人教版高中数学高考一轮复习训练--导数的概念、意义及运算

考点规范练14　导数的概念、意义及运算

一、基础巩固

1.已知函数f(x)=+1,则的值为(　　)

A.- B. C. D.0

2.(多选)下列各式正确的是(　　)

A.(x-5)'=-5x-6 B.(cos x)'=sin x

C.(sin x)'=cos x D.'=cos

3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(　　)

A.y=2x-1 B.y=x

C.y=3x-2 D.y=-2x+3

4.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线,令g(x)=xf(x),g'(x)是g(x)的导函数,则g'(3)等于(　　)

A.-1 B.0 

C.2 D.4

5.已知曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为(　　)

A.(1,3) B.(-1,3)

C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)

6.已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则(　　)

A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1

C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1

7.已知函数f(x)=-x2+2xf'(2 021)+2 021ln x,则f'(2 021)=　　　　　. 

8.(2020全国Ⅲ,文15)设函数f(x)=.若f'(1)=,则a=　　　　　. 

9.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为　　　　　. 

10.已知直线ax-by-3=0与曲线f(x)=xex在点P(1,e)处的切线互相垂直,则=　　　　　. 

11.函数f(x)=的图象在点(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于　　　　　. 

12.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. 

二、综合应用

13.若函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是(　　)

14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为(　　)

A.1 B. 

C. D.

15.(多选)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,则下列函数中具有T性质的是              (　　)

A.y=cos x B.y=ln x

C.y=ex D.y=x2

16.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)的图象在点(0,h(0))处的切线方程是　　　　　　　　　　. 

三、探究创新

17.已知直线y=kx是曲线y=ex的切线,也是曲线y=ln x+m的切线,则实数k=　　　　　,实数m=　　　　　. 

考点规范练14　导数的概念、意义及运算

1.A　=-=-f'(1)=-=-

2.AC　(x-5)'=-5x-6,A正确;(cos x)'=-sin x,B错误;(sin x)'=cos x,C正确;'=0,D错误.

3.C　令2-x=t,可得x=2-t,

代入f(2-x)=2x2-7x+6,得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,

化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,

则f'(x)=4x-1,可得f(1)=1,f'(1)=3,

故所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.

4.B　由题图可知曲线y=f(x)在点(3,f(3))处切线的斜率等于-,故f'(3)=-

∵g(x)=xf(x),∴g'(x)=f(x)+xf'(x),

∴g'(3)=f(3)+3f'(3).

又由题图可知f(3)=1,∴g'(3)=1+3=0.

5.C　∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.

设点P(x,y),则f'(x)=2,

即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).

经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.

6.D　∵y'=aex+ln x+1,∴k=y'|x=1=ae+1=2,

∴ae=1,a=e-1.

将(1,1)代入y=2x+b,得2+b=1,解得b=-1.

7.2 020　由题意,得f'(x)=-x+2f'(2 021)+,

因此有f'(2 021)=-2 021+2f'(2 021)+,

所以f'(2 021)=2 020.

8.1　对函数f(x)=求导得f'(x)=,由题意得f'(1)=,解得a=1.

9.4　由导数的几何意义及条件,得g'(1)=2.

∵函数f(x)=g(x)+x2,∴f'(x)=g'(x)+2x,

∴f'(1)=g'(1)+2=4,

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为4.

10.-　对函数f(x)=xex求导可得f'(x)=x'ex+x(ex)'=ex(x+1),则曲线f(x)=xex在点P(1,e)处的切线的斜率为k=f'(1)=e1×(1+1)=2e.

又直线ax-by-3=0与切线垂直,则有=-

11　∵f'(x)=

=,

∴f'(-1)=-4,∴切线方程为y=-4x-2.

∴切线在x轴、y轴上的截距分别为-,-2,

∴所求三角形的面积为

12.[2,+∞)　∵f(x)=x2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+

∵f(x)存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,

∴x+-a=0有解,∴a=x+2(x>0),

当且仅当x=1时,取等号.

13.D　由y=f'(x)的图象知y=f'(x)在区间(0,+∞)内单调递减,

说明函数y=f(x)图象的切线的斜率在区间(0,+∞)内也单调递减,故可排除A,C.

又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交,

说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.

14.B　因为函数y=x2-ln x的定义域为(0,+∞),所以y'=2x-(x>0).令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=故所求的最小值为

15.AD　由题意,若y=f(x)具有T性质,则存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.

对于选项A,因为f'(x)=-sin x,所以存在x1=,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=-1;

对于选项B,因为f'(x)=>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;

对于选项C,因为f'(x)=ex>0,所以不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1;

对于选项D,因为f'(x)=2x,所以存在x1=1,x2=-,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1.故选AD.

16.x-y+4=0　∵f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

∴f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1,

∴f(x)=,g(x)=,

∴h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-ex+e-x+2x2+2,

∴h'(x)=ex-e-x+4x,即h'(0)==1.

又h(0)=4,∴切线方程为x-y+4=0.

17.e　2　对于曲线y=ex,设切点坐标为(x0,),

因为y'=ex,所以切线斜率k=,

故切线方程为y-(x-x0).

由已知得切线过点(0,0),

所以-(-x0),故x0=1,所以k=e.

对于曲线y=ln x+m,设切点为(c,ln c+m),

所以y'=,因为切线方程为y=ex,得y'|x=c==e,

解得c=,即切点坐标为,

代入y=ln x+m,得1=ln+m,解得m=2.