高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.5 正态分布课时训练

正态分布

　(15分钟　30分)

1．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是(　　)

A.μ1＜μ2，σ1＜σ2       B．μ1＜μ2，σ1＞σ2

C．μ1＞μ2，σ1＜σ2       D．μ1＞μ2，σ1＞σ2

【解析】选A.由正态分布曲线的图像知，X的正态分布曲线的对称轴小于Y的正态分布曲线的对称轴，即μ1＜μ2；再由正态分布曲线的图像标准差越小，随机变量的取值越集中，图象越高瘦，标准差越大，随机变量的取值越分散，图象越矮胖，可得σ1＜σ2.

2．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)

＝(　　)

A．0.6    B．0.4    C．0.3    D．0.2

【解析】选C.如图，

正态分布的概率密度函数图像关于直线x＝2对称，

所以P(ξ＜2)＝0.5，并且P(0＜ξ＜2)＝P(2＜ξ＜4)，则P(0＜ξ＜2)＝P(ξ＜4)－P(ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3.

3．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)

A．2 386    B．2 718    C．3 415    D．4 772

附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.683，

P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954.

【解析】选C.由P(－1<X≤1)≈0.683，得P(0<X≤1)≈0.341 5，则阴影部分的面积约为0.341 5，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×≈3 415.

4．设离散型随机变量ξ～N(0，1)，则P(ξ≤0)＝________；P(－2＜ξ＜2)＝________．

【解析】因为标准正态曲线的对称轴为x＝0，

所以P(ξ≤0)＝P(ξ＞0)＝.而P(－2＜ξ＜2)＝

P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈0.954.

答案：　0.954

5．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(2 500，202)，该工厂共有1 200名工人，试估计月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有多少人？

【解析】设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(2 500，202)，所以μ＝2 500，σ＝20，

所以月收入在区间(2 500－3×20，2 500＋3×20)内取值的概率是0.997 4，该区间即(2 440，2 560).因此月收入在2 440元以下和2 560元以上的工人大约有1 200×(1－0.997 4)≈1 200×0.002 6≈3(人).

　(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．某市为弘扬我国优秀的传统文化，组织全市10万中小学生参加网络古诗词知识答题比赛，总分100分，经过分析比赛成绩，发现成绩X服从正态分布N(82，16)，请估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为(　　)

参考数据：P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997

A．2 300    B．3 170    C．3 415    D．460

【解析】选A.由正态分布N(82，16)，可得μ＝82，σ＝4，

则P(74＜X＜90)＝P(82－2×4＜X＜82＋2×4)≈0.954.

所以P(X≥90)≈(1－0.954)＝0.023.

估计比赛成绩不小于90分的学生人数约为100 000×0.023＝2 300.

2．某厂生产的零件外径X～N(10，0.04)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为9.9 cm，9.3 cm，则可认为(　　)

A．上午生产情况正常，下午生产情况异常

B．上午生产情况异常，下午生产情况正常

C．上午、下午生产情况均正常

D．上午、下午生产情况均异常

【解析】选A.因为测量值X为随机变量，

又X～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，

记I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4，10.6)，

则9.9∈I，9.3∉I.

3．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　)

A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大

B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5

C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等

D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等

【解析】选D.对于A，σ2为数据的方差，所以σ越小，数据在μ＝10附近越集中，所以测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确；对于D，因为该物理量一次测量结果落在(9.9，10.0)的概率与落在(10.2，10.3)的概率不同，所以一次测量结果落在(9.9，10.2)的概率与落在(10，10.3)的概率不同，故D错误．

4．已知随机变量X服从正态分布N(100，4)，若P(m＜X＜104)＝0.135 9，则m等于(　　)

[附：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4]

A．100    B．101    C．102    D．103

【解析】选C.因为随机变量X服从正态分布N(100，4)，所以P(98＜X＜102)＝0.682 6，P(96＜X＜104)＝0.954 4，所以P(102＜X＜104)＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，又P(m＜X＜104)＝0.135 9，

所以m＝102.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．下列可以作为正态分布概率密度函数的是(其中μ∈(－∞，＋∞)，σ>0)(　　)

A．f(x)＝e－      B．f(x)＝e－

C．f(x)＝e－        D．f(x)＝e－(x－μ)2

【解析】选ACD.对于A，f(x)＝e－，

由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布概率密度函数；

对于B，若σ＝1，则应为f(x)＝e－，若σ＝，则应为f(x)＝e－，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布概率密度函数；

对于C，它是当σ＝，μ＝0时的正态分布概率密度函数；对于D，它是当σ＝时的正态分布概率密度函数．

6．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为f(x)＝e－，x∈，则下列说法正确的是(　　)

A．该地水稻的平均株高为100 cm

B．该地水稻株高的方差为10

C．随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大

D．随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位： cm)的概率一样大

【解析】选AC.f＝e－，故μ＝100，σ2＝100，故A正确，B错误；

P＝P>P，故C正确；

根据正态分布的对称性知：P＝

P>P，故D错误．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．经统计，某市高三学生期末数学成绩X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是________．

【解析】因为数学成绩X～N(85，σ2)，且P(80<X<90)＝0.3，

所以P(X≥90)＝＝0.35.

答案：0.35

8．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________.

【解析】由题知，μ＝10 000，σ＝400，所以P(9 200<X≤10 800)＝P(10 000－2×400<X≤10 000＋2×400)≈0.954.

答案：0.954

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知某地农民工月均收入X服从正态分布，其概率密度函数图像如图所示．

(1)写出此地农民工月均收入的概率密度函数的表达式．

(2)求此地农民工月均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比．

【解析】设农民工月均收入X～N(μ，σ2)，结合题图可知，μ＝8 000，σ＝500.

(1)此地农民工月均收入的正态分布的概率密度函数表达式为φμ，σ(x)＝e－

＝e－，x∈(－∞，＋∞).

(2)因为P(7 500＜X＜8 500)＝P(8 000－500＜X＜8 000＋500)≈0.683，所以P(8 000<X＜8 500)

＝P(7 500＜X＜8 500)≈0.341 5≈34.15%.

即农民工月均收入在8 000～8 500元之间的人数所占的百分比约为34.15%.

10．3D打印通常是采用数字技术材料打印机来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零部件．该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间．某制造企业向A高校3D打印实验团队租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队在实验室打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10件零件，度量其内径如表所示(单位：μm).

(1)计算平均值μ与标准差σ；

(2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2).该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，度量其内径分别为(单位：μm)：86，95，103，109，118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？

【解析】(1)μ＝×(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105，

σ2＝×[(－8)2＋(－8)2＋(－7)2＋(－3)2＋02＋22＋32＋42＋82＋92]＝36，所以σ＝6.

(2)需要进一步调试．理由如下：

如果机器正常工作，则Z服从正态分布N(105，62)，则P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)＝P(87＜Z＜123)≈0.997，零件内径在(87，123)之外的概率只有0.003，

而86∉(87，123)，根据3σ原则，机器异常，需要进一步调试．

【补偿训练】

 某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4，0.052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为3.7 cm，该厂生产的这批零件是否合格？

【解析】由于X服从正态分布N(4，0.052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4，0.052)在(4－3×0.05，4＋3×0.05)之外的取值的概率只有0.003，3.7∉(3.85，4.15)，

这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的．

1．(2021八省联考)对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|＜2σ)＝0.954 5.

【解析】由题意使εn在(－0.5，0.5)的概率不小于0.954 5可知，(μ－2σ，μ＋2σ)⊆(－0.5，0.5)，且σ＝，μ＝0，则2σ＝，所以≤，解得n≥32.即至少要测量32次．

答案：32

2．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.

①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；

②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X).附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)≈0.954.

【解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差s2分别为：＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

(2)①由(1)知，Z服从正态分布N(200，150)，从而

P(187.8<Z<212.2)

＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)≈0.683.

②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.683，依题意知X～B(100，0.683)，所以E(X)＝100×0.683＝68.3.