高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册3.1.2 排列与排列数同步练习题

排列与排列数

(15分钟　30分)

1．下列问题属于排列问题的是(　　)

①从10个人中选2人分别去种树和扫地；

②从10个人中选2人去扫地；

③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；

④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算．

A．①④　　B．①②　　C．③④　　D．①③④

【解析】选A.根据排列的定义进行判断．

2．乘积m(m＋1)(m＋2)…(m＋19)(m＋20)(m∈N＋)可表示为(　　)

A．A    B．A    C．A    D．A

【解析】选A.因为最大数为m＋20，所以共有21个自然数连续相乘，根据排列公式可得m…＝A.

3．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．

【解析】列出每一个起点和终点情况，如图所示．

故符合题意的机票种类有：

北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．

答案：12

4．计算：＝________．

【解析】＝＝.

答案：

5．判断下列问题是否为排列问题．

(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法．若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？

(2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1.可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1?

(3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？

【解析】(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．

(2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．

(3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题．

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．2 020×2 019×2 018×2 017×…×1 981×1 980等于(　　)

A．A    B．A    C．A    D．A

【解析】选D.根据题意，2 020×2 019×2 018×2 017×…×1 981×1 980＝A.

2．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　)

A．8　    B．5    C．3　    D．0

【解析】选C.由排列数公式知，A，A，…A中均含有2和5的因子，故个位数均为0，所以S的个位数字应是A＋A＋A＋A的个位数字，而A＋A＋A＋A＝1＋2×1＋3×2×1＋4×3×2×1＝33，故个位数字为3.

【补偿训练】

不等式A－n<7的解集为(　　)

A．{n|－1<n<5}　　　　　 B．{1，2，3，4}

C．{3，4}          D．{4}

【解析】选C.由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，即－1<n<5，又因为n∈N＋且n－1≥2，所以n＝3，4.

3．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有(　　)

A．180种    B．360种    C．15种    D．30种

【解析】选B.由排列定义知选派方案有A＝6×5×4×3＝360(种).

4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　)

A．6    B．4    C．8    D．10

【解析】选B.列树形图如下：

，共4种．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列4个等式中，正确的有(　　)

A．n！＝        B．A＝nA

C．A＝      D．A＝

【解析】选AB.由排列数公式逐一验证即可．

6．下列各式中与排列数A相等的是(　　)

A．      B．n(n－1)(n－2)…(n－m)

C．       D．AA

【解析】选AD.因为A＝，故A正确；而AA＝n×＝，所以AA＝A，故D正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．

【解析】司机、售票员各有A种分配方法，由分步乘法计数原理知共有AA种不同的分配方法．

答案：576

8．满足不等式>12的n的最小值为________.

【解析】由排列数公式得>12，

即(n－5)(n－6)>12，

解得n>9或n<2.

又n≥7，所以n>9，

又n∈N*，所以n的最小值为10.

答案：10

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．证明：A＋kA＝A.

【证明】左边＝＋k＝＝＝，右边＝A＝，所以A＋kA＝A.

10．求证：A＋mA＋m(m－1)A＝A(n，m∈N*，n≥m>2).

【证明】因为左边＝＋m＋

m(m－1)＝

＝

＝＝＝A＝右边，

所以等式成立．

【创新迁移】

1．化简：＋＋＋…＋＝________．

【解题指南】根据＝－＝－，然后各项相加后相消可得结果．

【解析】因为＝－＝－，

所以＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.

答案：1－

2．(1)利用1，2，3，4这四个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

(2)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

【解析】(1)本题实质是求从1，2，3，4四个数字中，任意选出三个数字排成一排，有多少种排法的排列问题，故有A＝4×3×2＝24种排法，即可以组成24个没有重复数字的三位数．

(2)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．