数学九年级下册第24章 圆综合与测试练习题

沪科版九年级数学下册第24章圆定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列各点中，关于原点对称的两个点是（　　）

A．（﹣5，0）与（0，5） B．（0，2）与（2，0）

C．（﹣2，﹣1）与（﹣2，1） D．（2，﹣1）与（﹣2，1）

2、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3、下列语句判断正确的是（　　）

A．等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形

B．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．等边三角形是中心对称图形，但不是轴对称图形

D．等边三角形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

4、如图，与的两边分别相切，其中OA边与相切于点P．若，，则OC的长为（    ）

A．8 B． C． D．

5、如图，点A、B、C在上，，则的度数是（    ）

A．100° B．50° C．40° D．25°

6、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

7、下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

8、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（    ）

A． B． C． D．

9、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（    ）

A．5 B．8 C．9 D．10

10、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上，此时得到△EDC，斜边DE交AC边于点F，则图中阴影部分的面积为（    ）

A．3 B．1 C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，四边形ABCD内接于圆，E为CD延长线上一点， 图中与∠ADE相等的角是 _________ ．

2、如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）

①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．

3、如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

4、如图，在中，，，．绕点B顺时针方向旋转45°得到，点A经过的路径为弧，点C经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

5、若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留）

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：如图，A为上的一点．

求作：过点A且与相切的一条直线．

作法：①连接OA；

②以点A为圆心，OA长为半径画弧，与的一个交点为B，作射线OB；

③以点B为圆心，OA长为半径画弧，交射线OB于点P（不与点O重合）；

④作直线PA．

直线PA即为所求．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接BA．

由作法可知．

∴点A在以OP为直径的圆上．

∴（    ）（填推理的依据）．

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（    ）（填推理的依据）．

2、阅读下列材料，完成相应任务：如图①，是⊙O的内接三角形，是⊙O的直径，平分交⊙O于点，连接，过点作⊙O的切线，交的延长线于点．则．下面是证明的部分过程：

证明：如图②，连接，

是⊙O的直径，，

①________．（1）

为⊙O的切线，，

，（2）

由（1）（2）得，②________________．

平分．

，

③________，

．

任务：

（1）请按照上面的证明思路，补全证明过程：①________，②________，③________；

（2）若，求的长．

3、在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于r（r为常数），到点O的距离等于r的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．求证：AD=CD．

4、新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）

（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）

（初步应用）（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案）

（解决问题）

（3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．

（实际运用）

（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？

5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．

（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；

（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：A、（﹣5，0）与（0，5）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故A错误；

B、（0，2）与（2，0）横、纵坐标不满足关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数的特征，故B错误；

C、（﹣2，﹣1）与（﹣2，1）关于x轴对称，故C错误；

D、关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，故D正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

2、C

【详解】

解：选项A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；

选项B不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；

选项D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选C

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的识别，中心对称图形的识别，掌握“轴对称图形与中心对称图形的定义”是解本题的关键，轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合；中心对称图形：把一个图形绕某点旋转后能与自身重合.

3、A

【分析】

根据等边三角形的对称性判断即可．

【详解】

∵等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，

∴B，C，D都不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了等边三角形的对称性，熟练掌握等边三角形的对称性是解题的关键．

4、C

【分析】

如图所示，连接CP，由切线的性质和切线长定理得到∠CPO=90°，∠COP=45°，由此推出CP=OP=4，再根据勾股定理求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接CP，

∵OA，OB都是圆C的切线，∠AOB=90°，P为切点，

∴∠CPO=90°，∠COP=45°，

∴∠PCO=∠COP=45°，

∴CP=OP=4，

∴，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，切线长定理，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，熟知切线长定理是解题的关键．

5、C

【分析】

先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质即可得出结论．

【详解】

∵∠ACB=50°，

∴∠AOB=100°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA= 40°，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

6、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

7、C

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意；

D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

8、B

【分析】

直接根据扇形的面积公式计算即可．

【详解】

故选：B．

【点睛】

本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．

9、C

【分析】

连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得

【详解】

解：如图，连接，

∵是的直径，弦，

∴

设的半径为，则

在中，，

即

解得

即

故选C

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

10、D

【分析】

根据题意及旋转的性质可得是等边三角形，则，，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，由勾股定理即可求得，进而求得阴影部分的面积．

【详解】

解：如图，设与相交于点，

，，

，

旋转，

，

是等边三角形，

，，

，

，

，

，

，

阴影部分的面积为

故选D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．

二、填空题

1、∠ABC

【分析】

根据圆内接四边形的性质可得，再由题意可得，由等式的性质即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD内接于圆，

∴，

∵E为CD延长线上一点，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查圆内接四边形的性质，熟练掌握这个性质是解题关键．

2、①②④

【分析】

连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④．

【详解】

解：连接OM，

∵PE为的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

即AM平分，故①正确；

∵AB为的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，故②正确；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴的长为，故③错误；

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，，，

∴，

又∵，

∴，

设，则，

∴，

在中，，

∴，

∴，

由①可得，

，

故④正确，

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

3、

【分析】

由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：与是等腰直角三角形，

，

，

在与中，

，

≌，

，

，

，

在以为直径的圆上，

的外心为，，

，

如图，当时，的值最小，

，

，

，，

．

则的最小值是，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

4、##

【分析】

设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，根据三边关系可得，根据题意及等角对等边得出，在中，利用正弦函数可得，结合图形，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解即可得．

【详解】

解：设与AC相交于点D，过点D作，垂足为点E，

∵，，，

∴，

∴为直角三角形，

∴，

∵绕点B顺时针方向旋转45°得到，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

，

，

，

，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查勾股定理逆定理，旋转的性质，等角对等边的性质，正切函数，扇形面积等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．

5、

【分析】

已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算．

【详解】

解：依题意，n=，r=2，

∴扇形的弧长=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=．

三、解答题

1、（1）图见解析；（2）直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理

【分析】

（1）根据所给的几何语言作出对应的图形即可；

（2）根据圆周角定理和切线的判定定理解答即可．

【详解】

解：（1）补全图形如图所示，直线AP即为所求作；

（2）证明：连接BA，

由作法可知，

∴点A在以OP为直径的圆上，

∴（直径所对的圆周角是直角），

∵OA是的半径，

∴直线PA与相切（切线的判定定理），

故答案为：直径所对的圆周角是直角，切线的判定定理．

【点睛】

本题考查基本作图-画圆、圆周角定理、切线的判定定理，熟知复杂作图是在基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质，因此熟练掌握基本图形的性质和切线的判定是解答的关键．

2、（1），，；（2）

【分析】

（1）由是⊙O的直径，得到∠ODB．再由为⊙O的切线，得到，即可推出∠ODA=∠BDE，由角平分线的定义可得，由，得到，即可证明；

（2）在直角△ODE中利用勾股定理求解即可．

【详解】

解：（1）如图②，连接，

是⊙O的直径，

，

∠ODB．（1）

为⊙O的切线，

，

，（2）

由（1）（2）得，∠ODA=∠BDE．

平分，

∴．

，

∠ODA，

．

故答案为：① ，② ，③ ；

（2）为的切线，

．

，

，

，

．

在中，

．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握切线的性质．

3、见解析

【分析】

由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．

【详解】

证明：根据题意作图如下：

∵BD是圆周角ABC的角平分线，

∴∠ABD=∠CBD，

∴，

∴AD=CD．

【点睛】

本题考查了角，弧，弦之间的关系，熟练掌握三者的关系定理是解题的关键．

4、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或或；（4）．

【分析】

（1）根据幸运线定义即可求解；

（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；

（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；

（4）利用时针1分钟走，分针1分钟走，可解答问题．

【详解】

解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；

故答案为：是；

（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，

由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，

②设∠AOC=x，则∠BOC=x，

由题意得，x+x=48°，解得x=24°，

③设∠AOC=x，则∠BOC=x，

由题意得，x+x=48°，解得x=32°，

故答案为：16°或24°或32°；

（3）OB是射线OM与ON的幸运线，

则∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=2；

∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；

∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；

故t的值是2或或；

（4）时针1分钟走，分针1分钟走，

设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，

则有0.5x+3×30=6x，解得：x=．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．

5、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【点睛】

此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．