人教B版 (2019)选择性必修 第二册第四章 概率与统计4.3 统计模型4.3.2 独立性检验达标测试

独立性检验

(15分钟　30分)

1．在吸烟与患肺病这两个事件关系的计算中，下列说法正确的是(　　)

A．若χ2>6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C．若从χ2统计量中得出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确

【解析】选C.A，B是对χ2的误解，99%的把握认为吸烟和患肺病有关，是指通过大量的观察试验得出的一个数值，并不是100个人中必有99个人患肺病，也可能这100个人全健康．

2．某防疫站对屠宰场及肉食零售点的猪肉检查沙门氏菌带菌情况，结果如表：

利用独立性检验估计屠宰场带菌与零售点猪肉带菌(　　)

A．有95%的把握有关

B．无关

C．有99%的把握有关

D．无法判断

【解析】选A.χ2＝≈4.726>3.841.

3．考察棉花种子经过处理与生病之间的关系，得到下表中的数据：

根据以上数据可得出(　　)

A．种子是否经过处理与是否生病有关

B．种子是否经过处理与是否生病无关

C．种子是否经过处理决定是否生病

D．有90%的把握认为种子经过处理与生病有关

【解析】选B.χ2＝≈

0．164<2.706，即没有充足的理由认为种子是否经过处理跟生病有关．

4．在对某小学的学生进行吃零食的调查中，得到下表中数据：

根据上述数据分析，得出的χ2值约为________．

【解析】由公式计算得χ2＝≈2.334.

答案：2.334

5．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据．

(1)计算a，b，c的值；

(2)文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？

【解析】(1)由478＋a＝490，得a＝12.

由a＋24＝c，得c＝12＋24＝36.

由b＋c＝913，得b＝913－36＝877.

(2)假设H0为文科学生总成绩不好与数学成绩不好无关联．

χ2＝≈6.233，

因为P(χ2≥3.841)＝0.05，且6.233>3.841，所以认为H0不成立．

所以在犯错误的概率不大于0.05的前提下，认为文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系．

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.01，则在犯错误的概率不超过________的情况下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”(　　)

A．0.001    B．0.010

C．0.050    D．0.100

【解析】选B.因为χ2＝8.01>6.635

所以在犯错误的概率不超过0.010的情况下认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”．

2．为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：O型或A型者是内向型的有18人，外向型的有22人，B型或AB型是内向型的有12人，是外向型的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系(　　)

A.99.9%

B．99%

C．没有充分的证据显示有关

D．1%

【解析】选C.作出2×2列联表如下，

根据列联表中的数据可计算出

χ2＝＝1.92<2.706，所以没有充分的证据显示有关．

3．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：

则在犯错误的概率不超过多少的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系(　　)

A．0.001        B．0.025

C．0.05        D．0.01

【解析】选A.可计算χ2≈11.377>10.828，故在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系．

4．对某校学生进行心理障碍测试得到如下列联表．

在这三种心理障碍中哪一种与性别关系最大(　　)

A．焦虑    B．说谎

C．懒惰    D．全部一样

【解析】选B.由题设表格可得三个新的表格如下：

关于是否焦虑的结论：

关于是否说谎的结论：

关于是否懒惰的结论：

对于三种心理障碍分别构造三个统计量χ，χ，χ，由表中数据可得

χ＝≈0.863<2.706，

χ＝≈6.366>3.841，

χ＝≈1.410<2.706.

所以没有充分的证据显示焦虑与性别有关；

有95%的把握认为说谎与性别有关；

没有充分的证据显示懒惰与性别有关．

这说明在这三种心理障碍中说谎与性别关系最大．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列说法正确的是(　　)

A．事件A与B独立，即两个事件互不影响

B．事件A与B关系越密切，则χ2就越大

C．χ2的大小是判定事件A与B是否相关的唯一根据

D．若判定两事件A与B相关，则A发生B一定发生

【解析】选AB.由事件的独立性知，A选项正确；由独立性检验的意义知，B选项正确；χ2的大小是判定事件A与B是否相关的一种方法，不是唯一依据，C选项不正确；若事件A与B相关，则A发生B可能发生，也可能不发生，D选项不正确．

6．某学校为了了解该校学生对于某项运动的爱好是否与性别有关，通过随机抽查110名学生，得到如下2×2列联表：

由公式χ2＝，算得χ2≈22.13.

附表：χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

参照附表，以下结论正确的是(　　)

A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

C．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

D．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

【解析】选AD.因为χ2≈22.13>10.828，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”即有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么有________的把握认为两个随机事件之间有关系．

【解析】因为χ2＝4.013>3.841，查阅χ2表知有95%的把握认为两个随机事件之间有关系．

答案：95%

8．某小学对232名小学生调查发现：180名男生中有98名有多动症，另外82名没有多动症，52名女生中有2名有多动症，另外50名没有多动症，用独立性检验的方法判断多动症与性别________．(填“有关”或“无关”)

附：χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

【解析】由题意列出如下2×2列联表：

由表中数据可得到χ2＝≈42.117.查表得P(χ2≥10.828)＝0.001，

又因为42.117>10.828，

所以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为多动症与性别有关系．

答案：有关

【补偿训练】

 某校为了研究学生的性别与对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝6.669，则所得到的统计学结论是：有________%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．

附：χ2独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值

【解析】因为6.669与附表中的6.635最接近，且6.669＞6.635，

所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”．

答案：99

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如表：

根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？

【解析】由公式得χ2＝≈9.638.

因为9.638>7.879，

所以有99.5%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．

10．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：

(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．

【解析】(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%.

(2)χ2＝≈9.967.

由于9.967>6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法进行抽样，这比采用简单随机抽样方法更好．

1．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如表：

甲厂：

乙厂：

(1)两个分厂生产的零件的优质品率分别为________；

(2)有________的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”

【解析】(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为×100%＝72%；

乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为×100%＝64%.

(2)

χ2＝≈7.35>6.635，

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．

答案：(1)72%，64%　(2)99%

【补偿训练】

 某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，实验班与对照班成绩统计如表所示(单位：人)：

(1)m＝________，n＝________；

(2)根据表中数据得到的结论是________.

【解析】(1)m＝45－15＝30，n＝50＋50＝100.

(2)由表中的数据得χ2＝≈9.091.

因为9.091＞6.635，所以有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”．

答案：(1)30　100

(2)有99%的把握说“教学方式与成绩有关系”．

2．在一次诗词知识竞赛调查中，发现参赛选手分为两个年龄(单位：岁)段：[20，30)，[30，40]，其中答对诗词名句与否的人数如图所示．

(1)完成下面2×2列联表；

(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为答对诗词名句与年龄有关，请说明你的理由；

(3)现按年龄段分层抽样选取6名选手，若从这6名选手中选取3名选手，求3名选手中年龄在[20，30)岁范围人数的分布列和数学期望．

【解析】(1)2×2列联表：

(2)χ2＝

＝＝3>2.706，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为答对诗词名句与年龄有关．

(3)按年龄段分层抽取6人中，在范围[20，30)岁的人数是2人，在[30，40]岁范围的人数是4人．

现从6名选手中选取3名选手，设3名选手中在范围[20，30)岁的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，

P(ξ＝2)＝＝，

所以ξ的分布列为

故ξ的数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1.

【补偿训练】

 为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念．手机APP也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”．杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友(女20人，男20人)，统计其在某一天的走路步数．其中，女性好友的走路步数数据记录如下：

5 860　8 520　7 326　6 798　7 325　8 430

3 216　7 453　11 754　9 860　8 753　6 450

7 290　4 850　10 223　9 763　7 988　9 176

6 421　5 980

男性好友走路的步数情况可分为五个类别：A(0～2 000步)(说明：“0～2 000”表示大于等于0，小于等于2 000.下同)，B(2 001～5 000步)，C(5 001～8 000步)，D(8 001～10 000步)，E(10 001步及以上)，且B，D，E三种类别人数比例为1∶3∶4，将统计结果绘制如图所示的条形图．

男性好友各类别人数的条形统计图

若某人一天的走路步数超过8 000步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”．

(1)若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5 001～10 000步的人数；

(2)请根据选取的样本数据完成下面的2×2列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“认定类型”与“性别”有关．

(3)若按系统认定类型从选取的样本数据中在男性好友中按比例选取10人，从中任意选取3人，记选到“卫健型”的人数为x；女性好友中按比例选取5人，从中任意选取2人，记选到“卫健型”的人数为y，求事件“|x－y|>1”的概率．附：χ2＝，

【解析】(1)在样本数据中，男性好友B类别设为x人，则由题意可知1＋x＋3＋3x＋4x＝20，可知x＝2，故B类别有2人，D类别有6人，E类别有8人，走路步数在5 001～10 000步的包括C，D两类别共计9人；女性好友走路步数在5 001～10 000步共有16人．

用样本数据估计所有微信好友每天走路步数在5 001～10 000步的有600×＝375(人).

(2)根据题意，选取的40个样本数据的2×2列联表为：

得χ2＝≈3.636<3.841，故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“认定类型”与“性别”有关．

(3)在男性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为7∶3，则选取10人，恰好选取“卫健型”7人，“进步型”3人；在女性好友中“卫健型”与“进步型”的比例为2∶3，选取5人，恰好选取“卫健型”2人，“进步型”3人；

“|x－y|>1”包含“x＝3，y＝1”，“x＝3，y＝0”，“x＝2，y＝0”，“x＝0，y＝2”，

则P(x＝3，y＝1)＝×＝，

P(x＝3，y＝0)＝×＝，

P(x＝2，y＝0)＝×＝，

P(x＝0，y＝2)＝×＝，

故P(|x－y|>1)＝＋＋＋＝.