以路灯A的高度为12m.
考点3：正投影
典例：（2018·全国初三单元测试）如图，在底面是正三角形的三棱柱中，边AB，A'B'垂直于投影面P且AB，A'B'上的高所在截面平行于投影面，若已知CD的投影长为2 cm，CC'的投影长为6 cm.
(1)画出三棱柱在投影面P上的正投影;
(2)求出三棱柱的表面积.
【答案】(1)画图见解析；(2)见解析.
【解析】(1)三棱柱在投影面P上的正投影如图.
(2)∵CD∥MH，∴CD=MH.
又∵MH=2 cm，∴CD=2 cm.
在Rt△ADC中，设AD=x cm，
则AC=2x cm，又CD=2 cm，由勾股定理，解得AC=cm.
三棱柱表面积S=2S△ABC+3S矩形ACC'A'，CC'=HK=6 cm，
因此，三棱柱表面积S=2××2×+3×6× = (cm2).
方法或规律点拨
本题考查了正投影的画法以及直三棱柱的表面积的求法.
巩固练习
1．（2020·河北邢台·初三二模）如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．
故选C．
2．（2019·广西初三二模）把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：把一个正三棱柱如图摆放，光线由上向下照射此正三棱柱时的正投影是正三角形，
故选：B．
3．（2020·全国初三课时练习）如图所示的圆台的上下底面与平行光线平行，圆台的正投影是（ ）
A．矩形 B．两条线段 C．等腰梯形 D．圆环
【答案】C
【解析】根据题意，圆台的上下底面与平行光线平行，则圆台的正投影是该圆台的轴截面，即等腰梯形
故选：C．
4．（2019·全国初三课时练习）当投影线由上到下照射水杯时，如图所示，那么水杯的正投影是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：依题意，光线是垂直照下的，故只有D符合．
故选：D．
5．（2019·全国初三课时练习）当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影的面积为（ ）
A．20 B．300 C．400 D．600
【答案】C
【解析】解：根据题意知，该正方体的正投影是边长为20的正方形，
∴正投影的面积为，
故选：C．
6．（2019·全国初三单元测试）如图，箭头表示投影的方向，则图中圆柱的正投影是（ ）
A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱
【答案】B
【解析】根据平行投影的特点，图中圆柱体的正投影是矩形，故答案选择B.
8．（2019·全国初三课时练习）一张矩形纸板（不考虑厚度，不折叠）的正投影可能是（ ）
①矩形；②平行四边形；③线段；④三角形；⑤任意四边形；⑥点
A．②③④ B．①③⑥ C．①②⑤ D．①②③
【答案】D
【解析】解：平行光线与投影面垂直，这种投影称为正投影，根据矩形纸板摆放位置的不同，它的正投影会不同：
①当矩形面板正面向平行光线时，矩形的平行投影是矩形；
②当矩形面板与平行光线平行时，矩形的平行投影是线段；
③当矩形面板与平行光线成大于0度小于90度的角度时，矩形的平行投影是平行四边形；
故选：D.
9．（2018·全国初三单元测试）下列投影是正投影的是( )
A．① B．② C．③ D．都不是
【答案】C
【解析】根据题意：①是点光源的投影，是错误的；②是斜投影，故错误；③是正投影，故正确.
故选C.
10．（2020·全国初三课时练习）木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定（ ）
A．大于1.2m B．小于1.2m
C．等于1.2m D．小于或等于1.2m
【答案】D
【解析】正投影的长度与木棒的摆放角度有关系，但无论怎样摆都不会超过1.2m.
故选D.
11．（2019·全国初三课时练习）已知一纸板的形状为正方形ABCD如图所示．其边长为10厘米，AD、BC与投影面β平行，AB、CD与投影面不平行，正方形在投影面β上的正投影为A1B1C1D1.若∠ABB1＝45°，求投影面A1B1C1D1的面积．
【答案】50平方厘米．
【解析】
如图所示，过A作AH⊥BB1于H，
∵∠ABB1＝45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴AH＝AB·cos45°＝10×=5(厘米)，
∴A1B1＝AH＝5(厘米)，
∵A1D1＝AD＝10(厘米)，
∴矩形A1B1C1D1的面积＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(平方厘米)．
考点4：视角与盲区问题
典例：（2019·全国初三单元测试）如图，正方形ABCD的边长为4，点M，N，P分别为AD，BC，CD的中点．现从点P观察线段AB，当长度为1的线段l(图中的黑粗线)以每秒1个单位长的速度沿线段MN从左向右运动时，l将阻挡部分观察视线，在△PAB区域内形成盲区．设l的右端点运动到M点的时刻为0，用t(秒)表示l的运动时间．
(1)请你针对图(1)(2)(3)中l位于不同位置的情形分别画出在△PAB内相应的盲区，并在盲区内涂上阴影．
(2)设△PAB内的盲区面积是y(平方单位)，在下列条件下，求出用t表示y的函数关系式．
①1≤t≤2；
②2≤t≤3；
③3≤t≤4.
根据①～③中得到的结论，请你简单概括y随t变化而变化的情况．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】(1)如图：
(2)①当1≤t≤2时，△PAB内的盲区是梯形AEFG.
FG是△PAE的中位线，FG＝t－1，AE＝2(t－1)．而梯形AEFG的高为2，
∴y＝[(t－1)＋2(t－1)]×2＝3t－3.
②当2≤t≤3时，△PAB内的盲区是梯形QRST.
易知TS＝1，QR＝2，而梯形QRST的高为2，
∴y＝(1＋2)×2＝3.
③当3≤t≤4时，△PAB内的盲区是梯形WBUV.
易知UV＝1－(t－3)＝4－t，WB＝2(4－t)，而梯形的高为2，
∴y＝[(4－t)＋2(4－t)]×2＝12－3t.
当1≤t≤2时，盲区的面积由0逐渐增大到3；
当2≤t≤3时，盲区的面积y为定值3；
当3≤t≤4时，盲区的面积由3逐渐减小到0.
方法或规律点拨
此题主要考查中心投影的性质与应用，解题的关键是正确理解好盲区的定义，及梯形面积的求法.
巩固练习
1．（2019·全国初三单元测试）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（ ）
A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以
【答案】C
【解析】由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C.
3．（2019·全国初三期末）如图所示，凯凯和乐乐捉迷藏，乐乐站在图中的P处，凯凯藏在图中哪些位置，才不易被乐乐发现( )
A．M，R，S，F B．N，S，E，F C．M，F，S，R D．E，S，F，M
【答案】D
【解析】只有在P点的盲区内才不容易被发现．由图可知：P视点的盲区中有E，S，F，M点，因此在这四点时不容易被发现．
故选D．
4．（2020·山东岚山·初三期末）高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
【答案】42
【解析】解：设此建筑物的高度为x米，根据题意得：，解得：x=42．
故答案为：42．
5．（2019·全国初三单元测试）如图，房间里有一只老鼠，门外蹲着一只小猫，如果每块正方形地砖的边长为1米，那么老鼠在地面上能避开小猫视线的活动范围为_________平方米（不计墙的厚度）.
【答案】17
【解析】在Rt△ACD中，CD=AC=6，S梯形BCDH=（2+6）×4÷2=16，
在Rt△ABO中，tan∠AOB=tan∠FOE=1：2，
因此，FE=OF÷2=1
S△OFE=2×1÷2=1，
因此，老鼠可以躲过猫的视线的范围应是16+1=17平方米．
故答案为：17.
6．（2018·全国初三单元测试）现有m，n两堵墙，两个同学分别站在A处和B处，请问小明在哪个区域内活动才不被这两个同学发现(用阴影部分的序号表示)________．
【答案】①②③
【解析】由图可知，①②③都在AB两个视点的盲区内，因此在这三处，不会被两个同学发现，因此选①②③.
7．（2019·全国初三单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题：
(1)画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？
【答案】(1)盲区的面积为75 m2；(2)盲区的面积不变．
【解析】(1)形成的盲区为梯形AEFB，
∵AB∥EF，
∴△PAB∽△PEF，
∴＝，
∴EF＝9，
∴盲区的面积为(6＋9)×10÷2＝75 m2；
(2)当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化，
∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变．
所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变．
8．（2019·全国初三单元测试）王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨．
【答案】见解析.
【解析】
从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨．
根据题意画出盲区即可判断出答案．
9．（2019·全国初三单元测试）如图是某比赛场馆的平面图，根据距离比赛场地的远近和视角的不同，将观赛场地划分成A、B、C三个不同的票价区．其中与场地边缘MN的视角大于或等于45°，并且距场地边缘MN的距离不超过30 m的区域划分为A票区，B票区如图所示，剩下的为C票区．(π取3)
(1)请你利用尺规作图，在观赛场地中，作出A票区所在的区域(只要作出图形，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)如果每个座位所占的平均面积是0.8平方米，请估算A票区有多少个座位．
【答案】（1）详见解析；（2）A票区约有1 406个座位．
【解析】解(1)如图，以线段MN、EF与、所围成的区域就是所作的A票区．
(2)连接OM、ON、OE、OF，设MN的中垂线与MN、EF分别相交于点G和H.
由题意，得∠MON＝90°.
∵OG⊥MN，OH⊥EF，
OG＝OH＝15，
∴∠EOF＝∠MON＝90°.
∴r＝＝15.
∴SA＝(S扇形FOM＋S扇形EON)＋(S△OMN＋S△EOF)＝πr2＋r2≈1125(米2)．
∴1125÷0.8≈1406.
∴A票区约有1406个座位．
10．（2020·陕西凤翔·初三期末）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A、B（如图），在（1）处小颖能看到B建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A建筑物高25米．
（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B？请在图中标出这点．
（2）若小明刚好看不到B建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）
【答案】（1）汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；（2）他向前行驶了18.3米．
【解析】解：（1）如图所示：
汽车行驶到E点位置时，小明刚好看不到建筑物B；
（2）∵小明的视角为30°，A建筑物高25米，
∴AC＝25，
tan30°＝＝，
∴AM＝25 ，
∵∠AEC＝45°，
∴AE＝AC＝25m，
∴ME＝AM﹣AE＝43.3﹣25＝18.3m．
则他向前行驶了18.3米．
11．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？
(2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？
【答案】（1）不能；（2）AM至少为10m，此时视角为30°.
【解析】解：(1)不能，连接点A与M楼的顶点，因为建筑物在A点的盲区范围内
(2)设AM＝x，则，解得x＝10，故至少与M楼相距10 m，tanα=，所以α=30°，此时视角为30°.
12．（2019·全国初三单元测试）如图假设一座大楼高30米，观众坐在距大楼500米处，魔术师只需做一个屏障，屏障上的图画和没有大楼以后的景物一样，将屏障立在大楼前100米处，这样观众看上去好像大楼突然消失了．若要完全挡住大楼，请你找到一个方法计算出屏障至少要多高？(人身高忽略不计)
【答案】屏障至少是24 m.
【解析】连接OA，交CD于E，
由题意知，AB⊥OB，CD⊥OB，EDO＝ABO＝90.
则tanEOD＝tanAOB＝＝，
故＝，
解得ED＝24(m)．
故答案为：屏障至少是24 m.
13．（2019·全国初三单元测试）明明与亮亮在借助两堵残墙玩捉迷藏游戏，若明明站在如图所示位置时，亮亮在哪个范围内活动是安全的？请在图(1)的俯视图(2)中画出亮亮的活动范围．
【答案】阴影部分A、B为亮亮活动的范围见解析．
【解析】阴影部分A、B为亮亮活动的范围．
故答案为阴影部分A、B为亮亮活动的范围见解析．
14．（2019·全国初三单元测试）如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．
(1)请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置(用点C标出)．
(2)已知：MN＝30 m，MD＝12 m，PN＝36 m．求(1)中的点C到胜利街口的距离．
【答案】（1）详见解析；（2）点C到胜利街口的距离CM为24 m.
【解析】解 (1)如图所示，CP为视线，点C为所求位置．
(2)∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，
∴∠CMD＝∠PND＝90°.
又∵∠CDM＝∠PDN，
∴△CDM∽△PDN，
∴＝.
∵MN＝30 m，MD＝12 m，
∴ND＝18 m.
∴＝，
∴CM＝24(m)．
∴点C到胜利街口的距离CM为24 m.
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