高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.2 分层随机抽样精练

分层随机抽样的均值与方差 百分位数

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是(　　)

A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3

B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据

C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数

D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第74个数据的平均数

C　[因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，故选C.]

2．如图所示是某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80%分位数是(　　)

A．－2 B．0

C．1 D．2

D　[由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的排列为：

－3，－2，－1，－1,0,0,1, 2, 2, 2，

因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的80%分位数是＝2.]

3．有两种糖块，A种糖块18元/千克，B种糖块24元/千克，超市计划把A，B两种糖块按照1∶2的比例混合出售，则合理的价格应为(　　)

A．18元/千克 B．24元/千克

C．21元/千克 D．22元/千克

D　[＝×18＋×24＝22元/千克．]

4．若用分层随机抽样的方法抽得两组数据的平均数分别为8,12，若这两组数据的平均数是10，则这两组数据的权重比值为(　　)

A． B．1

C． D．2

B　[设两组数据的权重分别为w1，w2，由w1×8＋w2×12＝10，又w1＋w2＝1，可解得w1＝w2＝，所以这两组数据的权重比值为1.]

5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：

其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　)

A．3 B．2

C．2.6 D．2.5

C　[由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为

s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]

＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]

＝×2＋×3

＝2.6.  ]

二、填空题

6．数据1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的四分位数分别为________．

3,5.5,8　[样本容量为10，(10×25)/100＝2.5，故25百分位数是3，(10×50)/100＝5，故50百分位数是5.5，(10×75)/100＝7.5，故75百分位数是8.]

7．已知30个数据的60%分位数是8.2，这30个数据从小到大排列后第18个数据是7.8，则第19个数据是__________．

8.6　[由于30×60%＝18，设第19个数据为x，则＝8.2，解得x＝8.6，即第19个数据是8.6.]

8．为了调查公司员工的健康状况，用分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的平均体重为60 kg，标准差为60，男员工的平均体重为70 kg，标准差为50，女员工的平均体重为50 kg，方差为60，若样本中有20名男员工，则女员工的人数为________．

200　[由题意可知s2＝w男[s＋(男－)2]＋w女[s＋(女－)2]，即w男[502＋(70－60)2]＋(1－w男)[602＋(50－60)2]＝602，解得w男＝，w女＝，因为样本中有20名男员工，则样本中女员工的人数为200.]

三、解答题

9．如图是某市2019年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的10%分位数和日最低气温的80%分位数．

[解]　由折线图可知，把日最高气温按照从小到大排序，得24, 24.5, 24.5, 25, 26,26, 27，

因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，所以这7天日最高气温的10%分位数是第1个数据，为24 ℃.

把日最低气温按照从小到大排序，得12, 12, 13, 14, 15, 16, 17，

因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的80%分位数是第6个数据，为16 ℃.

10．某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差．

[解]　由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为高＝＝45，

年龄的方差为s＝[3(58－45)2＋5(40－45)2＋2(38－45)2]＝73，

所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为

＝×38＋×45≈39.2(岁)，

该校中级职称和高级职称教师的年龄的方差是

s2＝[2＋(38－39.2)2]＋[73＋(45－39.2)2]＝20.64.

11．数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5，x,6.6的65%分位数是4.5，则实数x的取值范围是(　　)

A．[4.5，＋∞) B．[4.5,6.6)

C．(4.5，＋∞) D．(4.5,6.6]

A　[因为8×65%＝5.2，所以这组数据的65%分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A.]

12．一班有学生有54人，二班学生人数未知，现用分层随机抽样的方法从一班和二班抽出16人参加数学竞赛，赛后统计得知这16名学生得分的平均数为87，一班学生得分的平均数是80，二班学生得分的平均数是96，则二班的学生人数为

(　　)

A．54 B．42

C．48 D．56

B　[由题意，设一班学生在16名学生的权重为w1，则80w1＋96(1－w1)＝87，解得w1＝，则二班学生在16名学生的权重为1－＝，故二班学生的人数为54×＝42.]

13．某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝ 3小时，方差为s2＝2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.6，2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则高三学生每天读书时间的平均数3＝________.

3.3或2.7　[由s2＝w1[s＋(x1－)2]＋w2[s＋(2－)2]＋w3[s＋(3－)2]可得

2.003＝[1＋(2.6－3)2]＋[2＋(3.2－3)2]＋[3＋(3－3)2]，

解得3＝3.3或2.7.]

14．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：

按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，其中z的值由于表格污损而不可知，则该汽车厂在该月生产的所有轿车的平均售价为________万元．

17.85　[由题意可得＝，解得z＝400.

所以该汽车厂在该月生产的汽车总数为100＋300＋150＋450＋400＋600＝2 000(辆)，

则该汽车厂在该月生产的所有轿车的平均售价为

＝×12＋×16＋×16＋×18＋×18＋×20＝17.85(万元)．]

15．据了解，某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：

(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

(2)假设副董事长的工资从5 000元提高到20 000元，董事长的工资从5 500元提高到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少(精确到元)?

(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．

[解]　(1)平均数＝1 500＋×(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091，

中位数是1 500，众数是1 500.

(2)新的平均数′＝1 500＋×(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 788＝3 288，

中位数是1 500，众数是1 500.

(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司职工的工资水平．因为公司中少数人的工资与大多数人的工资差别较大，这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观、真实地反映这个公司职工的工资水平.