天津市实验中学滨海学校2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理科）（含答案）练习题

2020-2021年度第二学期高二年级期中质量调查（数学理科）试卷

 满分：150分   时长：120分钟   

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题（每题5分，共60分）

1．计算（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数(为虚数单位)，则（    ）

A． B．2. C． D．1

3．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4．下列各式中正确的是（    ）

A．(logax)′= B．(logax)′=

C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln3

5．已知，则导数（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数在处取得极值，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．

7．执行如图所示的程序框图，则输出（    ）

A．      B．      C．       D．

8．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（    ）

A．－2 B．2 C．6 D．10

9．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（    ）

A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝

10．已知且，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

11．已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（    ）

A．  B． C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（每题5分，共20分）

13．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．

14．已知i为虚数单位，若复数z满足，则实数a的值为______.

15．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.

16．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.

三、解答题（共70分）

17．(16分)设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.

（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；

（2）若是纯虚数，求|z1|.

18．(18分)如图，在正方体中，E为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．(18分)已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间和极值.

20．(18分)已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值和最小值．

 
2020-2021年度第二学期高二年级期中质量调查（数学理科）答题纸

一、选择题（每题5分，共60分）

二、填空题（每题5分，共20分）

13._____________       14. _____________

15. ____________       16. _____________

三、解答题（共70分）

2020-2021学年度高中数学期中考试卷

理科

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1．计算（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

直接由复数的除法运算可得解.

【详解】

.

故选：B.

2．已知复数(为虚数单位)，则（    ）

A． B．2. C． D．1

【答案】A

【分析】

首先根据两个复数代数形式的乘法运算法则，化简复数，之后利用复数的模的运算公式求得结果.

【详解】

因为，所以.

故选：A.

3．复数在复平面内对应的点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】

先化简求出，即可得出结论.

【详解】

，

其在复平面内对应的点在第一象限.

故选：A.

4．下列各式中正确的是（    ）

A．(logax)′= B．(logax)′=

C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln3

【答案】D

【分析】

根据求导公式直接可判断.

【详解】

由(logax)′=，可知A，B均错；由(3x)′=3xln3可知D正确.

故选：D

5．已知，则导数（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

求得，进而可计算得出的值.

【详解】

，，因此，.

故选：D.

6．已知函数在处取得极值，则（    ）

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】B

【分析】

依题意，即可求出参数的值；

【详解】

解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件；

故选：B

7．执行如图所示的程序框图，则输出（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

直接运行程序框图即得解.

【详解】

第一次循环得，，，，，

第二次循环得，，，，，

第三次循环得，，，，，

第四次循环得，，，，，输出，

故选：D

8．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（    ）

A．－2 B．2 C．6 D．10

【答案】D

【分析】

利用向量垂直数量积为零列方程求解即可．

【详解】

直线、的方向向量分别为，，且，

，

解得．

故选：D．

9．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（    ）

A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝

C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝

【答案】D

【分析】

利用向量共线的条件列方程组，直接解得.

【详解】

由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.

故选：D

10．已知且，则的值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C    

【分析】

由空间向量数量积的坐标运算求解．

【详解】

由已知，解得．

故选：C．

11．已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

12．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（    ）

A．  B． C． D．

【答案】B

【分析】

以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.

【详解】

以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：

则，，，，，，

设异面直线与所成角为，则.

故选：B.

【点睛】

方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则

①两直线所成的角为(),；

②直线与平面所成的角为(),；

③二面角的大小为(),

第II卷（非选择题）

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二、填空题

13．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．

【答案】

【分析】

利用复数的乘法运算法则、纯虚数的定义即可得出.

【详解】

解：复数是纯虚数，

，且，解得：.

故答案为：.

14．已知i为虚数单位，若复数z满足，则实数a的值为______.

【答案】5

【分析】

根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果.

【详解】

设，则可得，

所以.

故答案为：5

【点睛】

本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.

15．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.

【答案】和

【分析】

找到y＝f ′(x)的图象上函数值为正的区间即可.

【详解】

由y＝f ′(x)的图象可得当和时，，此时单调递增，

所以函数f (x)的单调递增区间是和.

故答案为：和.

16．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.

【答案】

【分析】

是R上的单调函数，则导函数恒大于等于或恒小于等于，

而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可.

【详解】

是R上的单调函数，则导函数恒大于等于

则，

故答案为：

【点睛】

若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．

三、解答题

17．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.

（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；

（2）若是纯虚数，求|z1|.

【答案】（1）；（2）.

【分析】

（1）由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算求的值；

（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得，则可求．

【详解】

解：（1）（其中，，

，

由是实数，得．

，，

则；

（2）由是纯虚数，

得，即．

．

18．如图，在正方体中，E为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）连接交于点O，连接，即可得到，根据线面平行的判定定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；

【详解】

解：（1）连接交于点O，连接，

在正方形中，．

因为E为的中点，

所以．

因为平面，平面，

所以平面．

（2）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系

则，

所以．

设平面的法向量为，

所以所以即

令，则，

于是．

设直线与平面所成角为，

则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.

19．已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间和极值.

【答案】（1）；（2）函数的增区间为，该函数无极值.

【分析】

（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；

（2）利用导数分析函数的单调性，由此可得出结论.

【详解】

（1）当时，，则，所以，，.

所以，函数在处的切线方程，

因此，所求切线的方程为；

（2）当时，，该函数的定义域为，，

所以，函数的增区间为，该函数无极值.

20．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．

（1）求的解析式；

（2）求在上的最大值和最小值．

【答案】（1）；（2）最大值为8，最小值为．

【分析】

（1）先对函数求导，然后利用导数的几何意义可得从而可求出的值，进而可得的解析式；

（2）先对函数求导，然后令导数等于零，求出极值点，再求出极值和端点处的函数值，比较可得函数的最值

【详解】

解：（1）由题意可得，．

由解得

经检验得时，有极大值．

所以．

（2）由（1）知，．

令，得，，

，的值随的变化情况如下表：

由表可知在上的最大值为8，最小值为．