北师大版 (2019)第一章 预备知识2 常用逻辑用语2.1 必要条件与充分条件复习练习题

必要条件与充分条件

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．“x>0”是“x≠0”的(　　)

 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

A　[若x>0，则x≠0.

若x≠0，则x＞0或x＜0，

所以x>0是x≠0的充分不必要条件，故选A.]

2．设集合M＝，N＝，则“a＝1”是“N⊆M”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

A　[当a＝1时，N＝{1} ⊆M，满足充分性；而当N＝{a2}⊆M时，可得a＝1或a＝－1或a＝或a＝－，不满足必要性，故选A.]

3. “＝”是“x＝y”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

B　[若x＝－y＝1，则＝.但x≠y

若x＝y，则＝，

所以＝是x＝y的必要不充分条件，故选B.]

4．下列条件中，是“x2<4”的必要不充分条件的是(　　)

A．1<x<3 B．－2<x<0

C．0<x≤2 D．－2≤x≤2

D　[由x2<4，得－2<x<2.在所给的条件中，只有真包含于，故选D.]

5．若a∈R，则“a<1”是“>1”成立的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

B　[由>1，得0<a<1，因此，“a<1”是“>1”的必要不充分条件，故选B.]

二、填空题

6．在△ABC中，“∠B＝∠C”是“△ABC是等腰三角形”的________条件．

[答案]　充分不必要

7．若“1－x<0”是“x>a”的充分条件，则实数a的取值范围是________．

a≤1　[由题意得，⊆，故a≤1.]

8．在下列四个结论中，正确的是________．(填上你认为正确的所有序号)

①“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件；

②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab＞0；

③“a≠0，Δ＝b2－4ac＜0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无实数根”的充要条件；

④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．

①③　[对于①，当x<0时，x＋＝0，且当x＋|x|＞0时，x＞0，可推出x≠0，故①对；

对于②，当ab＝0时，＝＋，故②错；

对于④，当x＝－1时，x2＝1，故④错；

只有①③正确．]

三、解答题

9．是否存在实数m，使2x＋m<0是x2>1的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

[解]　由x2>1，得x>1或x<－1，

要使2x＋m<0是x2>1的充分条件，

只需⊆，

即只需－≤－1，解得m≥2

所以，存在实数m≥2，使2x＋m<0是x2>1的充分条件．

10．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.

[证明]　(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，

方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两个实根为x1，x2，

由根与系数的关系知x1x2＝1>0，

所以x1、x2同号；

又因为x1＋x2＝－m≤－2，

所以x1、x2同为负根．

(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，

所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝－＝－≥0，

所以m≥2，

综合(1)，(2)知命题得证．

11．(多选)给出四个条件：

①xt2>yt2；②xt>yt；③x2>y2；④0<<.

其中能成为x>y的充分条件的有(　　)

A．① B．②

C．③ D．④

AD　[①由xt2>yt2可知t2>0，所以x>y，故xt2>yt2⇒x>y；

②当t>0时，x>y，当t<0时，x<y，故xt>ytx>y；

③由x2>y2，得|x|>|y|，故x2>y2x>y；

④由0<<⇒x>y.故选AD.]

12．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)

　                A　　　　B　　　　C　　　 　D

BD　[由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD.]

13．已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

a<5　[由题意得，A是B的真子集，故a<5.]

14．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1；⑤x>－1.其中，可以作为x2<1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2<1的一个必要不充分条件的所有序号为________．

②③　①⑤　[由x2<1，得－1<x<1，而{x|0<x<1}{x|－1<x<1}，{x|－1<x<0}{x|－1<x<1}，所以0<x<1和－1<x<0都可作为x2<1的一个充分不必要条件．因为{x|－1<x<1}{x|x<1}，{x|－1<x<1}{x|x>－1}，所以x<1和x>－1均可作为x2<1的一个必要不充分条件．]

15．求证：方程x2＋ax＋1＝0(x∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>，这个条件是其充分条件吗？为什么？

[证明]　∵方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)有两实根，

则Δ＝a2－4≥0，∴a≤－2或a≥2.

设方程x2＋ax＋1＝0的两实根分别为x1、x2，

则，x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝a2－2≥3.

∴|a|≥>.

∴方程x2＋ax＋1＝0(a∈R)的两实根的平方和大于3的必要条件是|a|>；

但a＝2时，x＋x＝2≤3.因此这个条件不是其充分条件．