高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较习题

对数函数图象及性质的应用

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知函数f(x)＝log2(1＋2－x)，则函数f(x)的值域是(　　)

A．[0,2) B．(0，＋∞)

C．(0,2) D．[0，＋∞)

B　[f(x)＝log2(1＋2－x)，∵1＋2－x>1，∴log2(1＋2－x)>0，∴函数f(x)的值域是(0，＋∞)，故选B.]

2．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b<c<a B．b<a<c

C．c<a<b D．c<b<a

D　[由题知，a＝log45>1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a.]

3．函数f(x)＝|x|的单调递增区间是(　　)

A． B．(0,1]

C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)

D　[f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．

]

4．已知m<n<0，则(　　)

A．n<m<1 B．m<n<1

C．1<m<n D．1<n<m

D　[因为0<<1，m<n<0，所以m>n>1，故选D.]

5．若函数f(x)＝loga|x＋1|在(－1,0)上有f(x)>0，则f(x)(　　)

A．在(－∞，0)上是增函数

B．在(－∞，0)上是减函数

C．在(－∞，－1)上是增函数

D．在(－∞，－1)上是减函数

C　[当－1<x<0时，0<x＋1<1.

∵loga|x＋1|>0，∴0<a<1，

∴函数f(x)＝loga|x＋1|在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减．]

二、填空题

6．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．

　[由题意，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，因为f(1－a)－f(a)>0，所以1－a>a>0，所以a∈.]

7．已知函数y＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

(1,2)　[令u＝2－ax，则y＝logau，因为a>0，所以u＝2－ax递减，由题意知y＝logau在[0,1]内递增，所以a>1.又u＝2－ax在x∈[0,1]上恒大于0，所以2－a>0，即a<2，综上，1<a<2.]

8．已知a>0且a≠1，若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，则a的取值范围是________．

(1,2]　[若函数f(x)＝的值域为[1，＋∞)，且a>0，a≠1，当x≤2时，y＝3－x≥1，所以可得1<a≤2.]

三、解答题

9．已知函数f(x)＝ln(3＋x)＋ln(3－x)．

(1)求函数y＝f(x)的定义域；

(2)判断函数y＝f(x)的奇偶性．

[解]　(1)要使函数有意义，则解得－3＜x＜3，故函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)．

(2)由(1)可知，函数y＝f(x)的定义域为(－3,3)，关于原点对称．

对任意x∈(－3,3)，则－x∈(－3,3)．

∵f(－x)＝ln(3－x)＋ln(3＋x)＝f(x)，

∴由函数奇偶性可知，函数y＝f(x)为偶函数．

10．已知指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)．

(1)求函数f(x)的反函数g(x)的解析式；

(2)解不等式g(x)≤loga(2－3x)．

[解]　(1)令y＝ax(a>0，且a≠1)，则x＝logay(a>0，且a≠1)，所以函数f(x)的反函数为g(x)＝logax(a>0，且a≠1)．

(2)当a>1时，logax≤loga(2－3x)，

所以解得0<x≤.

当0<a<1时，原不等式等价于解得≤x<.

综上，当a>1时，原不等式的解集为；

当0<a<1时，原不等式的解集为.

11．(多选)函数f(x)＝loga|x－1|在(0,1)上是减函数，那么(　　)

A．f(x)在(1，＋∞)上递增且无最大值

B．f(x)在(1，＋∞)上递减且无最小值

C．f(x)在定义域内是偶函数

D．f(x)的图象关于直线x＝1对称

AD　[由|x－1|>0得，函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}．设g(x)＝|x－1|＝

则g(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，

且g(x)的图象关于x＝1对称，所以f(x)的图象关于x＝1对称，D正确；

由上述分析知f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上递增且无最大值，A正确，B错误；

又f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，所以C错误，故选AD.]

12．已知曲线C：y＝(0≤x≤2)与函数f(x)＝logax及函数g(x)＝ax(其中a>1)的图象分别交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＋x的值为(　　)

A．16 B．8

C．4 D．2

C　[如图所示，A(x1，y1)、B(x2，y2)两点关于y＝x对称，

又A(x1，y1)关于y＝x的对称点为(y1，x1)，则x2＝y1，故x＋x＝x＋y＝4.故选C.]

13．定义：区间[x1，x2](x1＜x2)的长度为x2－x1.已知函数y＝|log0.5x|的定义域为[a，b]，值域为[0,2]，则区间[a，b]的长度的最大值为________．

　[由0≤|log0.5x|≤2，解得≤x≤4，所以[a，b]长度的最大值为4－＝.]

14．函数f(x)＝ln(a≠2)为奇函数，则实数a等于________．

－2　[依题意有f(－x)＋f(x)＝ln＋ln＝0，即·＝1，故1－a2x2＝1－4x2，解得a2＝4，但a≠2，故a＝－2.]

15．某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以函数f(x)＝lg 为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：

①同学甲发现：函数f(x)的定义域为(－1,1)；

②同学乙发现：函数f(x)是偶函数；

③同学丙发现：对于任意的x∈(－1,1)都有f ＝2f(x)；

④同学丁发现：对于任意的a，b∈(－1,1)，都有f(a)＋f(b)＝f ；

⑤同学戊发现：对于函数f(x)定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0.

试分别判断哪些同学的研究成果正确？

[解]　在①中，因为f(x)＝lg ，所以>0，解得函数的定义域为(－1,1)，所以①是正确的；在②中，f(x)＝lg ＝－lg ＝－f(－x)，所以函数f(x)为奇函数，所以②是错误的；在③中，对于任意x∈(－1,1)，有f ＝lg ＝lg＝lg ，又2f(x)＝2lg ＝lg ，所以③是正确的；在④中，对于任意的a，b∈(－1,1)，有f(a)＋f(b)＝lg ＋lg ＝lg ＝lg ，又f ＝lg ＝lg ，所以④是正确的；在⑤中，对于函数f(x)的定义域中任意的两个不同实数x1，x2，总满足>0，即说明f(x)是增函数，但f(x)＝lg ＝lg 是减函数，所以⑤是错误的．综上可知，学生甲、丙、丁的研究成果正确．