数学九年级下册第24章 圆综合与测试精练

沪科版九年级数学下册第24章圆必考点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

2、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于M，则下列结论不一定成立的是（　　　　）

A．AM=BM B．CM=DM C． D．

3、在△ABC中，，点O为AB中点．以点C为圆心，CO长为半径作⊙C，则⊙C 与AB的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

4、点P(3，﹣2)关于原点O的对称点的坐标是（　　）

A．(3，﹣2) B．(﹣3，2) C．(﹣3，﹣2) D．(2，3)

5、如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（    ）

A．22.5° B．45° C．90° D．67.5°

6、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

7、如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（    ）

A． B． C． D．

8、若的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9、下列语句判断正确的是（　　）

A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形

D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

10、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为_______．

2、半径为6cm的扇形的圆心角所对的弧长为cm，这个圆心角______度．

3、已知一个扇形的半径是1，圆心角是120°，则这个扇形的面积是___________．

4、如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧AB上的一个动点，若∠P = 50°，则∠ACB ＝_____________°

5、如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．

（1）点M的纵坐标为______；

（2）当最大时，点P的坐标为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，ABC是⊙O的内接三角形，，，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD＝6，求线段AE的长．

2、如图1，在中，，，将边绕着点A逆时针旋转，得到线段，连接交边于点E，过点C作于点F，延长交于点G．

（1）求证：；

（2）如图2，当时，求证：；

（3）如图3，当时，请直接写出的值．

3、如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，连接PB、AB，∠PBA＝∠C．

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）连接OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为3，求BC的长．

4、综合与实践

“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长．

使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了．

为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．

独立思考：（1）如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整．

已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，________，切半圆于．求证：________________．

探究解决：（2）请完成证明过程．

应用实践：（3）若半圆的直径为，，求的长度．

5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．

（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；

（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.

【详解】

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.

2、B

【分析】

根据垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”进行判断即可得．

【详解】

解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，

∴AM=BM，，，

即选项A、C、D选项说法正确，不符合题意，

当根据已知条件得CM和DM不一定相等，

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理．

3、B

【分析】

根据等腰三角形的性质，三线合一即可得，根据三角形切线的判定即可判断是的切线，进而可得⊙C 与AB的位置关系

【详解】

解：连接,

，点O为AB中点．

CO为⊙C的半径，

是的切线，

⊙C 与AB的位置关系是相切

故选B

【点睛】

本题考查了三线合一，切线的判定，直线与圆的位置关系，掌握切线判定定理是解题的关键．

4、B

【分析】

根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．

【详解】

解：点P（3，﹣2）关于原点O的对称点P'的坐标是（﹣3，2）．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

5、B

【分析】

根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查圆周角定理，准确理解，熟练运用圆周角定理是解题关键．

6、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

7、C

【分析】

如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．

【详解】

解：如图，过点C作 CT⊥AB 于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，

由题意可得AB垂直平分线段OK，

∴AO=AK，OH=HK=3，

∵OA=OK，

∴OA=OK=AK，

∴∠OAK=∠AOK=60°，

∴AH=OA×sin60°=6×=3，

∵OH⊥AB，

∴AH=BH，

∴AB=2AH=6，

∵OC+OH⩾CT，

∴CT⩽6+3=9，

∴CT的最大值为9，

∴△ABC的面积的最大值为=27，

故选：C.

【点睛】

本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．

8、C

【分析】

先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可

【详解】

设半径为r，

则周长为2πr，

120°所对应的弧长为

解得r=3

故选C

【点睛】

本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．

9、A

【分析】

根据等边三角形的对称性判断即可．

【详解】

∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

∴B，C，D都不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．

10、D

【分析】

由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．

【详解】

∵

∴

∵四边形内接于

∴

又∵

∴．

故选：D．

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

二、填空题

1、##

【分析】

延长AG交CD于M，如图1，可证△ADG≌△DGC可得∠GCD=∠DAM，再证△ADM≌△DFC可得DF=DM=AE，可证△ABE≌△ADM，可得H是以AB为直径的圆上一点，取AB中点O，连接OD，OH，根据三角形的三边关系可得不等式，可解得DH长度的最小值．

【详解】

解：延长AG交CD于M，如图1，

∵ABCD是正方形，

∴AD=CD=AB，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC，

∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，DG=DG，

∴△ADG≌△DGC，

∴∠DAM=∠DCF且AD=CD，∠ADC=∠ADC，

∴△ADM≌△CDF，

∴FD=DM且AE=DF，

∴AE=DM且AB=AD，∠ADM=∠BAD=90°，

∴△ABE≌△DAM，

∴∠DAM=∠ABE，

∵∠DAM+∠BAM=90°，

∴∠BAM+∠ABE=90°，即∠AHB=90°，

∴点H是以AB为直径的圆上一点．

如图2，取AB中点O，连接OD，OH，

∵AB=AD=2，O是AB中点，

∴AO=1=OH，

在Rt△AOD中，OD=，

∵DH≥OD-OH，

∴DH≥-1，

∴DH的最小值为-1，

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键是证点H是以AB为直径的圆上一点．

2、60

【分析】

根据弧长公式求解即可．

【详解】

解：，

解得，，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查了弧长公式，灵活应用弧长公式是解题的关键.

3、

【分析】

根据圆心角为的扇形面积是进行解答即可得．

【详解】

解：这个扇形的面积．

故答案是：．

【点睛】

本题考查了扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式．

4、

【分析】

连接，根据切线的性质以及四边形内角和定理求得，进而根据圆周角定理即可求得∠ACB

【详解】

解：连接，如图，

PA，PB分别与⊙O相切

故答案为：

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和，掌握切线的性质是解题的关键．

5、5    (4，0)   

【分析】

（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；

（2）点P在⊙M切点处时，最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，

∵A(0，2)，B(0，8)，

∴点M的纵坐标为：，

故答案为：5；

（2）过点，，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，最大，

理由：

若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，

设交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，

∵∠AEB是ΔAE的外角，

∴∠AEB>∠AB，

∵∠APB>∠AB，即点P在切点处时，∠APB最大，

∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，

∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，

∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，

设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5，

而∠POD=90°，

∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，

由勾股定理，得

MD=，

∴OP=MD=4，

∴点P的坐标为(4，0)，

故答案为：(4，0)．

【点睛】

本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）连接OC，根据CE是⊙O的切线，可得∠OCE＝，根据圆周角定理，可得∠AOC=，从而得到∠AOC+∠OCE＝，即可求证；

（2）过点A作AF⊥EC交EC于点F，由∠AOC＝，OA＝OC，可得∠OAC＝，从而得到∠BAD＝，再由AD∥EC，可得，然后证得四边形OAFC是正方形，可得，从而得到AF=3，再由直角三角形的性质，即可求解．

【详解】

证明：（1）连接OC，

∵CE是⊙O的切线，

∴∠OCE＝，

∵∠ABC＝，

∴∠AOC＝2∠ABC＝，

∵∠AOC+∠OCE＝，

∴AD∥EC；

（2）解：过点A作AF⊥EC交EC于点F，

∵∠AOC＝，OA＝OC，

∴∠OAC＝，

∵∠BAC＝，

∴∠BAD＝，

∵AD∥EC，

∴，

∵∠OCE＝，∠AOC＝，∠AFC=90°，

∴四边形OAFC是矩形，

∵OA＝OC，

∴四边形OAFC是正方形，

∴，

∵，

∴，

在Rt△AFE中，，

∴AE=2AF=6．

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．

2、

（1）见解析

（2）见解析

（3）

【分析】

（1）由旋转的性质得AB=AD，所以，再根据三角形内角和定理可证明即可得到结论；

（2）连接，根据ASA证明≌得，是等边三角形，从而得出，再运用AAS证明≌得，由勾股定理可得出，从而 可得结论；

（3）证明平分，作于点，根据勾股定理得，代入求值即可．

（1）

∵边绕着点逆时针旋转得到线段，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴

又，且∠AEB=∠CEF

∴．

∴．

（2）

连接．

在和中，

∵，

∴≌（ASA）．

∴．

∴，即．

在和中，

∵，

∴≌（AAS）．

∴．

∵，

∴在中，，

即．

∵，，

∴是等边三角形．

∴．

（3）

．

∵，，

∴

∵．

∵，

∴．

∴平分．

作于点，

∴．

∴在中，．

∵≌，≌，

∴，，．

∴在中，，

∵，

∴．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．

3、

（1）见解析

（2）

【分析】

（1）连接，由圆周角定理得出，得出，再由，得出，证出，即可得出结论；

（2）证明，得出对应边成比例，即可求出的长．

（1）

证明：连接，如图所示：

是的直径，

，

，

，

，

，

，

即，

是的切线；

（2）

解：的半径为，

，，

，

，

，

，

，

又，

，

，

即，

．

【点睛】

本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握圆周角定理、切线的判定．

4、（1），，将三等分；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）根据题意即可得；

（2）先证明与全等，然后根据全等的性质可得，再由圆的切线的性质可得，可得三个角相等，即可证明结论；

（3）连，延长与相交于点，由（2）结论可得，再由切线的性质，，然后利用勾股定理及线段间的数量关系可得，最后利用相似三角形的判定和性质求解即可得．

【详解】

解：（1），，将三等分，

故答案为：；，将三等分，

（2）证明：在与中，

，

，

．

，

是的切线．

、都是的切线，

，

，

，将三等分．

（3）如图，连，延长与相交于点，

由（2），知．

是的切线，

，

，．

∵半径，

∴由勾股定理得，在中，

，，

．

∵，

，

，

，即，

．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质，勾股定理等，理解题意，结合图形综合运用这些知识点是解题关键．

5、

（1）65°

（2）

【分析】

（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．

【小题1】

解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，

∴∠ABC=50°，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，

∴∠BAF=∠BFA=（180°-50°）=65°；

【小题2】

∵∠C=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10，

∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，

∴BE=BC=6，EF=AC=8，

∴AE=AB-BE=10-6=4，

∴AF=．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．