人教版高中数学高考一轮复习训练--　数系的扩充与复数的引入

考点规范练33　数系的扩充与复数的引入

一、基础巩固

1.(2020全国Ⅱ,文2)(1-i)4=(　　)

A.-4 B.4 C.-4i D.4i

2.若a为实数,且=3+i,则a=(　　)

A.-4 B.-3 

C.3 D.4

3.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　)

A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1

C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1

4.若复数z=1+i,为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)

A.=-1-i B.=-1+i

C.||=2 D.||=

5.已知复数z满足iz=i+z,则z=(　　)

A.-i B.-i

C.i D.i

6.设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则=(　　)

A.-1-i B.1+i 

C.1-i D.-1+i

7.若复数z=(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为(　　)

A.1 B.i 

C.2 D.2i

8.已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数所对应的点在复平面内的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

9.(多选)已知复数z=-i(其中i为虚数单位),则下列结论正确的是(　　)

A.z2=0 B.z2=

C.z3=1 D.|z|=1

10.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　　,ab=　　　　　. 

11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则=　　　　　. 

二、综合应用

12.若z=1+2i,则=(　　)

A.1 B.-1 C.i D.-i

13.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是(　　)

A.点P0的坐标为(1,2)

B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称

C.复数z对应的点Z在一条直线上

D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为

14.已知复数z=是z的共轭复数,则z·=　　　　. 

15.在复平面内,复数+z对应的点的坐标为(2,-2),则z在复平面内对应的点位于第　　　　　象限. 

16.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　　. 

17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　　　　　. 

三、探究创新

18.据记载,欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率π,虚数单位i,自然数的单位1和零)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式,若复数z=的共轭复数为,则=(　　)

A.-i B.-i

C.i D.i

19.在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量(O为坐标原点),设||=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(cos θ+isin θ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),则(-1+i)10=(　　)

A.1 024-1 024i B.-1 024+1 024i

C.512-512i D.-512+512i

考点规范练33　数系的扩充与复数的引入

1.A　(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4.故选A.

2.D　由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a=4.

3.C　设z=x+yi(x,y∈R).

因为z-i=x+(y-1)i,

所以|z-i|==1,

则x2+(y-1)2=1.故选C.

4.D　=1-i,||=,故选D.

5.C　∵iz=i+z,∴(1-i)z=-i,

即z=i.故选C.

6.C　∵z1=-1+3i,z2=1+i,

===1-i.故选C.

7.A　z=

因为z是纯虚数,所以解得a=1,所以z的虚部为=1,故选A.

8.B　∵z1=2+2i,z2=1-3i,

==-i,

∴复数在复平面内所对应的点的坐标为-,位于第二象限.故选B.

9.BCD　由于复数z=-i(其中i为虚数单位),

即z2=i-=-i,故A错误;

则z2=,故B正确;

z3==1,故C正确;|z|==1,故D正确.

10.5　2　由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,

则解得则a2+b2=5,ab=2.

11.-1-2i　由题意,得z1=i,z2=2-i,

故=-1-2i.

12.C　由题意知=1-2i,则=i,故选C.

13.ACD　复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;

复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;

设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,

得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,

即,整理得,y=x,

即点Z在直线y=x上,C正确;

易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0与点Z之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为,故D正确.

14　∵z==-i,

=-i,

∴z

15.四　设z=x+yi(x,y∈R),则+x+yi=2-2i,

即+x+yi=2-2i,i=2-2i,

所以解得

即z=i,其对应点为,在第四象限.

16.2　设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).

∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.

又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,

∴a+c=,b+d=1,

∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,

∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,

∴|z1-z2|==2

17　由复数相等的充要条件可得

化简,得4-4cos2θ=λ+3sin θ,

由此可得λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4=4sin2θ-3sin θ=4,

因为sin θ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sin

故λ的取值范围为

18.A　欧拉公式eix=cos x+isin x(x∈R),则z==cos+isin=-i,根据共轭复数定义可知=-i,故选A.

19.D　(-1+i)10==210cos+sini=210=-512+512i.