青海省海东市第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题（选修1-2、4-4）（含答案）

海东市第二中学高二第二学期期中考试试卷

文科数学

  第Ⅰ卷（80分）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的）.

1.已知集合，则（   ）

A.        B.        C.       D.

2.（   ）

A.  B.  C.  D.

3. 命题，则为（    ）

A.   B.  C.   D.

4.在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.在极坐标系中，表示的曲线是（    ）

A. 双曲线        B. 抛物线        C. 椭圆        D. 圆

6.设为实数，若复数，则(   )

A. B. C. D.

7.将点的直角坐标化为极坐标是(    )

A． B．     C．    D．

8.过点，且倾斜角的直线的参数方程为(    )

9.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:

根据上表可得回归方程中的为,据此模型预报广告费用为万元时销售额为（   ）

A. 万元  B. 万元  C. 万元  D. 万元

10.在极坐标系中，点到直线的距离是（   ）

A． B．3 C．1 D．2

11.执行右面的程序框图，若输入的，则输出的k为（   ）

A.2 B.3 C.4 D.5

12.如图是谢尔宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数依次构成数列的前

4项，则的通项公式可以是(    )
 

 A.        B.        C.        D.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）.

13.复数的实部为a，虚部为b，则_________．

14.若复数为纯虚数，则________.

15.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是         .

16.在极坐标系中,曲线上的点到直线的距离的最大值是________.

第Ⅱ卷（70分）

三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）.

17.计算（本题共4小题，每小题3分，共12分）.

18.（本题10分）设,复数

（1）为何值时, 为纯虚数;

（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.

19.（本题12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原

点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与圆C交于点A，B两点，求．

20.（本题12分）假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用 (万元),有如下的统计资料:

若由资料可知y对x呈线性相关关系,试求:

(1)线性回归方程;

(2)估计使用年限为10年时的维修费用.

 (注: ,)

21.（本题12分）在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,在极坐标系与直角

坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴,圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程

（2）设圆与直线交于点,若点的坐标为,求的值

22.（本题12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果

如下表所示:

（1）根据表中数据,问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取

3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.

附：

海东市第二中学高二第二学期期中考试试卷

（文科数学）

1.已知集合，则（   ）

A.        B.        C.       D.

【答案】C

2.（   ）

A.  B.  C.  D.

解析： ,【答案】D

3. 命题，则为（    ）

A.         B.  

C.        D.

【答案】D

4.在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

5.在极坐标系中，表示的曲线是（    ）

A. 双曲线    B. 抛物线 C. 椭圆 D. 圆

【详解】由，可得，又因为，

化为普通方程为，表示抛物线．【答案】B.

6.设为实数，若复数，则(   )

A. B. C. D.

解析：由，得，解得，【答案】A.

7.将点的直角坐标化为极坐标是(    )

  A． B．     C．    D．

【答案】B

8.过点，且倾斜角的直线的参数方程为(    )

A.   B.

C.   D.

【答案】C

9.某产品的广告费用与销售额的统计数据如下表:

根据上表可得回归方程中的为,据此模型预报广告费用为万元时销售额为(   )

A. 万元  B. 万元  C. 万元  D. 万元

解析：由表可计算，，
∵点在回归直线上，且为，所以，解得，
故回归方程为，令，得。【答案】B

10.在极坐标系中，点到直线的距离是(   )

A． B．3 C．1 D．2

解析：在极坐标系中，点化为直角坐标为，直线化为直角坐标方程为

，则到的距离，即点到直线的距

离为1，【答案】C．

11.执行右面的程序框图，若输入的，则输出的k为（   ）

A.2 B.3 C.4 D.5

  【答案】

12.如图是谢尔宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数依次构成数列的前

4项，则的通项公式可以是(   )

 A. B. C. D.

  【答案】A

解析：由题意得因此的通项公式可以是.

二、填空题

13.复数的实部为a，虚部为b，则_________．

【答案】1

【详解】因为，所以，故．

14.若复数为纯虚数，则________.

【答案】

15.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是           .

【答案】1

解析：圆表示圆心为，半径的圆.
∴圆心到直线的距离.

16.在极坐标系中,曲线上的点到直线的距离的最大值是________.

【答案】7

三、解答题

17.计算

  【答案】              【答案】    【答案】       【答案】

18.设,复数

（1）为何值时, 为纯虚数;

（2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围.

【答案】（1）由解得：或;

当时，是纯虚数，当时，为实数；所以

（2）由且解得：

19. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；

（2）若直线l与圆C交于点A，B两点，求．

【答案】（1）；；（2）.

【答案】解：（1）∵曲线C的参数方程为（为参数），

∴曲线C的普通方程为．

∵，

∴曲线C的极坐标方程为．

∵直线l的极坐标方程为，即，

∴直线l的直角坐标方程为．

（2）由（1）知曲线C是以为圆心，半径为4圆，

则圆心到直线l的距离，故．

20.假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用 (万元),有如下的统计资料:

若由资料可知y对x呈线性相关关系,试求:

(1)线性回归方程;

(2)估计使用年限为10年时的维修费用.

 (注: ,)

答案：

（1）,

(2)将代入得

即使用年限为10年时的维修费用的估计值为12.38万元.

21.在直角坐标系中,直线的参数方程为为参数,在极坐标系与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴,圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程

（2）设圆与直线交于点,若点的坐标为,求的值

【答案】（1）∵圆的方程为,即,
∴圆的直角坐标方程为,即.
（2）将直线的参数方程为为参数

代入,得: ,

即,

∵,
∴设是上述方程的根,则,
∴点的坐标为,

22.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:

（1）根据表中数据,问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;

（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.

附：

【答案】（1）将列联表中的数据代入公式计算,得.

由于,

所以有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异".

（2）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间

其中表示喜欢甜品的学生,表示不喜欢甜品的学生,.

由10事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.

用A表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则

,

事件A由7个基本事件组成,因而.