高考数学(文数)二轮专题突破训练08《转化与化归思想》 (教师版)

思想方法训练4　转化与化归思想

一、能力突破训练

1.已知M={(x,y)|y=x+a},N={(x,y)|x2+y2=2},且M∩N=⌀,则实数a的取值范围是(　　)

A.a>2 B.a<-2

C.a>2或a<-2 D.-2<a<2

2.若直线y=x+b被圆x2+y2=1所截得的弦长不小于1,则b的取值范围是(　　)

A.[-1,1] B.

C. D.

3.设P为曲线C: y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为(　　)

A. B.[-1,0] 

C.[0,1] D.

4.设a=(sin 17°+cos 17°),b=2cos213°-1,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.c<a<b B.a<c<b C.b<a<c D.c<b<a

5.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为(　　)

A.(1,+∞) B.(-∞,-1) 

C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

6.已知函数f(x)=ax3+bsin x+4(a,b∈R),f(lg(log210))=5,则f(lg(lg 2))=(　　)

A.-5 B.-1 C.3 D.4

7.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是　　　　　. 

8.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

9.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)内总不为单调函数,求实数m的取值范围.

10.已知函数f(x)= x3-2ax2-3x.

(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;

(2)已知对一切x∈(0,+∞),af'(x)+4a2x≥ln x-3a-1恒成立,求实数a的取值范围.

二、思维提升训练

11.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P(x,y)为抛物线上的动点,又点A(-1,0),则的最小值是(　　)

A. B. C. D.

12.设F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使()·=0,O为坐标原点,且||=|,则该双曲线的离心率为(　　)

A.+1 B. C. D.

13.若函数f(x)=x2-ax+2在区间[0,1]上至少有一个零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 

14.已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是　　　　　. 

15.已知函数f(x)=eln x,g(x)= f(x)-(x+1)(e=2.718……).

(1)求函数g(x)的极大值;

(2)求证:1++…+>ln(n+1)(n∈N*).

思想方法训练4　转化与化归思想

一、能力突破训练

1.C　解析 M∩N=⌀等价于方程组无解.

把y=x+a代入到方程x2+y2=2中,消去y,

得关于x的一元二次方程2x2+2ax+a2-2=0, ①

由题易知一元二次方程①无实根,即Δ=(2a)2-4×2×(a2-2)<0,

由此解得a>2或a<-2.

2.D　解析 由弦长不小于1可知圆心到直线的距离不大于,即,解得-≤b≤.

3.A　解析 设P(x0,y0),倾斜角为α,0≤tan α≤1,y=f(x)=x2+2x+3,f'(x)=2x+2,

0≤2x0+2≤1,-1≤x0≤-,故选A.

4.A　解析 ∵a=sin(17°+45°)=sin 62°,

b=cos 26°=sin 64°,c=sin 60°,∴c<a<b.

5.A　解析 设F(x)=f(x)-2x-1,则F'(x)=f'(x)-2<0,得F(x)在R上是减函数.

又F(1)=f(1)-2-1=0,即当x>1时,F(x)<0,不等式f(x)<2x+1的解集为(1,+∞),故选A.

6.C　解析 因为lg(log210)+lg(lg 2)=lg(log210×lg 2)=lg=lg 1=0,所以lg(lg 2)=-lg(log210).

设lg(log210)=t,则lg(lg 2)=-t.由条件可知f(t)=5,即f(t)=at3+bsin t+4=5,所以at3+bsin t=1,所以f(-t)=-at3-bsin t+4=-1+4=3.

7.(-13,13)　解析 若圆上有四个点到直线的距离为1,则需圆心(0,0)到直线的距离d满足0≤d<1.

∵d=,

∴0≤|c|<13,即c∈(-13,13).

8.(-∞,-5]　解析 当x≥0时,f(x)=x2,此时函数f(x)单调递增.

∵f(x)是定义在R上的奇函数,

∴函数f(x)在R上单调递增.若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,

则x+a≥3x+1恒成立,即a≥2x+1恒成立.

∵x∈[a,a+2],∴(2x+1)max=2(a+2)+1=2a+5,

即a≥2a+5,解得a≤-5,∴实数a的取值范围是(-∞,-5].

9.解 g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)内总为单调函数,则①g'(x)≥0在区间(t,3)内恒成立或②g'(x)≤0在区间(t,3)内恒成立.

由①得3x2+(m+4)x-2≥0,

即m+4≥-3x在x∈(t,3)内恒成立,

∴m+4≥-3t恒成立,

则m+4≥-1,即m≥-5;

由②得m+4≤-3x在x∈(t,3)内恒成立,

则m+4≤-9,即m≤-.

故函数g(x)在区间(t,3)内总不为单调函数的m的取值范围为-<m<-5.

10.解 (1)由题意知当a=0时,f(x)= x3-3x,

所以f'(x)=2x2-3.

又f(3)=9,f'(3)=15,所以曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程为15x-y-36=0.

(2)f'(x)=2x2-4ax-3,则由题意得2ax2+1≥ln x,即a≥在x∈(0,+∞)时恒成立.

设g(x)=,则g'(x)=,

当0<x<时,g'(x)>0;当x>时,g'(x)<0,

所以当x=时,g(x)取得最大值,且g(x)max=,

故实数a的取值范围为.

二、思维提升训练

11.B　解析

显然点A为准线与x轴的交点,如图,过点P作PB垂直准线于点B,

则|PB|=|PF|.∴=sin∠PAB.

设过A的直线AC与抛物线切于点C,则0<∠BAC≤∠PAB≤,∴sin∠BAC≤sin∠PAB.

设切点为(x0,y0),则=4x0,又=y',解得∴C(1,2),|AC|=2.

∴sin∠BAC=,∴的最小值为.故应选B.

12.A　解析

如图,取F2P的中点M,则=2.

又由已知得2=0,

∴.

又OM为△F2F1P的中位线,

∴.

在△PF1F2中,2a=||-||=(-1)||,

由勾股定理,得2c=2||.∴e=+1.

13.[3,+∞)　解析 由题意,知关于x的方程x2-ax+2=0在[0,1]上有实数解.

又易知x=0不是方程x2-ax+2=0的解,所以根据0<x≤1可将方程x2-ax+2=0变形为a==x+.从而问题转化为求函数g(x)=x+(0<x≤1)的值域.

易知函数g(x)在区间(0,1]上单调递减,

所以g(x)∈[3,+∞).

故所求实数a的取值范围是a≥3.

14.(-4,0)　解析 将问题转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0的解集的子集求解.

∵g(x)=2x-2<0,∴x<1.又∀x∈R,f(x)<0或g(x)<0,∴[1,+∞)是f(x)<0的解集的子集.

又由f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0知m不可能大于等于0,因此m<0.

当m<0时,f(x)<0,即(x-2m)(x+m+3)>0,

若2m=-m-3,即m=-1,此时f(x)<0的解集为{x|x≠-2},满足题意;

若2m>-m-3,即-1<m<0,此时f(x)<0的解集为{x|x>2m或x<-m-3},

依题意2m<1,即-1<m<0;

若2m<-m-3,即m<-1,此时f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>-m-3},

依题意-m-3<1,m>-4,即-4<m<-1.

综上可知,满足条件的m的取值范围是-4<m<0.

15.(1)解 ∵g(x)= f(x)-(x+1)=ln x-(x+1),

∴g'(x)=-1(x>0).

令g'(x)>0,解得0<x<1;令g'(x)<0,解得x>1.

∴函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴g(x)极大值=g(1)=-2.

(2)证明 由(1)知x=1是函数g(x)的极大值点,也是最大值点,∴g(x)≤g(1)=-2,即ln x-(x+1)≤-2⇒ln x≤x-1(当且仅当x=1时等号成立).

令t=x-1,得t≥ln(t+1),取t=(n∈N*),

则>ln=ln,

∴1>ln 2,>ln>ln,…,>ln,

叠加得1++…+>ln·…·=ln(n+1).