高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.1 随机变量及其与事件的联系课时训练

随机变量及其与事件的联系

 (15分钟　30分)

1．袋中装有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码．现在在有放回的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是(　　)

A．5    B．9    C．10    D．25

【解析】选B.两个球的号码之和可为2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．

【加练·固】

 从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有(　　)

A．10个    B．15个    C．17个    D．19个

【解析】选C.X可能的取值为3，4，5，6，7，8，9，…，19，共有17个．

2．已知P(X＝－2)＝0.2，P(X＝2)＝0.3，随机变量Y＝X2，则P(Y＝4)＝(　　)

A．0.2    B．0.3    C．0.5    D．0.06

【解析】选C.由题意，事件Y＝4是X＝－2与X＝2的并事件，所以P(Y＝4)＝ P(X＝－2)＋P(X＝2)＝0.2＋0.3＝0.5.

3．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则P(X＝1)的值是(　　)

A．0     B．     C．     D．1

【解析】选C.因为1次试验的成功次数为0或1，故X可能取值有两种，即0，1.又“成功率是失败率的2倍”，所以P(X＝1)＝.

4．掷一枚质地均匀的骰子，设朝上的点数为随机变量X，则P(X>4)＝________．

【解析】事件X>4表示点数朝上的为5点或6点，所以P(X>4)＝P(X＝5)＋P(X＝6)＝＋＝.

答案：

5．盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.

(1)写出X的所有可能取值；

(2)写出X＝1所表示的事件；

(3)求X＝1的概率．

【解析】(1)X可能取的值为0，1，2，3.

(2)X＝1表示的事件为第一次取得次品，第二次取得正品．

(3)P(X＝1)＝＝.

 (30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．随机变量ξ的所有等可能取值为1，2，…，n，若P(ξ＜4)＝0.3，则(　　)

A．n＝3    B．n＝7    C．n＝10    D．不能确定

【解析】选C.因为随机变量ξ的所有等可能取值为1，2，…，n，所以P＝由题意，P＝P＋P＋P＝＝0.3，所以n＝10.

2．已知随机变量X与Y的不同取值及对应的概率如表，则a＋2b＝(　　)

A.3     B．4     C．5     D．6

【解析】选C.P(X＝1)＝P(Y＝4)，所以a＋b＝4，①

P(X＝2)＝P(Y＝7)，所以2a＋b＝7，②

由①②得，a＝3，b＝1，所以a＋2b＝5.

3．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取得黑球，则另换一个红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为(　　)

A．X＝4    B．X＝5    C．X＝6    D．X≤4

【解析】选C.第一次取到黑球，则放回1个球，第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到了红球，试验终止，故X＝6.

【补偿训练】

 袋中装有大小和颜色相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能取值的个数是(　　)

A．6　　　B．7　　　C．10　　　D．25

【解析】选C.X的所有可能取值有1×2＝2，1×3＝3，1×4＝4，1×5＝5，2×3＝6，2×4＝8，2×5＝10，3×4＝12，3×5＝15，4×5＝20，共10个．

【误区警示】一一列举时要不重不漏．

4．抛掷两枚骰子各一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为(　　)

A．0≤ξ≤5，ξ∈N      B．－5≤ξ≤0，ξ∈Z

C．1≤ξ≤6，ξ∈N      D．－5≤ξ≤5，ξ∈Z

【解析】选D.设x表示第一枚骰子的点数，y表示第二枚骰子的点数，ξ＝

(x－y)∈Z.|x－y|≤|1－6|，即－5≤ξ≤5.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列问题中的X是离散型随机变量的是(　　)

A．某座大桥一天经过的中华轿车的车辆数X

B．某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数X

C．一天内的温度X

D．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分

【解析】选ABD.根据离散型随机变量的概念，ABD选项是离散型随机变量．

6．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果以下叙述正确的是(　　)

A．第4次击中目标

B．前4次未击中目标

C．第5次击中目标

D．第5次可能击中目标，也可能未击中目标

【解析】选BD.击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ＝5，则说明前4次均未击中目标，第5次可能击中目标，也可能未击中目标．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X，则“X＝6”表示的事件为______________．

【解析】X可能取值为1，2，3，…，10.

X＝n表示第n次能打开房门．

答案：第6次能打开房门

8．一用户在打电话时忘记了号码的最后三个数字，只记得最后三个数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨电话，设他拨到所要号码时拨的次数为X，则随机变量X的可能取值共有______个．

【解题指南】注意条件“后三个数字两两不同，且都大于5”的使用．

【解析】后三个数字两两不同且都大于5的电话号码共有A＝24种，故X的取值为1，2，3，…，24.

答案：24

【补偿训练】

 甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，则“ξ＝6”表示的试验结果有________种．

【解析】“ξ＝6”表示前5局中胜3局，第6局一定获胜，共有C·C＝20种．

答案：20

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.

(1)求X的取值范围；

(2)写出每一个取值X表示的事件；

(3)求P(X＝3).

【解析】(1)因为x，y可能取的值为1，2，3，

所以|x－2|＝0，1，|x－y|＝0，1，2，所以X＝0，1，2，3，

所以X的取值范围为{0，1，2，3}．

(2)用(x，y)表示第一次抽到卡片的号码为x，第二次抽到卡片的号码为y，则随机变量X取各值的意义为：X＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)；

X＝1表示(1，1)(2，1)(2，3)(3，3)；

X＝2表示(1，2)(3，2)；X＝3表示(1，3)(3，1).

(3)由(2)知，P(X＝3)＝.

10．某次演唱比赛，需要加试文化科学素质，每位参赛选手需回答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有5道文史类题目，3道科技类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题目中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题目，回答完该题后，再抽取下一道题目回答．某选手抽到科技类题目的道数为X.

(1)试求出随机变量X的可能取值．

(2){X＝1}表示的试验结果是什么？可能出现多少种不同的结果？

【解析】(1)由题意得X的可能取值为0，1，2，3.

(2){X＝1}表示的事件是“恰抽到一道科技类题目”．

从三类题目中各抽取一道，不同的结果有CCCA＝180(种).

抽取1道科技类题目，2道文史类题目，不同的结果有CCA＝180(种).

抽取1道科技类题目，2道体育类题目，不同的结果有CCA＝18(种).

由分类加法计数原理知可能出现的不同结果有180＋180＋18＝378(种).

1．甲进行3次射击，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的取值范围为________；若已知甲一次也未中的概率为0.05，则他至少击中一次的概率为________．

【解析】甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次，故ξ的可能取值为0，1，2，3，所以ξ的取值范围为{0，1，2，3}．

因为甲一次也未中的概率为0.05，即P(ξ＝0)＝0.05，所以P(ξ>0)＝1－0.05＝0.95.

答案：{0，1，2，3}　0.95

【补偿训练】

 袋中有大小相同的5个小球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，在有放回条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为ξ，则ξ所有可能值的个数是________；“ξ＝4”表示________．

【解析】在有放回条件下取出两个小球的号码可能为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，

两个小球号码之和ξ可能为：2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个．“ξ＝4”表示“第一次取1号、第二次取3号，或者第一次取3号、第二次取1号，或者第一次、第二次都取2号”．

答案：9　“第一次取1号、第二次取3号，或者第一次取3号、第二次取1号，或者第一次、第二次都取2号”

2．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．

【解析】甲获胜且获得最低分的情况是：甲抢到一题并回答错误，乙抢到两题并且都回答错误，此时甲得－1分，故X的所有可能取值为－1，0，1，2，3.

答案：－1，0，1，2，3