2021_2022学年新教材高中数学课后落实41古典概型的应用含解析北师大版必修第一册练习题

古典概型的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．某射手的一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为(　　)

A．0.40 B．0.30

C．0.60 D．0.90

A　[不够8环的概率为1－0.20－0.30－0.10＝0.40.]

2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是(　　)

A．60% B．30%

C．10% D．50%

D　[“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P(甲不输)＝P(甲胜)＋P(甲、乙和棋)，∴P(甲、乙和棋)＝P(甲不输)－P(甲胜)＝90%－40%＝50%.]

3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为(　　)

A． B．

C． D．

B　[试验的样本空间Ω＝{AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE}，共有10 个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为＝.]

4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)

A． B．

C． D．

C　[试验的样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点，故其概率为＝.]

5．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若a＝b或a＝b－1，就称甲、乙“心有灵犀”，现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)

A． B．

C． D．

C　[由于甲、乙各记一个数，则样本点总数为6×6＝36个，而满足a＝b或a＝b－1的共有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，共11个．∴概率P＝.]

二、填空题

6．甲、乙两人打乒乓球， 两人打平的概率是， 乙获胜的概率是，则乙不输的概率是________．

　[乙不输表示甲、乙打成平局或乙胜，故其概率为P＝＋＝.]

7．从集合A＝{－3，－2，－1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则k>0，b>0的概率为________．

　[根据题意可知，总的样本点(k，b)共有4×3＝12个，事件“k>0，b>0”包含的样本点有(2,1)，(2,2)，共2个，根据古典概型的概率计算公式可知所求概率为＝.]

8．如图所示，a，b，c，d，e是处于断开状态的开关，任意闭合其中的两个，则电路接通的概率是________．

　[“任意闭合其中的两个开关”所包含的样本点总数是10，“电路接通”包含6个样本点，所以电路接通的概率P＝.]

三、解答题

9．学校射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如表：

求该选手射击一次．

(1)命中9环或10环的概率；

(2)至少命中8环的概率；

(3)命中不足8环的概率．

[解]　记“射击一次，命中k环”为事件Ak(k＝7,8,9,10)．

(1)因为A9与A10互斥，所以P(A9＋A10)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.60.

(2)记“至少命中8环”为事件B，B＝A8＋A9＋A10，又A8，A9，A10两两互斥，

所以P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.

(3)记“命中不足8环”为事件C.则事件C与事件B是对立事件．

所以P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.

10．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求：

(1)“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；

(2)“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．

[解]　(1)由题意知，试验的样本空间Ω＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}，

共27个样本点．

设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，则事件A＝{(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)}，共3种．所以P(A)＝＝. 因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.

(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P()＝1－＝.

因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.

11．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)

A． B．

C． D．

C　[掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，

所以P()＝1－P(B)＝1－＝，因为表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.]

12．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则是下列哪个事件的概率(　　)

A．颜色全同 B．颜色不全同

C．颜色全不同 D．无红球

B　[试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，共包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为＝＝1－，所以是事件“颜色不全同”的概率．]

13．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．

　[设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A、B为对立事件，

∴P(B)＝1－P(A)＝.]

14．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为________．

0.16　[设P(A)＝x，P(B)＝3x，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝x＋3x＝0.64.∴P(A)＝x＝0.16.]

15．先后抛掷两枚大小相同的骰子．

(1)求点数之和为7的概率；

(2)求出现两个4点的概率；

(3)求点数之和能被3整除的概率．

[解]　如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36种．

(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P(A)＝＝.

(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4)．故P(B)＝.

(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝＝.