吉林省长春市“BEST合作体”2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文） 试题（含答案）

长春市“BEST合作体”2020-2021学年度下学期期中考试

高二数学（文科）试题

                                  2021年5月

本试卷分客观题和主观题两部分共22题，共150分，共2页。考试时间为120分钟。考试结束后，只交答题卡。

第Ⅰ卷  客观题

一、选择题（每小题5分，共12小题）

1．不等式的解集是

A．                  B．    

C．                              D．

2．

A． B． C． D．

3．已知，若，则

A． B． C． D．

4．复数

A．1 B． C． D．

5． 下列导数运算正确的是

A．     B．   C．        D．

6． 曲线在点处切线的斜率为

A． B． C． D．

7． 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足.所以，名不正，则民无所措手足. ”上述推理用的是

A．类比推理 B．演绎推理 C．归纳推理 D．以上都不对

8．函数的单调增区间为

A．        B．         C．          D．

9．若函数的图象如下图所示，则函数的图象有可能是（    ）

A． B． C． D．

10． 一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名．丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

11． 已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（    ）

A． B．6 C．17 D．18

12． 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷  主观题

二、填空题（每小题5分，共4小题）

13． 已知复数（是虚数单位），则________．

14． ，则______ .

15． 函数的值域是______________．

16． 已知函数恰有两个零点，则实数的值为___________

三、解答题

17．（10分）将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程

（1）       （2）

（3）           （4）                （5）

18．（12分）已知函数.

(1) 求的减区间;

(2)当时, 求的值域.

19．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程

（2）若，直线与曲线交于，求的值

20. （12分） 已知函数．

（1）解不等式；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围．

21．（12分）在直角坐标系中，圆的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆的极坐标方程；

（2）直线的极坐标方程是．记射线：与圆分别交于点，，与直线交于点，求线段的长．

22．（12分）已知函数，．

（1）当为何值时，轴为曲线的切线；

（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

长春市“BEST合作体”2020-2021学年度下学期期中考试

高二数学（文科）试题答案

                   2021年5月

13.            14.          15.       16.

17. （1）；（2）；（3）.

（4）；  （5）

18.

解: (I) 由函数, 求导   

当, 解得

即的减区间                            

(II) 当, 解得

即在上递减, 在上递增        

故的值域

19. 【详解】

（1）由消去参数，可得，整理得，即直线的普通方程为；

由，化为直角坐标方程可得，整理得，即曲线的直角坐标方程为；

（2）将代入得，整理得，

由的几何意义知，不妨记，，则，，

因此.

20.

解：（1）由题知不等式，

即，

等价于，

或，

或；

解得或或，即或，

原不等式的解集为，，；

（2）由题知，

的最小值为3，

，

解得，

实数的取值范围为，．

21.

解：（Ⅰ）消去参数，得到圆的普通方程为

令代入圆的普通方程，

得的极坐标方程为，即．

（Ⅱ）在的极坐标方程中令，得，所以

在的极坐标方程中令，得，所以．

所以．

22.

（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.

因此，当时，轴是曲线的切线.

（Ⅱ）当时，，从而，

∴在（1，+∞）无零点.

当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.

当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.

（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.

（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.

①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.

②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；

③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分

综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.