高考数学(文数)二轮专题突破训练07《数形结合思想》 (教师版)

思想方法训练3　数形结合思想

一、能力突破训练

1.已知i为虚数单位,如果图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,那么复数对应的点位于复平面内的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

2.方程sinx的实数解的个数是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.以上均不对

3.若x∈{x|log2x=2-x},则(　　)

A.x2>x>1 B.x2>1>x

C.1>x2>x D.x>1>x2

4.若函数f(x)=(a-x)|x-3a|(a>0)在区间(-∞,b]上取得最小值3-4a时所对应的x的值恰有两个,则实数b的值等于(　　)

A.2± B.2-或6-3

C.6±3 D.2+或6+3

5.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是(　　)

A.(-6,0] B.(-6,6) 

C.(4,+∞) D.(-4,4)

6.(2018浙江,9)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)

A.-1 B.+1 

C.2 D.2-

7.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为　　　　　. 

8.函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为　　　　　. 

9.若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=　　　　　. 

10.已知函数f(x)为偶函数且f(x)=f(x-4),又f(x)=函数g(x)=+a,若F(x)=f(x)-g(x)恰好有4个不同的零点,则a的取值范围是　　　　　. 

11.电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.

(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?

二、思维提升训练

12.已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R,若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是(　　)

A. B. C. D.

13.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(　　)

A. B.        C. D.

14.已知函数f(x)=则方程f(x)=2x在区间[0,2 018]上的根的个数是　　　　. 

15.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),求abc的取值范围.

16.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行.

(1)求b的值;

(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.

思想方法训练3　数形结合思想

一、能力突破训练

1.D　解析 由题图知,z=2+i,i,则对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.

2.B　解析 在同一坐标系内作出y=sin与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.

3.A　解析 设y1=log2x,y2=2-x,在同一坐标系中作出其图象,如图,由图知,交点的横坐标x>1,则有x2>x>1.

4.D　解析 结合函数f(x)的图象(图略)可知,3-4a=-a2,即a=1或a=3.

当a=1时,-b2+4b-3=-1(b>3),解得b=2+;当a=3时,-b2+12b-27=-9(b>9),解得b=6+3,故选D.

5.B　

解析 如图,由题知,若f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有

解得-6<t<6.

6.A　解析 ∵e为单位向量,b2-4e·b+3=0,

∴b2-4e·b+4e2=1.

∴(b-2e)2=1.

以e的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,如图.

=2e,=b,=a,α=.

由(b-2e)2=1,可知点B在以点E为圆心,1为半径的圆上.

由|a-b|=||=||,

可知|a-b|的最小值即为||的最小值,即为圆上的点B到直线OA的距离.

又直线OA为y=x,点E为(2,0),

∴点E到直线OA的距离d=.

∴||的最小值为-1,即|a-b|的最小值为-1.

7.-　解析

在同一坐标系画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-.

8.2　解析 f(x)=2sin xsin-x2=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2.

如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin 2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有2个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有2个交点,即函数的零点个数为2.

9.　

解析 令y1=,y2=k(x+2)-,在同一个坐标系中作出其图象,如图.

∵≤k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,

结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),

∴k=.

10.　解析 由f(x)=f(x-4),知f(x)是周期为4的函数;由f(x)是偶函数,得f(-x)=f(x+4),得图象的对称轴为直线x=2.若F(x)恰有4个零点,则有解得a∈.

11.解 (1)由已知,x,y满足的数学关系式为

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

图1

(2)设总收视人次为z万,

则目标函数为z=60x+25y.

考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.

为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.

又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.

解方程组得点M的坐标为(6,3).

所以,电视台每周播出甲连续剧6次,乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.

图2

二、思维提升训练

12.D　解析 由f(x)=得f(x)=

f(2-x)=

所以f(x)+f(2-x)=

因为函数y=f(x)-g(x)=f(x)+f(2-x)-b恰有4个零点,

所以函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.

画出函数y=f(x)+f(2-x)的图象,如图.

由图可知,当b∈时,函数y=b与y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.故选D.

13.D　解析 设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),

则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).

因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),

当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;

当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.

所以g(x)的最小值为g.

而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.

如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.

显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.

函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D.

取点C.

由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足kPC≤a<kPA.

而kPC=,kPA==1,

所以≤a<1.故选D.

14.2 019　

解析 画出y=f(x)与y=2x的图象如图所示,

由图象可得,方程f(x)=2x在[0,2 018]内的根分别是x=0,1,2,3,…,2 018,共2 019个.

15.解 因为-lg a=lg b⇒ab=1,所以abc=c,也就是说只需要求出c的取值范围即可,如下图所示,绘制出图象,平移一条平行于x轴的直线,可以发现c的取值范围是10<c<12,因此10<abc<12.故abc的取值范围是(10,12).

16.解 函数g(x)=bx2-ln x的定义域为(0,+∞).

(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0,g'(x)=2bx-⇒g'(1)=2b-1,依题意2b-1=0,得b=.

(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x->0.

所以当x=1时,g(x)取得极小值g (1)=.

当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.

当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,x∈(-1,0)时,f'(x)>0,

所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,

又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.

从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.

当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,x∈(-1,0)时,f'(x)<0,

所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.

又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.

从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,

所以实数a的取值范围是.

图①

图②