数学必修 第一册第二章 函数3 函数的单调性和最值课堂检测

函数的单调性

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是(　　)

A．y＝|x| B．y＝3－x

C．y＝ D．y＝－x2＋4

A　[因为－1<0，所以一次函数y＝－x＋3在R上递减，反比例函数y＝在(0，＋∞)上递减，二次函数y＝－x2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.]

2．函数f(x)＝－x2＋2x＋3的单调减区间是(　　)

A．(－∞，1) B．(1，＋∞)

C．(－∞，2) D．(2，＋∞)

B　[函数f(x)＝－x2＋2x＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．]

3．函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是

(　　)

A．(0，＋∞) B．

C． D．

D　[当k＝0时，f(x)＝－2x－5在R上单调递减，不符合题意．当k≠0时，因为函数f(x)＝kx2＋(3k－2)x－5在[1，＋∞)上单调递增，

所以解得k≥，

综上所述，k的取值范围是.]

4．已知f(x)为R上的减函数，则满足f <f(1)的实数x的取值范围是(　　)

A．(－1,1) B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C　[由已知条件得：>1，不等式等价于 ，解得－1<x<1，且x≠0.]

5．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)

A．a＝－3 B．a<3

C．a≤－3 D．a≥－3

C　[y＝＝1＋，

由题意知 ，解得a≤－3.]

二、填空题

6．如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，则函数的单调递减区间是________，在区间________上是增函数．

[－2,1]，[3,5]　[－5，－2]，[1,3]　[观察图象可知单调递增区间为[－5，－2]，[1,3]，单调递减区间为[－2,1]，[3,5]．]

7．已知函数f(x)为定义在区间(－1,1)上的减函数，则满足f(x)>f(0)的实数x的取值范围为________．

(－1,0)　[由题设得，解得－1＜x<0.]

8．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________．

(－2,0)　[∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，

∴－＝1，∴a＝－2.如图．

∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)，

∴0<m＋2<2，∴－2<m<0，

则实数m的取值范围为(－2,0)．]

三、解答题

9．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间．

[解]　f(x)＝的图象如图所示．

由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1,2)，单调增区间为[2，＋∞)．

10．设函数f(x)＝(a>b>0)，求f(x)的单调区间，并说明f(x)在其单调区间上的单调性．

[解]　在定义域内任取x1，x2，且使x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝－＝

＝.

∵a>b>0，x1<x2，∴b－a<0，x2－x1>0.

只有当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，函数才单调．

当x1<x2<－b或－b<x1<x2时，f(x2)－f(x1)<0.

∴y＝f(x)在(－∞，－b)上是单调减函数，在(－b，＋∞)上也是单调减函数．

∴y＝f(x)的单调减区间是(－∞，－b)和(－b，＋∞)，无单调增区间．

11．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是(　　)

A．y＝|x|＋1 B．y＝

C．y＝－ D．y＝x＋.

CD　[A.y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；B.y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；C.y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；D.y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．]

12．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中正确的有(　　)

A．>0

B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0

C．f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)

D．f(x1)>f(x2)

AB　[由函数单调性的定义可知，若函数y＝f(x)在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，由此可知，选项A、B正确；对于C、D，因为x1，x2的大小关系无法判断，则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断，故C、D不正确．]

13．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．

(0,2]　[依题意得实数a满足解得0<a≤2.]

14．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________．

　[由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，

∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3)．

∵f(x)是定义在R上的增函数，∴－2x>3，

解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为.]

15．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1.

(1)求证：f(x)是R上的增函数；

(2)若f ＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f ≤2.

[解]　(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，

则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1，

所以f(x2)－f(x1)

＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，

所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数．

(2)因为f ＝f(x)－f(y)，

所以f(y)＋f ＝f(x)．

在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)，

因为f(2)＝1，所以f(4)＝2.

于是不等式f(x)－f ≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3)．又由(1)，知f(x)是R上的增函数，

所以解得－1≤x<3或3<x≤4，

所以原不等式的解集为[－1,3)∪(3,4]．