高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数巩固练习

一元二次函数

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1(　　)

A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位

D　[要得到y＝2(x－4)2－1的图象，只需将y＝2x2的图象向右平移4个单位，再向下平移1个单位．]

2．二次函数y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，则a的值为(　　)

A． B．－

C．± D．±2

C　[由题意＝－1，∴a2＝2，∴a＝±.]

3．函数y＝4－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是(　　)

A．(2,4)，x＝2 B．(1,5)，x＝1

C．(5,1)，x＝1 D．(1,5)，x＝5

B　[y＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5，

∴函数f(x)的图象的顶点坐标为(1,5)，对称轴方程为x＝1.]

4．设abc＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是　(　　)

 　　　　           A　　　　B　 　　C　　　D

D　[由ACD知，c＜0，

∵abc＞0，∴ab＜0，

∴对称轴x＝－＞0，知A、C错；D符合要求，由B知c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．]

5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　　)

A．45.606万元 B．45.56万元

C．45.6万元 D．45.51万元

C　[设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆．

则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，

此二次函数的对称轴为x＝10.2，

∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．]

二、填空题

6．函数y＝－x2＋4x＋6的最大值是________．

10　[y＝－x2＋4x＋6＝－2＋10

当x＝2时，y取得最大值10.]

7．二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点之间的距离为________．

4　[设二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象与x轴两交点的坐标分别为，，

则x1＋x2＝2，x1x2＝－1，

所以＝＝＝4.]

8．若y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝________.

6　[由题意知a＋2＝－2，即a＝－4，

又1－a＝b－1得b＝6.]

三、解答题

9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(－3,0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数的解析式．

[解]　法一：将A(－3,0)，代入函数y＝ax2＋bx＋c中，

有9a－3b＋c＝0，①

由对称轴为x＝－1，得－＝－1，②

顶点M到x轴的距离为|a－b＋c－0|＝2，③

联立①②③解得或

所以此函数的解析式为y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋.

法二：因为二次函数图象的对称轴是x＝－1，又顶点M到x轴的距离为2，所以顶点的坐标为(－1,2)或(－1，－2)，

故可得二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2.

因为图象过点A(－3,0)，

所以0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，解得a＝－或a＝.

故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.

法三：因为二次函数图象的对称轴为x＝－1，

又图象过点A(－3,0)，所以点A关于对称轴的对称点A′(1,0)也在图象上，

所以可得二次函数的解析式为y＝a(x＋3)(x－1)．

由题意得顶点坐标为(－1,2)或(－1，－2)，

分别代入上式，解得a＝－或a＝.

故所求二次函数的解析式为y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.

10．将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，求a，b与c.

[解]　∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，

∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．

根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点(1,0)平移至(3，－3)处．

∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，所以a＝1，b＝－6，c＝6.

11．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y＝bx2＋ax＋c(b≠0)的图象可能是下图中的(　　)

　　 　            A　　 　B　　　　C　 　　D

[答案]　D

12．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是(　　)

A．[0,1] B．[0,2]

C．[－2,0] D．[－1,0]

D　[y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2.

∵函数在[0,1]上的最大值是a2，∴0≤－a≤1，即－1≤a≤0.]

13．如果一元二次函数y＝x2－(a－1)x＋5在区间上y随x的增大而增大，则实数a的取值范围为________．

(－∞，2]　[∵函数y＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝且在区间上y随x的增大而增大，

∴≤，即a≤2.]

14．已知函数y＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，则a的值为________．

2或－1　[y＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a>1时，ymax＝a；当0≤a≤1时，ymax＝a2－a＋1；当a<0时，ymax＝1－a.根据已知条件：或或解得a＝2或a＝－1.]

15．是否存在实数a，使函数y＝x2－2ax＋a在区间[－1,1]上的取值范围为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

[解]　存在，理由如下，y＝x2－2ax＋a＝(x－a)2＋a－a2.

当a<－1时，函数在[－1,1]上y随x的增大而增大，

∴解得a＝－1(舍去)；

当－1≤a≤0时，

解得a＝－1；

当0<a≤1时，

a不存在；

当a>1时，函数在[－1,1]上y随x的增大而减小，

∴a不存在；

综上可知存在实数a，且a＝－1满足题意．