北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.3 一元二次不等式的应用巩固练习

一元二次不等式的应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．不等式≥1的解集是(　　)

A． B．

C． D．

B　[不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为

或解得≤x<2，则原不等式的解集为，故选B.]

2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)

A．{x|x>1或x<－2} B．{x|1<x<2}

C．{x|x>2或x<－1} D．{x|－1<x<2}

C　[∵x＝1为ax－b＝0的根，

∴a－b＝0，即a＝b，

∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，

∴a>0，

故＝>0，

等价为(x＋1)(x－2)>0.

∴x>2或x<－1.]

3．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)

A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}

C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}

A　[由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，

∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，

∴－1≤a≤4，故选A.]

4．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　)

A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15}

C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10}

B　[由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，

解得10≤t≤15.]

5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)

A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}

C．{x|15≤x<20} D．{x|10≤x<20}

C　[设这批台灯的销售单价为x元，

由题意得，[30－(x－15)×2]x>400，

即x2－30x＋200<0，

∴10<x<20，

又∵x≥15，

∴15≤x<20.故选C.]

二、填空题

6．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________台．

150　[生产者不亏本时有

y－25x＝－0.1x2－5x＋3 000≤0，

即x2＋50x－30 000≥0，

解得x≥150或x≤－200(舍去)．

故生产者不亏本时的最低产量是150台．]

7．若不等式＋m<0的解集为{x|x<3或x>4}，则m的值为________．

－3　[原不等式可化为<0⇔[(m＋1)x＋m2－1](x＋m)<0，

由已知可得m＋1<0，且3和4是方程[(m＋1)x＋m2－1](x＋m)＝0的根，

∴1－m＝4，－m＝3，

∴m＝－3.]

8．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为________米时，可使总造价最低．

15　[设泳池的长为x米，则宽为米，总造价f(x)＝400×＋100×＋60×200＝800×＋12 000≥1 600＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x＝(x>0)，即x＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．]

三、解答题

9．解不等式：(1)<0；(2)≤1.

[解]　 (1)由<0，得>0，

此不等式等价于(x－1)>0，

解得x<－或x>1，

∴原不等式的解集为.

(2)∵≤1，

∴－1≤0.

∴≤0.

即≥0.

此不等式等价于(x－4)≥0，且x－≠0，解得x<或x≥4，

∴原不等式的解集为.

10．某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，为使日利润有所增加，求x的取值范围．

[解]　设增加成本后的日利润为y元．

y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x)＝2 000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1)．

要保证日利润有所增加，则y＞(60－40)×1 000，且0＜x＜1，

即

解得0＜x＜.所以，为保证日利润有所增加，x的取值范围是.

11．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,4) B．[0,4)

C．(0,4] D．[0,4]

D　[当a＝0时，ax2－ax＋1<0无解，符合题意．

当a<0时，ax2－ax＋1<0解集不可能为空集．

当a＞0时，要使ax2－ax＋1<0解集为空集，

需解得0<a≤4.

综上，a∈[0,4]．]

12．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围是(　　)

A．(0,2) B．(－2,1)

C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)

B　[由题意知x⊙(x－2)＝x2＋x－2，

∴x2＋x－2<0，解得－2<x<1.]

13．设函数y＝2x2＋bx＋c，若不等式y＜0的解集是1＜x＜5，则y＝________；若对于任意1≤x≤3，不等式y≤2＋t有解，则实数t的取值范围为________．

2x2－12x＋10　t≥－10　[由题意知1和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，由根与系数的关系知，－＝6，＝5，解得b＝－12，c＝10，所以y＝2x2－12x＋10.

不等式y≤2＋t在1≤x≤3时有解，等价于2x2－12x＋8≤t在1≤x≤3时有解，只要t大于等于2x2－12x＋8的最小值即可，不妨设g＝2x2－12x＋8,1≤x≤3，则当x＝3时，g有最小值－10，所以t≥－10.]

14．若不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，则实数a的取值范围是________．

 －＜a≤1　[ ①当a2－1≠0，即a≠±1时，

解之得－<a<1.

②当a2－1＝0，即a＝±1时，若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0，即x<，不符合题目要求，舍去．

综上所述，当－＜a≤1时，原不等式的解集为R.]

15．学校要在一块长为40米，宽为30米的矩形地面上进行绿化，四周种植花卉(花卉带的宽度相等)，中间设草坪(如图)．要求草坪的面积不少于总面积的一半，求花卉带宽度的取值范围．

[解]　设花卉带的宽度为x米，则草坪的长和宽分别是(40－2x)米，(30－2x)米，

则

解得

∴0＜x≤5.这就是花卉带宽度的取值范围．