高考数学(文数)二轮专题突破训练10《三角变换与解三角形》 (教师版)

专题能力训练10　三角变换与解三角形

一、能力突破训练

1.若sin α=,则cos 2α=(　　)

A. B. C.- D.-

2.已知=-,则sin α+cos α等于(　　)

A.- B. C. D.-

3.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=(　　)

A. B. C. D.

4.在△ABC中,cos ,BC=1,AC=5,则AB=(　　)

A.4 B. C. D.2

5.若α∈,3cos 2α=sin,则sin 2α的值为 (　　)

A. B.- C. D.-

6.若tan,则tan α=　　　　　. 

7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=.

8.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.

(1)求B;

(2)若cos A=,求sin C的值.

9.已知函数f(x)=sin2x-cos2x-2sin x·cos x(x∈R).

(1)求f的值;

(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.

10.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.

(1)证明:B-A=;

(2)求sin A+sin C的取值范围.

11.设f(x)=sin xcos x-cos2.

(1)求f(x)的单调区间;

(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面积的最大值.

二、思维提升训练

12.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于(　　)

A. B.- C. D.-

13.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=(　　)

A. B. C. D.

14.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2α=,则|a-b|=(　　)

A. B. C. D.1

15.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　　,cos∠BDC=　　　　　. 

16.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　. 

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,

b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　　. 

18.已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].

(1)若a∥b,求x的值;

(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

专题能力训练10　三角变换与解三角形

一、能力突破训练

1.B　解析 cos 2α=1-2sin2α=1-2×.

2.D　解析 =-=2coscos α+sin α=-,

∴sin α+cos α=-,故选D.

3.C　解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,

又因为b=c,所以a2=b2+b2-2b×bcos A=2b2(1-cos A).

由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,

因为A∈(0,π),所以A=.

4.A　解析 ∵cos C=2cos2-1=-,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C=1+25+2×1×5×=32.

∴AB=4.

5.D　解析 ∵3cos 2α=sin,

∴3cos2α-3sin2α=(sin α-cos α),

又α∈,∴sin α-cos α≠0,

∴3(sin α+cos α)=-.平方求得sin 2α=-.

6.　解析 方法一:tan α=tan.

方法二:因为tan,所以tan α=,答案为.

7.　解析 由题意和正弦定理,可得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,

即cos B=.又因为B∈(0,π),所以B=.

8.解 (1)在△ABC中,由,可得asin B=bsin A,

又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=b·sin A=asin B,所以cos B=,得B=.

(2)由cos A=,可得sin A=,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinsin A+cos A=.

9.解 (1)由sin,cos=-,

f-2,

得f=2.

(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin.

所以f(x)的最小正周期是π.

由正弦函数的性质得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以,f(x)的单调递增区间是(k∈Z).

10.(1)证明 由a=btan A及正弦定理,得,所以sin B=cos A,即sin B=sin.

又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.

(2)解 由(1)知,C=π-(A+B)=π--2A>0,所以A∈,于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2.

因为0<A<,所以0<sin A<,

因此<-2.

由此可知sin A+sin C的取值范围是.

11.解 (1)由题意知f(x)==sin 2x-.

由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;

由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z);

单调递减区间是(k∈Z).

(2)由f=sin A-=0,得sin A=,

由题意知A为锐角,所以cos A=.

由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,

可得1+bc=b2+c2≥2bc,

即bc≤2+,且当b=c时等号成立.

因此bcsin A≤.

所以△ABC面积的最大值为.

二、思维提升训练

12.C　解析 ∵cos,0<α<,

∴sin.

又cos,-<β<0,

∴sin,

∴cos=cos=coscos+sinsin

=.

13.B　解析 由题意结合三角形的内角和,可得sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0,整理得sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,

则sin C(sin A+cos A)=0,因为sin C>0,所以sin A+cos A=0,即tan A=-1,因为A∈(0,π),所以A=.由正弦定理,得,即sin C=,所以C=,故选B.

14.B　解析 因为cos 2α=2cos2α-1=,所以cos2α=,sin2α=.所以tan2α=,tan α=±.

由于a,b的正负性相同,不妨设tan α>0,即tan α=,由三角函数定义得a=,b=,故|a-b|=.

15.　解析

如图,取BC中点E,DC中点F,

由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.

在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.

∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.

∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=.

在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.

综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.

16.　解析 因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,

所以sin A=,sin C=,

sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)

=sin Acos C+cos Asin C=.

又因为,所以b=.

17.　解析 由正弦定理及条件,得bc+cb=4absin C,所以=2a,设△ABC的外接圆半径为R,则=2R,所以a=R.

因为b2+c2-a2=8>0,所以cos A>0,0<A<,因为=2R,所以sin A=,A=30°,所以cos A=,所以bc=,所以S△ABC=bcsin A=.

18.解 (1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,

所以-cos x=3sin x.

若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.

又x∈[0,π],所以x=.

(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)

=3cos x-sin x=2cos.

因为x∈[0,π],所以x+,

从而-1≤cos.

于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3;

当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.