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人教版高中数学高考一轮复习训练--导数及其应用
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这是一份人教版高中数学高考一轮复习训练--导数及其应用，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
章末目标检测卷三 导数及其应用
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
2.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是( )
A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1
3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3]∪[3,+∞)
B.[-3,3]
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,3)
4.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知当x∈12,2时,a≤1-xx+ln x恒成立,则a的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+f(x)>1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式ex(f(x)-1)>4(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(3,+∞)
7.已知函数f(x)=ln x+tan α0<α<π2的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为( )
A.π4,π2 B.0,π3
C.π6,π4 D.0,π4
8.已知函数f(x)在R上可导,导函数为f'(x),且满足f'(x)
C.(5,+∞) D.(10,+∞)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间-3,-12内单调递增
B.当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值
C.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值
10.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a-1,a+4)内存在最小值,则整数a可以取( )
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
11.已知函数y=f(x)=(x2-2x)ex,则( )
A.函数f(x)的图象在原点处的切线方程为y=-2x
B.函数f(x)的极小值点为x=-2
C.函数f(x)在区间(-∞,-2)内有一个零点
D.函数f(x)在R上有两个零点
12.已知函数f(x)=x-(x-1)ln x,下列说法正确的是( )
A.f(x)存在唯一极值点x0,且x0∈(1,2)
B.存在实数a,使得f(a)>2
C.方程f(x)=-1有且仅有两个实数根,且两根互为倒数
D.当k<1时,函数f(x)与g(x)=kx的图象有两个交点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的切点坐标为 .
14.已知函数f(x)=aex-ln x-1,若x=1是f(x)的极值点,则a= ,f(x)的单调递增区间为 .
15.已知函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若∃x1,x2使得f(x1)
①01e;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0.
其中正确的结论是 .(填序号)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2
19.(12分)(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
20.(12分)(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ex-x2+a(x∈R)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a的取值范围.
章末目标检测卷三 导数及其应用
1.B 对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,
由导数的几何意义,知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.
又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
2.B 求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.
3.B 由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-3≤a≤3.
4.A 由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0
5.A 令f(x)=1-xx+ln x,则f'(x)=x-1x2.
当x∈12,1时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.
则f(x)在区间12,1内单调递减,在区间(1,2]上单调递增,
即在x∈12,2上,f(x)min=f(1)=0,
故a≤0,即a的最大值为0.
6.A 令g(x)=ex(f(x)-1),则g'(x)=ex(f(x)-1)+exf'(x)=ex(f(x)+f'(x)-1).
因为f(x)+f'(x)>1,所以g'(x)>0.
所以函数g(x)在R上单调递增.
因为f(0)=5,所以g(0)=4.因为ex(f(x)-1)>4,
所以g(x)>g(0),所以x>0.故选A.
7.A ∵f(x)=ln x+tan α,∴f'(x)=1x.
令f(x)=f'(x),得ln x+tan α=1x,即tan α=1x-ln x.
设g(x)=1x-ln x,显然g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,而当x→0时(从0的右边趋近),g(x)→+∞,
故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,
只需tan α>g(1)=1.又0<α<π2,∴α∈π4,π2.
8.A 设g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex.
∵f'(x)
∴函数f(x+5)的图象关于直线x=0对称,
∴函数f(x)的图象关于直线x=5对称.
∴f(0)=f(10)=1.原不等式等价为g(x)<1.
∵g(0)=f(0)e0=1,且g(x)在R上单调递减,
∴g(x)<1,即g(x)0,
∴不等式f(x)
对于B,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;
对于C,当x∈(-2,2)时,恒有f'(x)>0,
则函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增,故C正确;
对于D,当x=3时,f'(x)≠0,故D不正确.
10.BCD 由题意,得f'(x)=x2+2x=x(x+2),
故f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)内单调递增,
在区间(-2,0)内单调递减,作出其大致图象如图所示.
令13x3+x2-23=-23,得x=0或x=-3.
则结合图象可知-3≤a-1<0,a+4>0,解得a∈[-2,1).
又a∈Z,所以a可以取-2,-1,0.
11.AD 由函数f(x)=(x2-2x)ex,得f'(x)=(x2-2)ex,
则f'(0)=-2.
又f(0)=0,从而曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-2x,故A正确;
令f'(x)=0,得x=2或x=-2.
当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞);
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,函数y=f(x)的单调递减区间为(-2,2).
所以当x=-2时,函数y=f(x)有极大值,故B错误;
当x<-2时,f(x)=(x2-2x)ex>0恒成立,
所以函数y=f(x)在区间(-∞,-2)内没有零点,故C错误;当-22时,函数y=f(x)在区间(2,+∞)内单调递增,且f(2)=0,存在唯一零点.
故函数y=f(x)在R上有两个零点.故D正确.
12.ACD 对f(x)=x-(x-1)ln x进行求导,可得f'(x)=-ln x+1x,显然f'(x)为减函数,f'(1)=1>0,f'(2)=-ln 2+12<0,故存在x0∈(1,2),使得f'(x0)=0,
且当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故x0为极大值点,故A正确;由题意可知,x0为最大值点,
由f'(x0)=-ln x0+1x0=0,可得f(x0)=x0-(x0-1)ln x0=x0+1x0-1.因为x0∈(1,2),所以f(x0)<2,故B错误;
若x1是方程f(x)=-1的一个解,即f(x1)=x1-(x1-1)ln x1=-1,
则f1x1=1x1−1x1-1ln1x1=1x1+1x1-1ln x1=1x1+(1-x1)ln x1x1=1x1+-x1-1x1=-1,
故x1和1x1都是方程f(x)=-1的解,故C正确;
由g(x)=kx,f(x)=g(x),可得k=1-1-1xln x.
令m(x)=1-1-1xln x,则m'(x)=-x-lnx+1x2.
令h(x)=-x-ln x+1,因为x>0,所以h'(x)=-1-1x<0,故h(x)=-x-ln x+1为减函数,
而h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,即m'(x)>0,m(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即m'(x)<0,m(x)单调递减,所以m(x)≤m(1)=1,故当k<1时,f(x)与g(x)=kx的图象有两个交点.故D正确.
13.(1,2) 设切线的切点坐标为(x0,y0),
由y=ln x+x+1,得y'=1x+1,因为y'|x=x0=1x0+1=2,解得x0=1,y0=2,所以切点的坐标为(1,2).
14.1e (1,+∞) 由题意可得f'(x)=aex-1x(x>0).
由x=1是f(x)的极值点,得f'(1)=ae-1=0,解得a=1e.
即f(x)=ex-1-ln x-1,f'(x)=ex-1-1x,
令f'(x)>0,可得x>1,
故f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
15.(2,+∞) 由题意,∃x1,x2使得f(x1)
当x=1时,函数f(x)=e|x-1|取得最小值,此时最小值为f(1)=1.
由g(x)=ln x-x+a,
得g'(x)=1x-1=1-xx(x>0).
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减,
所以当x=1时,函数g(x)有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).
16.①③ 由已知得f'(x)=ln x+x+1(x>0),不妨令g(x)=ln x+x+1(x>0),则g'(x)=1x+1.当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g1e=1e>0.又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g1e>g(x0),所以0
17.解 (1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-1-2ax.
由(1)知,当a=0时,f(x)≥f(0)=0,
即ex≥1+x,当且仅当x=0时,等号成立,
故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.
当a≤12时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0,符合题意.
当a>12时,由ex>1+x(x≠0),可得e-x>1-x(x≠0).
所以f'(x)
综上,可得a的取值范围为-∞,12.
18.(1)解 由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.
因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2.
所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.
令f'(x)=0,得x=ln 2.
当x
所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.
(2)证明 令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.
由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0,
故g(x)在R上单调递增.
因为g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,
即x2
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f(1)=e+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)·(x-1),即y=(e-1)x+2.
直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为-2e-1,2.
因此所求三角形的面积为2e-1.
(2)由题意a>0,当0
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
20.解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0,可得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
①若0
由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在区间(-∞,ln a)内存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,所以当x>4,且x>2ln(2a)时,f(x)=ex2·ex2-a(x+2)>eln(2a)·x2+2-a(x+2)=2a>0.故f(x)在区间(ln a,+∞)内存在唯一零点.
从而f(x)在区间(-∞,+∞)内有两个零点.
综上,a的取值范围是1e,+∞.
21.(1)解 ∵f(x)=ex-x2+a,∴f'(x)=ex-2x.
由已知,得f(0)=1+a=0,f'(0)=1=b,解得a=-1,b=1.
即函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.
(2)证明 令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1.
由φ'(x)=0,得x=0.
当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.
故φ(x)min=φ(0)=0,从而f(x)≥-x2+x.
(3)解 f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔f(x)x>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.
令g(x)=f(x)x(x>0),则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2=x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2=(x-1)(ex-x-1)x2.
由(2)可知当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,
由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0
即g(x)min=g(1)=e-2.故k
得f'(x)=3x2+2ax+b=3x+a32+b-a23.
当x=-a3时,f'(x)有极小值b-a23.
因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,
所以f-a3=-a327+a39−ab3+1=0.
又a>0,所以b=2a29+3a.
因为f(x)有极值,所以f'(x)=0有实根,从而b-a23=19a(27-a3)≤0,即a≥3.
当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;
当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=-a-a2-3b3,x2=-a+a2-3b3.
当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故f(x)的极值点是x1,x2,从而a>3.
因此b=2a29+3a,定义域为(3,+∞).
(2)证明 由(1),知ba=2aa9+3aa.
设g(t)=2t9+3t,则g'(t)=29−3t2=2t2-279t2.
当t∈362,+∞时,g'(t)>0,从而g(t)在区间362,+∞内单调递增.因为a>3,所以aa>33,故g(aa)>g(33)=3,即ba>3.因此b2>3a.
(3)解 由(1),知f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-23a,x12+x22=4a2-6b9.
从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=x13(3x12+2ax1+b)+x23(3x22+2ax2+b)+13a(x12+x22)+23b(x1+x2)+2=4a3-6ab27−4ab9+2=0.
设f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-a23=-19a2+3a,所以h(a)=-19a2+3a(a>3).
因为h'(a)=-29a-3a2<0,所以h(a)在区间(3,+∞)内单调递减.因为h(6)=-72,所以h(a)≥h(6),故a≤6.
因此a的取值范围为(3,6].
章末目标检测卷三 导数及其应用
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020全国Ⅰ,理6)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
2.若函数y=ex+mx有极值,则实数m的取值范围是( )
A.m>0 B.m<0 C.m>1 D.m<1
3.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-3]∪[3,+∞)
B.[-3,3]
C.(-∞,-3)∪(3,+∞)
D.(-3,3)
4.函数f(x)=x2+x-ln x的零点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
5.已知当x∈12,2时,a≤1-xx+ln x恒成立,则a的最大值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.已知定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+f(x)>1,f(0)=5,f'(x)是f(x)的导函数,则不等式ex(f(x)-1)>4(其中e为自然对数的底数)的解集为( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)∪(3,+∞)
C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(3,+∞)
7.已知函数f(x)=ln x+tan α0<α<π2的导函数为f'(x),若方程f'(x)=f(x)的根x0小于1,则α的取值范围为( )
A.π4,π2 B.0,π3
C.π6,π4 D.0,π4
8.已知函数f(x)在R上可导,导函数为f'(x),且满足f'(x)
C.(5,+∞) D.(10,+∞)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是( )
A.函数y=f(x)在区间-3,-12内单调递增
B.当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值
C.函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增
D.当x=3时,函数y=f(x)有极小值
10.若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a-1,a+4)内存在最小值,则整数a可以取( )
A.-3 B.-2
C.-1 D.0
11.已知函数y=f(x)=(x2-2x)ex,则( )
A.函数f(x)的图象在原点处的切线方程为y=-2x
B.函数f(x)的极小值点为x=-2
C.函数f(x)在区间(-∞,-2)内有一个零点
D.函数f(x)在R上有两个零点
12.已知函数f(x)=x-(x-1)ln x,下列说法正确的是( )
A.f(x)存在唯一极值点x0,且x0∈(1,2)
B.存在实数a,使得f(a)>2
C.方程f(x)=-1有且仅有两个实数根,且两根互为倒数
D.当k<1时,函数f(x)与g(x)=kx的图象有两个交点
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的切点坐标为 .
14.已知函数f(x)=aex-ln x-1,若x=1是f(x)的极值点,则a= ,f(x)的单调递增区间为 .
15.已知函数f(x)=e|x-1|,函数g(x)=ln x-x+a,若∃x1,x2使得f(x1)
①0
其中正确的结论是 .(填序号)
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
(1)若a=0,讨论f(x)的单调性;
(2)若当x≥0时,f(x)≥0,求a的取值范围.
18.(12分)已知函数f(x)=ex-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1.
(1)求a的值及函数f(x)的极值;
(2)证明:当x>0时,x2
19.(12分)(2020山东,21)已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
20.(12分)(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
21.(12分)已知函数f(x)=ex-x2+a(x∈R)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.(e≈2.718 28)
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;
(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.
22.(12分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f'(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)
(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;
(2)证明:b2>3a;
(3)若f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72,求a的取值范围.
章末目标检测卷三 导数及其应用
1.B 对函数f(x)求导可得f'(x)=4x3-6x2,
由导数的几何意义,知在点(1,f(1))处的切线的斜率为k=f'(1)=-2.
又因为f(1)=-1,所以切线方程为y-(-1)=-2(x-1),化简得y=-2x+1.
2.B 求导得y'=ex+m,由于ex>0,若y=ex+mx有极值,则必须使y'的值有正有负,故m<0.
3.B 由题意,知f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,故Δ=(2a)2-4×(-3)×(-1)≤0,解得-3≤a≤3.
4.A 由f'(x)=2x+1-1x=2x2+x-1x=0,得x=12或x=-1(舍去).当0
5.A 令f(x)=1-xx+ln x,则f'(x)=x-1x2.
当x∈12,1时,f'(x)<0;当x∈(1,2]时,f'(x)>0.
则f(x)在区间12,1内单调递减,在区间(1,2]上单调递增,
即在x∈12,2上,f(x)min=f(1)=0,
故a≤0,即a的最大值为0.
6.A 令g(x)=ex(f(x)-1),则g'(x)=ex(f(x)-1)+exf'(x)=ex(f(x)+f'(x)-1).
因为f(x)+f'(x)>1,所以g'(x)>0.
所以函数g(x)在R上单调递增.
因为f(0)=5,所以g(0)=4.因为ex(f(x)-1)>4,
所以g(x)>g(0),所以x>0.故选A.
7.A ∵f(x)=ln x+tan α,∴f'(x)=1x.
令f(x)=f'(x),得ln x+tan α=1x,即tan α=1x-ln x.
设g(x)=1x-ln x,显然g(x)在区间(0,+∞)内单调递减,而当x→0时(从0的右边趋近),g(x)→+∞,
故要使满足f'(x)=f(x)的根x0<1,
只需tan α>g(1)=1.又0<α<π2,∴α∈π4,π2.
8.A 设g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f'(x)-f(x)ex.
∵f'(x)
∴函数f(x+5)的图象关于直线x=0对称,
∴函数f(x)的图象关于直线x=5对称.
∴f(0)=f(10)=1.原不等式等价为g(x)<1.
∵g(0)=f(0)e0=1,且g(x)在R上单调递减,
∴g(x)<1,即g(x)
∴不等式f(x)
对于B,当x=-2时,函数y=f(x)取得极小值,故B正确;
对于C,当x∈(-2,2)时,恒有f'(x)>0,
则函数y=f(x)在区间(-2,2)内单调递增,故C正确;
对于D,当x=3时,f'(x)≠0,故D不正确.
10.BCD 由题意,得f'(x)=x2+2x=x(x+2),
故f(x)在区间(-∞,-2),(0,+∞)内单调递增,
在区间(-2,0)内单调递减,作出其大致图象如图所示.
令13x3+x2-23=-23,得x=0或x=-3.
则结合图象可知-3≤a-1<0,a+4>0,解得a∈[-2,1).
又a∈Z,所以a可以取-2,-1,0.
11.AD 由函数f(x)=(x2-2x)ex,得f'(x)=(x2-2)ex,
则f'(0)=-2.
又f(0)=0,从而曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-2x,故A正确;
令f'(x)=0,得x=2或x=-2.
当x∈(-∞,-2)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(2,+∞);
当x∈(-2,2)时,f'(x)<0,函数y=f(x)的单调递减区间为(-2,2).
所以当x=-2时,函数y=f(x)有极大值,故B错误;
当x<-2时,f(x)=(x2-2x)ex>0恒成立,
所以函数y=f(x)在区间(-∞,-2)内没有零点,故C错误;当-2
故函数y=f(x)在R上有两个零点.故D正确.
12.ACD 对f(x)=x-(x-1)ln x进行求导,可得f'(x)=-ln x+1x,显然f'(x)为减函数,f'(1)=1>0,f'(2)=-ln 2+12<0,故存在x0∈(1,2),使得f'(x0)=0,
且当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(x0,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故x0为极大值点,故A正确;由题意可知,x0为最大值点,
由f'(x0)=-ln x0+1x0=0,可得f(x0)=x0-(x0-1)ln x0=x0+1x0-1.因为x0∈(1,2),所以f(x0)<2,故B错误;
若x1是方程f(x)=-1的一个解,即f(x1)=x1-(x1-1)ln x1=-1,
则f1x1=1x1−1x1-1ln1x1=1x1+1x1-1ln x1=1x1+(1-x1)ln x1x1=1x1+-x1-1x1=-1,
故x1和1x1都是方程f(x)=-1的解,故C正确;
由g(x)=kx,f(x)=g(x),可得k=1-1-1xln x.
令m(x)=1-1-1xln x,则m'(x)=-x-lnx+1x2.
令h(x)=-x-ln x+1,因为x>0,所以h'(x)=-1-1x<0,故h(x)=-x-ln x+1为减函数,
而h(1)=0,所以当x∈(0,1)时,h(x)>0,即m'(x)>0,m(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即m'(x)<0,m(x)单调递减,所以m(x)≤m(1)=1,故当k<1时,f(x)与g(x)=kx的图象有两个交点.故D正确.
13.(1,2) 设切线的切点坐标为(x0,y0),
由y=ln x+x+1,得y'=1x+1,因为y'|x=x0=1x0+1=2,解得x0=1,y0=2,所以切点的坐标为(1,2).
14.1e (1,+∞) 由题意可得f'(x)=aex-1x(x>0).
由x=1是f(x)的极值点,得f'(1)=ae-1=0,解得a=1e.
即f(x)=ex-1-ln x-1,f'(x)=ex-1-1x,
令f'(x)>0,可得x>1,
故f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
15.(2,+∞) 由题意,∃x1,x2使得f(x1)
当x=1时,函数f(x)=e|x-1|取得最小值,此时最小值为f(1)=1.
由g(x)=ln x-x+a,
得g'(x)=1x-1=1-xx(x>0).
当x∈(0,1)时,g'(x)>0,则函数g(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,则函数g(x)单调递减,
所以当x=1时,函数g(x)有最大值,此时最大值为g(1)=a-1,令a-1>1,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).
16.①③ 由已知得f'(x)=ln x+x+1(x>0),不妨令g(x)=ln x+x+1(x>0),则g'(x)=1x+1.当x∈(0,+∞)时,有g'(x)>0总成立,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且g1e=1e>0.又x0是函数f(x)的极值点,所以f'(x0)=g(x0)=0,即g1e>g(x0),所以0
17.解 (1)当a=0时,f(x)=ex-1-x,f'(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0.
故f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-1-2ax.
由(1)知,当a=0时,f(x)≥f(0)=0,
即ex≥1+x,当且仅当x=0时,等号成立,
故f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x.
当a≤12时,1-2a≥0,f'(x)≥0(x≥0),f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
因为f(0)=0,于是当x≥0时,f(x)≥0,符合题意.
当a>12时,由ex>1+x(x≠0),可得e-x>1-x(x≠0).
所以f'(x)
综上,可得a的取值范围为-∞,12.
18.(1)解 由f(x)=ex-ax,得f'(x)=ex-a.
因为f'(0)=1-a=-1,所以a=2.
所以f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2.
令f'(x)=0,得x=ln 2.
当x
所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值,极小值为f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4,f(x)无极大值.
(2)证明 令g(x)=ex-x2,则g'(x)=ex-2x.
由(1),得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0,
故g(x)在R上单调递增.
因为g(0)=1>0,所以当x>0时,g(x)>g(0)>0,
即x2
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f(1)=e+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)·(x-1),即y=(e-1)x+2.
直线y=(e-1)x+2在x轴、y轴上的截距分别为-2e-1,2.
因此所求三角形的面积为2e-1.
(2)由题意a>0,当0
当x∈(0,1)时,f'(x)<0;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.
所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.
当a>1时,f(x)=aex-1-ln x+ln a≥ex-1-ln x≥1.
综上,a的取值范围是[1,+∞).
20.解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,0)内单调递减,在区间(0,+∞)内单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0,可得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.
所以f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
①若0
由于f(-2)=e-2>0,所以f(x)在区间(-∞,ln a)内存在唯一零点.
由(1)知,当x>2时,ex-x-2>0,所以当x>4,且x>2ln(2a)时,f(x)=ex2·ex2-a(x+2)>eln(2a)·x2+2-a(x+2)=2a>0.故f(x)在区间(ln a,+∞)内存在唯一零点.
从而f(x)在区间(-∞,+∞)内有两个零点.
综上,a的取值范围是1e,+∞.
21.(1)解 ∵f(x)=ex-x2+a,∴f'(x)=ex-2x.
由已知,得f(0)=1+a=0,f'(0)=1=b,解得a=-1,b=1.
即函数f(x)的解析式为f(x)=ex-x2-1.
(2)证明 令φ(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1.
由φ'(x)=0,得x=0.
当x∈(-∞,0)时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减;
当x∈(0,+∞)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增.
故φ(x)min=φ(0)=0,从而f(x)≥-x2+x.
(3)解 f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立⇔f(x)x>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.
令g(x)=f(x)x(x>0),则g'(x)=xf'(x)-f(x)x2=x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2=(x-1)(ex-x-1)x2.
由(2)可知当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,
由g'(x)>0,得x>1;由g'(x)<0,得0
即g(x)min=g(1)=e-2.故k
得f'(x)=3x2+2ax+b=3x+a32+b-a23.
当x=-a3时,f'(x)有极小值b-a23.
因为f'(x)的极值点是f(x)的零点,
所以f-a3=-a327+a39−ab3+1=0.
又a>0,所以b=2a29+3a.
因为f(x)有极值,所以f'(x)=0有实根,从而b-a23=19a(27-a3)≤0,即a≥3.
当a=3时,f'(x)>0(x≠-1),故f(x)在R上是增函数,f(x)没有极值;
当a>3时,f'(x)=0有两个相异的实根x1=-a-a2-3b3,x2=-a+a2-3b3.
当x变化时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(-∞,x1)
x1
(x1,x2)
x2
(x2,+∞)
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故f(x)的极值点是x1,x2,从而a>3.
因此b=2a29+3a,定义域为(3,+∞).
(2)证明 由(1),知ba=2aa9+3aa.
设g(t)=2t9+3t,则g'(t)=29−3t2=2t2-279t2.
当t∈362,+∞时,g'(t)>0,从而g(t)在区间362,+∞内单调递增.因为a>3,所以aa>33,故g(aa)>g(33)=3,即ba>3.因此b2>3a.
(3)解 由(1),知f(x)的极值点是x1,x2,且x1+x2=-23a,x12+x22=4a2-6b9.
从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1=x13(3x12+2ax1+b)+x23(3x22+2ax2+b)+13a(x12+x22)+23b(x1+x2)+2=4a3-6ab27−4ab9+2=0.
设f(x),f'(x)所有极值之和为h(a),因为f'(x)的极值为b-a23=-19a2+3a,所以h(a)=-19a2+3a(a>3).
因为h'(a)=-29a-3a2<0,所以h(a)在区间(3,+∞)内单调递减.因为h(6)=-72,所以h(a)≥h(6),故a≤6.
因此a的取值范围为(3,6].
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