北师大版 (2019)必修 第一册4.1 函数的奇偶性教学课件ppt

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2．偶函数、奇函数的图象特征(1)如果一个函数是偶函数，则它的图象是以 为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于 对称，则这个函数是偶函数．(2)如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
对函数奇偶性的理解(1)奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(x)＋f(－x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.(2)定义中x具有任意性．函数的奇偶性是相对于函数的定义域而言的，而函数的单调性是相对于定义域的某个子集而言的，从这个意义上讲，函数的单调性属于“局部性质”，而函数的奇偶性则属于“整体性质”．(3)x具有对称性．因为函数y＝f(x)的奇偶性考查的是f(－x)与f(x)的关系，所以f(x)与f(－x)都有意义，即x与－x都应在函数的定义域内，所以定义域在数轴上关于原点对称．否则，这个函数一定不具有奇偶性，例如函数y＝x2在R上是偶函数，但在区间[－1,2]上既不是奇函数，也不是偶函数．————————————————————————————————
[即时小练]1．判断正误(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数． (　　)(2)函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数． (　　)(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇 函数． (　　)(4)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数． (　　)(5)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶 函数． (　　)答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　
(2)图象法(3)性质法设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．[提醒]　分段函数奇偶性的判断，要分别从x＞0或x＜0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．　　
[解析]　(1)∵f(x)是偶函数，∴定义域关于原点对称，则(a－5)＋(2a－1)＝3a－6＝0，解得a＝2.又f(x)＝f(－x)，即2x2＋bx＋8＋2b＝2(－x)2＋b(－x)＋8＋2b，∴2bx＝0对任意的x∈[－3,3]恒成立，可得b＝0，∴a＋b＝2.(2)当x＞0时，－x＜0，则f(－x)＝－x2－bx，f(x)＝－f(－x)＝x2＋bx，即ax2－2x＝x2＋bx，解得a＝1，b＝－2，可验证当x＜0时，对a＝1，b＝－2也有f(x)＝－f(－x)，故f(a＋b)＝f(－1)＝1.[答案]　(1)C　(2)C
2．利用函数奇偶性求参数值的方法(1)若具有奇偶性的函数的定义域含有参数，需根据定义域关于坐标原点对称列式求解．(2)解析式含有参数，需根据f(x)＝f(－x)或f(x)＝－f(－x)列式，比较各项的系数求解．(3)对于多项式函数，在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数．　　
[对点训练]1.函数f(x)＝(x－1)2可以表示为奇函数h(x)与偶函数g(x)的和，则g(1)等于(　　)A．－2　　　　　　　　B．0C．1 D．2解析：∵h(x)是奇函数，∴h(－x)＝－h(x)，∵g(x)是偶函数，∴g(－x)＝g(x)，由题可得h(x)＋g(x)＝(x－1)2，①则h(－x)＋g(－x)＝(－x－1)2，即－h(x)＋g(x)＝(－x－1)2.②
由①＋②可得2g(x)＝(x－1)2＋(－x－1)2＝2x2＋2，∴g(x)＝x2＋1，∴g(1)＝1＋1＝2.答案： D　
一、在典题训练中内化学科素养函数的奇偶性是历年高考命题的热点内容，主要有以下几个考查方向：判断函数的奇偶性，根据奇偶性确定函数值、参数值，奇偶性与单调性相结合的解不等式问题，有时也与后面将要学习的知识相结合，体现了对逻辑推理、数学运算等核心素养的考查．
2．(2018·全国卷Ⅰ改编)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则a＝______.解析：法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1.经检验，a＝1符合题意．法二：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1.答案：1
3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12.答案：12
4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 (　　)A．[－1,1]∪[3，＋∞)　B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]解析：由题意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.当x>0时，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x