初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试习题

这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试习题，共31页。试卷主要包含了如图，是的直径，，将一把直尺等内容，欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆章节测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、计算半径为1，圆心角为的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
3、如图图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，是的直径，、是上的两点，若，则（ ）

A．15° B．20° C．25° D．30°
5、如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为（ ）

A． B． C． D．
6、将一把直尺、一个含60°角的直角三角板和一个光盘按如图所示摆放，直角三角板的直角边AD与直尺的一边重合，光盘与直尺相切于点B，与直角三角板相切于点C，且，则光盘的直径是（ ）

A．6 B． C．3 D．
7、扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，那么扇形的面积（ ）
A．不变 B．面积扩大为原来的3倍
C．面积扩大为原来的9倍 D．面积缩小为原来的
8、如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）

A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
9、平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10、下列四个图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，以OA1为直角边向外作Rt△OA1A2，使∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，按此方法进行下去，得到 Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，若点A0的坐标是（1，0），则点A2021的横坐标是___________．

2、已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 ___度．
3、在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分的面积为_____．

4、如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的半圆O上有一动点B，点，为等腰直角三角形，A为直角顶点，且C在第一象限，则线段OC长度的最大值为______．

5、如图，在⊙O中，∠BOC=80°，则∠A=___________°．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、新定义：如图①，已知，在内部画射线OC，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线OC为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于0°而小于180°的角．）

（阅读理解）（1）角的平分线______这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
（初步应用）（2）如图①，，射线OC为的“幸运线”，则的度数为______；（直接写出答案）
（解决问题）
（3）如图②，已知，射线OM从OA出发，以每秒10°的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线ON从OB出发，以每秒15°的速度绕O点顺时针旋转，设运动的时间为t秒．若OM、ON、OB三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求运动的时间t的值．
（实际运用）
（4）周末，小丽帮妈妈到附近的“中通快递”网点取包裹，出家门时小丽看了看时钟，恰好是下午3点整，取好包裹回到家时，小丽再看了看时钟，还没有到下午3点半，但此时分针与时针恰好重合．问小丽帮妈妈取包裹用了多少分钟？
2、如图，为的直径，为的切线，弦，直线交的延长线于点，连接．

求证：（1）；
（2）．
3、如图，抛物线y＝－＋x＋2与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）如图1，点C在y轴右侧的抛物线上，且AC＝BC，求点C的坐标；
（3）如图2，将△ABO绕平面内点P顺时针旋转90°后，得到△DEF（点A，B，O的对应点分别是点D，E，F），D，E两点刚好在抛物线上．
①求点F的坐标；
②直接写出点P的坐标．

4、如图1，在中，，，将边绕着点A逆时针旋转，得到线段，连接交边于点E，过点C作于点F，延长交于点G．

（1）求证：；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，当时，请直接写出的值．
5、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在BA上，连接AF．

（1）若∠BAC＝40°，求∠BAF的度数；
（2）若AC＝8，BC＝6，求AF的长．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【详解】
解：矩形，菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
等边三角形、等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
共2个既是轴对称图形又是中心对称图形．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2、B
【分析】
直接根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】

故选：B．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键．
3、C
【分析】
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心求解．
【详解】
解：A、是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，故B选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、是中心对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
4、C
【分析】
根据圆周角定理得到∠BDC的度数，再根据直径所对圆周角是直角，即可得到结论．
【详解】
解：∵∠BOC=130°，
∴∠BDC=∠BOC=65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC=90°-65°=25°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5、D
【分析】
由平角的性质得出∠BCD=116°，再由内接四边形对角互补得出∠A=64°，再由圆周角定理即可求得∠BOD=2∠A=128°．
【详解】
∵
∴
∵四边形内接于
∴
又∵
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角；在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
6、D
【分析】
如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，由切线的性质可知∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，即可证明Rt△OCA≌Rt△OBA得到∠OAC=∠OAB，则，∠AOB=30°，推出OA=2AB=6，利用勾股定理求出，即可得到圆O的直径为．
【详解】
解：如图所示，设圆的圆心为O，连接OC，OB，
∵AC，AB都是圆O的切线，
∴∠OCA=∠OBA=90°，OC=OB，
又∵OA=OA，
∴Rt△OCA≌Rt△OBA（HL），
∴∠OAC=∠OAB，
∵∠DAC=60°，
∴，
∴∠AOB=30°，
∴OA=2AB=6，
∴，
∴圆O的直径为，
故选D．

【点睛】
本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键．
7、A
【分析】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，则变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，利用扇形的面积公式即可计算得出它们的面积，从而进行比较即可得答案．
【详解】
设原来扇形的半径为r，圆心角为n，
∴原来扇形的面积为，
∵扇形的半径扩大为原来的3倍，圆心角缩小为原来的，
∴变化后的扇形的半径为3r，圆心角为，
∴变化后的扇形的面积为，
∴扇形的面积不变．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积，熟练掌握并灵活运用扇形面积公式是解题关键．
8、B
【分析】
根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】
解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．

故选：B．
【点睛】
本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
9、B
【分析】
根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】
解：平面直角坐标系中点关于原点对称的点的坐标是
故选B
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的特征，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键．
10、D
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
二、填空题
1、22020
【分析】
根据，，点的坐标是，得，点 的横坐标是，点 的横坐标是-，同理可得点 的横坐标是，点 的横坐标是，点 的横坐标是，点 的横坐标是，点 的横坐标是，依次进行下去，可得点的横坐标，进而求得的横坐标．
【详解】
解：∵∠OA0A1＝90°，∠A1OA0＝60°，点A0的坐标是（1，0），
∴OA0＝1，
∴点A1 的横坐标是 1＝20，
∴OA1＝2OA0＝2，
∵∠A2A1O＝90°，∠A2OA1＝60°，
∴OA2＝2OA1＝4，
∴点A2 的横坐标是- OA2＝-2＝-21，
依次进行下去，Rt△OA2A3，Rt△OA3A4…，
同理可得：
点A3 的横坐标是﹣2OA2＝﹣8＝﹣23，
点A4 的横坐标是﹣8＝﹣23，
点A5 的横坐标是 OA5＝×2OA4＝2OA3＝4OA2＝16＝24，
点A6 的横坐标是2OA5＝2×2OA4＝23OA3＝64＝26，
点A7 的横坐标是64＝26，
…
发现规律，6次一循环，
即

，
，

2021÷6=336……5
则点A2021的横坐标与的坐标规律一致是 22020．
故答案为：22020．
【点睛】
本题考查了规律型——点的坐标，解决本题的关键是理解动点的运动过程，总结规律，发现规律，点A3n在轴上，且坐标为．
2、140
【分析】
作的外接圆，根据三角形内心的性质可得：，，再由三角形内角和定理得出：，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．
【详解】
解：如图所示，作的外接圆，

∵点I是的内心，
∴BI，CI分别平分和，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点O是的外心，
∴，
故答案为：140．
【点睛】
题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．
3、
【分析】
利用勾股定理求出AC及AB的长，根据阴影面积等于求出答案．
【详解】
解：由旋转得，，=∠BAC＝30°，
∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AC=2BC=2，AB=，，
∴阴影部分的面积=

=,
故答案为：．
．
【点睛】
此题考查了求不规则图形的面积，正确掌握勾股定理、30度角直角三角形的性质、扇形面积计算公式及分析出阴影面积的构成特点是解题的关键．
4、1+
【分析】
过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，根据点A（3，0）可求AD=x-3，根据为等腰直角三角形，得出AB=AC，∠BAC=90°，再证△BAE≌△ACD（AAS），得出BE=AD=x-3,EA=DC，在Rt△EBO中，根据勾股定理，
得出CD=AE=，根据勾股定理CO=，当OD=CD时OC最大，OC=此时解方程即可．
【详解】
解：过点C作CD⊥x轴于D，过B作BE⊥x轴于E，连结OB，设OD=x，
∵点A（3，0）
∴AD=x-3，
∵为等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=180°-∠BAC=180°-90°=90°，
∵CD⊥x轴， BE⊥x轴，
∴∠BEA=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ACD=∠BAE，
在△BAE和△ACD中，
，
∴△BAE≌△ACD（AAS），
∴BE=AD=x-3,EA=DC，
在Rt△EBO中，OB=1，BE= x-3，
根据勾股定理，
∴EA=OE+OA=，
∴CD=AE=，
∴CO=，
当OD=CD时OC最大，OC=，此时，
∴，
∴，
∴，
∴，（舍去），
∴线段OC长度的最大值为．

故答案为：1+．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，勾股定理是解题关键．
5、40°度
【分析】
直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】
解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，解题的关键是熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
三、解答题
1、（1）是；（2）16°或24°或32°；（3）2或或；（4）．
【分析】
（1）根据幸运线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据幸运线定义得到方程求解即可；
（3）根据幸运线定义得到方程求解即可；
（4）利用时针1分钟走，分针1分钟走，可解答问题．
【详解】
解：（1）一个角的平分线是这个角的“幸运线”；
故答案为：是；
（2）①设∠AOC=x，则∠BOC=2x，
由题意得，x+2x=48°，解得x=16°，
②设∠AOC=x，则∠BOC=x，
由题意得，x+x=48°，解得x=24°，
③设∠AOC=x，则∠BOC=x，
由题意得，x+x=48°，解得x=32°，
故答案为：16°或24°或32°；
（3）OB是射线OM与ON的幸运线，
则∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=2；
∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；
∠BOM=∠MON，即50-10t=（50-10t+15t），解得t=；
故t的值是2或或；
（4）时针1分钟走，分针1分钟走，
设小丽帮妈妈取包裹用了x分钟，
则有0.5x+3×30=6x，解得：x=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，幸运线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“幸运线”的定义是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）连接，根据，可证．从而可得，，即可证明，故；
（2）证明，可得，即可证明．
【详解】
证明：（1）连接，如图：

∵为的直径，为的切线，
∴，
∵，
∴，．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（2）由（1）知：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查圆中的相似三角形判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，解题的关键是证明，从而得到．
3、（1）A（-1，0），B（0，2）；（2）点C的坐标（，）；（3）①求点F的坐标（1，2）；②点P的坐标（，）
【分析】
（1）令x=0，求得y值，得点B的坐标；令y=0，求得x的值，取较小的一个即求A点的坐标；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），根据AC＝BC，得到，令t=－＋x，解方程即可；
（3）①根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，根据B，E都在抛物线上，则B，E是对称点，从而确定点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，点E（3，2），确定BE=3，根据旋转性质，得EF=BO=2，从而确定点F的坐标；
②根据BE=3，∠BPE=90°，PB=PE，确定P到BE的距离，即可写出点P的坐标．
【详解】
（1）令x=0，得y=2，
∴点B的坐标为B（0，2）；
令y=0，得－＋x＋2=0，
解得
∵点A在x轴的负半轴；
∴A点的坐标（-1，0）；
（2）设C的坐标为（x，－＋x＋2），
∵AC＝BC，A（-1，0），B（0，2），
∴，
∵A（-1，0），B（0，2），
∴，
即，
设t=－＋x，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理，得，
解得
∵点C在y轴右侧的抛物线上，
∴，
此时y=，
∴点C的坐标（，）；
（3）①如图，根据题意，得∠BPE=90°，PB=PE即点P在线段BE的垂直平分线上，

∵B，E都在抛物线上，
∴B，E是对称点，
∴点P在抛物线的对称轴上，点F在BE上，且BE∥x轴，
∵抛物线的对称轴为直线x=，B（0，2），
∴点E（3，2），BE=3，
∵EF=BO=2，
∴BF=1，
∴点F的坐标为（1，2）；
②如图，设抛物线的对称轴与BE交于点M，交x轴与点N，
∵BE=3，
∴BM=，
∵∠BPE=90°，PB=PE，
∴PM=BM=，
∴PM=BM=，
∴PN=2-=，
∴点P的坐标为（，）．
【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，旋转的性质，两点间的距离公式，一元二次方程的解法，换元法解方程，熟练掌握抛物线的对称性，灵活理解旋转的意义，熟练解一元二次方程是解题的关键．
4、
（1）见解析
（2）见解析
（3）
【分析】
（1）由旋转的性质得AB=AD，所以，再根据三角形内角和定理可证明即可得到结论；
（2）连接，根据ASA证明≌得，是等边三角形，从而得出，再运用AAS证明≌得，由勾股定理可得出，从而 可得结论；
（3）证明平分，作于点，根据勾股定理得，代入求值即可．
（1）
∵边绕着点逆时针旋转得到线段，

∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴
又，且∠AEB=∠CEF
∴．
∴．
（2）
连接．

在和中，
∵，
∴≌（ASA）．
∴．
∴，即．
在和中，
∵，
∴≌（AAS）．
∴．
∵，
∴在中，，
即．
∵，，
∴是等边三角形．
∴．
（3）
．
∵，，
∴
∵．
∵，
∴．
∴平分．
作于点，

∴．
∴在中，．
∵≌，≌，
∴，，．
∴在中，，
∵，
∴．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．
5、
（1）65°
（2）
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°，根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到BE=BC=6，EF=AC=8，根据勾股定理即可得到结论．
【小题1】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=50°，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴∠EBF=∠ABC=50°，AB=BF，
∴∠BAF=∠BFA=（180°-50°）=65°；
【小题2】
∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10，
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，
∴BE=BC=6，EF=AC=8，
∴AE=AB-BE=10-6=4，
∴AF=．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．