高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布巩固练习

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.3 二项分布与超几何分布巩固练习，共8页。
二项分布与超几何分布 (15分钟　30分)1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是(　　)A．     B．     C．     D．【解析】选A.记“恰有1次获得通过”为事件A，则P(A)＝C()·(1－)2＝.2．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为(　　)A．     B．     C．     D．【解析】选A.设随机变量X表示取出次品的件数，则P(X＝0)＝＝.3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3∶2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为(　　)A．C×     B．C×C．C×    D．C×【解析】选A.甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，其概率为P＝C××＝C×.4．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于________．【解析】P(X＝2)＝C＝.答案：5．某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生、4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求X的分布列．【解析】依题意随机变量X服从超几何分布，所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4).所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，所以X的分布列为X01234P (30分钟　60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本共有(　　)A．2本     B．3本     C．4本     D．5本【解析】选C.设语文书n(n≥2)本，则数学书有(7－n)本．则2本都是语文书的概率为＝，由组合数公式得n2－n－12＝0，解得n＝4(n＝－3舍去).2．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.则质点P移动5次后位于点(2，3)的概率为(　　)A．()5       B．C×()5C．C×()3     D．C×C×()5【解析】选B.质点每次只能向上或向右移动，且概率均为，所以移动5次可看成做了5重伯努利试验．质点P移动5次后位于点(2，3)(即质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次)的概率为C×()2×()3＝C×()5.3．一个盒子里装有相同大小的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)A．P(0<X≤2)     B．P(X≤1)C．P(X＝1)      D．P(X＝2)【解析】选B.P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，所以P(X＝0)＋P(X＝1)＝P(X≤1).【补偿训练】 某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是(　　)A．P(X＝2)　　  B．P(X＝3)C．P(X≤2)     D．P(X≤3)【解析】选B.C表示从5名“三好生”中选择3名，C表示从其余7名学生中选3名，从而P(X＝3)＝.4．掷一枚质地均匀的骰子n次，设出现k次点数为1的概率为Pn(k)，若n＝20，则当Pn(k)取最大值时，k为(　　)A．3      B．4     C．8     D．10【解析】选A.掷一枚质地均匀的骰子20次，其中出现点数为1的次数为X，X～B(20，)，Pn(k)＝C··.＝(－1).当1≤k≤3时，(－1)>1，Pn(k)>Pn(k－1)；当k≥4时，(－1)<1，Pn(k)<Pn(k－1).因此k＝3时，Pn(k)取最大值．【误区警示】利用作商比较法求出自然数k的值．二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列说法正确的是(　　)A．某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10，0.6)B．某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B(8，p)C．从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～BD．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，取出好的螺丝钉的只数X为随机变量，且X～H(10，4，7)【解析】选ABD.A，B显然满足独立重复试验的条件，而C虽然是有放回地摸球，但随机变量X的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．D显然满足超几何分布的条件．6．射手对同一目标独立地射击四次，已知至少命中一次的概率为，则(　　)A．设此射手射击四次命中次数为ξ，则ξ～B(4，p)B．设每次命中的概率为p, P(ξ≥1)＝C．设每次命中的概率为p, p＝或p＝D．设每次命中的概率为p ，p＝【解析】选ABD.设此射手射击四次命中次数为ξ，每次命中的概率为p，所以ξ～B(4，p).依题意可知，P(ξ≥1)＝，所以1－P(ξ＝0)＝1－C(1－p)4＝，所以(1－p)4＝，所以p＝或p＝(舍去).三、填空题(每小题5分，共10分)7．设X～B(4，p)，且P(X＝2)＝，那么一次试验成功的概率p等于________．【解析】P(X＝2)＝Cp2(1－p)2＝，即p2(1－p)2＝＝＝·，解得p＝或p＝.答案：或【补偿训练】 设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(3，p)，若P(ξ≥1)＝，则P(η≥1)＝________．【解析】P(ξ≥1)＝1－P(ξ＝0)＝1－(1－p)2＝，所以p＝，所以P(η≥1)＝1－P(η＝0)＝1－(1－p)3＝.答案：8．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是________．【解析】设取出的白球个数为离散型随机变量X，则X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＋＝＝＝.故至少有2个白球的概率为.答案：【补偿训练】 袋中有4个红球、3个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________．【解析】取出的4个球中红球个数可能为4，3，2，1，黑球相应个数为0，1，2，3，其分值为ξ＝4，6，8，10.P(ξ≤6)＝P(ξ＝4)＋P(ξ＝6)＝＋＝.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9．某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．(1)求X的分布列；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．【解析】(1)X的可能取值为0，1，2，3.根据公式P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，算出其相应的概率．即X的分布列为X0123P(2)去执行任务的同学中有男有女的概率P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.10．在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是.(1)求油罐被引爆的概率；(2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为X，求X不小于4的概率．【解析】(1)油罐被引爆的对立事件为油罐没有被引爆，没有引爆的可能情况是射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为C··＋＝，所以所求的概率为1－＝.(2)当X＝4表示前3次中只有一次击中，第四次击中，则P(X＝4)＝C···＝，当X＝5时，表示前4次射击只击中一次或一次也未击中，第5次可以击中，也可以不击中，则P(X＝5)＝C··＋＝，所以所求概率为P(X≥4)＝P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＝.1．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为，出现1的概率为.记X＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，则X＝3的概率为(　　)A．    B．    C．    D．【解析】选C.已知a1＝1，要使X＝3，只需后四位数中出现2个1和2个0，所以P(X＝3)＝C××＝.2．小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”，并用计步器进行统计．小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图及相应的消耗能量数据表如下．健步走步数(千步)16171819消耗能量(卡路里)400440480520(1)求小王这8天 “健步走”步数的平均数．(2)从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为X，求X的分布列．【解析】(1)小王这8天“健步走”步数的平均数为＝17.25(千步).(2)X的各种取值可能为800，840，880，920.P(X＝800)＝＝，P(X＝840)＝＝，P(X＝880)＝＝，P(X＝920)＝＝.则X的分布列为：X800840880920P【补偿训练】 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球，规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖．(1)若摸出后放回，求中一等奖的概率；(2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率．(结果都保留4位小数)【解析】(1)若摸出后放回，设摸到白球的个数为ξ，则ξ～B，中一等奖即事件“ξ＝1”，所以P(ξ＝1)＝C＝. (2)①若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X表示取到的红球数，则X服从超几何分布(N＝30, n＝5, M＝10)，由公式得P(X＝4)＝＝≈0.029 5，所以获一等奖的概率约为0.029 5.②根据题意，设随机变量X表示“摸到红球的个数”，则X服从超几何分布(N＝30，n＝5，M＝10).X的可能取值为0，1，2，3，4，5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＋P(X＝5)＝＋＋≈0.191 2，故中奖的概率约为0.191 2.