高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第七章 概率4 事件的独立性课后练习题

事件的独立性

 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是(　　)

A． B．

C． D．

A　[由题意可知甲乙同时中靶的概率为×＝.]

2．如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8，0.7，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为(　　)

A．0.504 B．0.994

C．0.496 D．0.064

B　[1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.7)＝1－0.006＝0.994.]

3．某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为(　　)

A．　 B．

C．　 D．

C　[设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，P(A)＝P(B)＝＝，

则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为1－P()＝1－(1－P(A))(1－P(B))＝1－×＝.故选C.]

4．在某道路的A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在1分钟内开放绿灯的时间分别为25秒，35秒，45秒，某辆车在这段道路上匀速行驶，则在这三处都不停车的概率为(　　)

A． B．

C． D．

C　[由题意可知汽车在这三处都不停车的概率为××＝.]

5．国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球贏球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为

(　　)

A．　 B．

C．　 D．

B　[设双方20：20平后的第k个球甲获胜为事件Ak(k＝1,2,3，…)，

则P(甲以23：21赢)＝P(A2A3A4)＋P(A1A3A4)＝P()P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P()P(A3)P(A4)＝＋＝.]

二、填空题

6．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为________．

　[设此队员每次罚球的命中率为p，则1－p2＝，所以p＝.]

7．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．

0.24　0.96　[由题意可知三人都达标的概率为P＝0.8×0.6×0.5＝0.24；三人中至少有一人达标的概率为P′＝1－(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.96.]

8．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为________．

　[设事件Ai(i＝1,2,3,4)表示“该软件能通过第i轮考核”，

由已知得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝，

设事件C表示“该软件至多进入第三轮”，则

P(C)＝P(1＋A12＋A1A23)＝P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)

＝＋×＋××＝.]

三、解答题

9．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．

[解]　用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，

则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，

所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.

(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为

P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.

(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(  )

＝1－P()P()P()＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.

10．甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：

(1)2人都射中目标的概率；

(2)2人中恰有1人射中目标的概率；

(3)2人至少有1人射中目标的概率；

(4)2人至多有1人射中目标的概率．

[解]　设“甲射击1次，击中目标”为事件A，“乙射击1次，击中目标”为事件B，则A与B，与B，A与，与为相互独立事件．

(1)2人都射中目标的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.9＝0.72.

(2)“2人各射击1次，恰有1人射中目标”包括两种情况：一种是甲射中、乙未射中(事件A发生)，另一种是甲未射中、乙射中(事件B发生)．根据题意，事件A与B互斥，根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为

P(A)＋P(B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)

＝0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.08＋0.18＝0.26.

(3)“2人至少有1人射中”包括“2人都中”和“2人恰有1人射中”2种情况，

其概率为P＝P(AB)＋[P(A)＋P(B)]＝0.72＋0.26＝0.98.

(4)“2人至多有1人射中目标”包括“有1人射中”和“2人都未射中”两种情况，

故所求概率为P＝P( )＋P(A)＋P(B)

＝P()·P()＋P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.02＋0.08＋0.18＝0.28.

11．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)

A． B．

C． D．

B　[设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，

则灯亮这一事件E＝ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，

ABC，AB，AC互斥，

所以P(E)＝P(ABC∪AB∪AC)

＝P(ABC)＋P(AB)＋P(AC)

＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)

＝××＋××＋××＝.]

12．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)等于(　　)

A． B．

C． D．

D　[由题意，P()·P()＝，P()·P(B)＝P(A)·P()．

设P(A)＝x，P(B)＝y，

则

即

∴x2－2x＋1＝，

∴x－1＝－，或x－1＝(舍去)，

∴x＝.]

13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为，，，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．

　[依题意得，加工出来的零件的正品率是××＝，因此加工出来的零件的次品率是1－＝.]

14．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．

0.46　[设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互独立，

同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A12A3∪1A2A3发生，

故所求概率为P＝P(A1A2A3∪A12A3∪1A2A3)

＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)

＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)

＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.]

15．某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.5,0.6,0.4.第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为0.6,0.5,0.5.

(1)求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；

(2)分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；

(3)求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．

[解]　(1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件A1，B1；

设E表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，则

P(E)＝P(A1·)＝0.5×0.4＝0.2.

(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件A，B，C，则

P(A)＝0.5×0.6＝0.3，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.4×0.5＝0.2.

(3)设F表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，

则P(F)＝P(A)＋P(B)＋P(C)

＝0.3×0.7×0.8＋0.7×0.3×0.8＋0.7×0.7×0.2＝0.434.