人教版高中数学高考一轮复习训练--分类加法计数原理与分步乘法计数原理

考点规范练48　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

一、基础巩固

1.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,那么行车路线共有(　　)

A.24种 B.16种 C.12种 D.10种

2.已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9},从集合A,B中各取一个数,能组成的没有重复数字的两位数的个数为(　　)

A.52 B.58 C.64 D.70

3.如图,给A,B,C,D,E 5个点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法种数为(　　)

A.24 B.48 C.96 D.120

4.某同学有同样的画册2本,同样的集邮册3本,从中取出4本赠送给4名朋友,每人1本,则不同的赠送方法共有(　　)

A.4种 B.10种

C.18种 D.20种

5.已知集合M={1,-1,2},N={-3,4,6,-8},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为              (　　)

A.18 B.16

C.14 D.12

6.三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数是　　　　　. 

7.已知有5名同学参加某演讲比赛,其中3名女生,2名男生.若男生不排第一个演讲,且两名男生不能相邻演讲,则不同的演讲顺序有　　　　　种.(用数字作答) 

8.在数字0,1,2,3,4,5,6中,任取3个不同的数字为系数a,b,c组成二次函数y=ax2+bx+c,则一共可以组成　　　　　个不同的解析式. 

9.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则从1,2,3,4,5中任取3个数,可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是　　　　　. 

10.如图,用4种不同的颜色给图中5个区域涂色,要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,且4种颜色都要使用,则不同的涂色方法种数为　　　　　. 

二、综合应用

11.如图,现提供5种颜色给图中5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方法共有(　　)

A.120种 B.260种 

C.340种 D.420种

12.某校开设8门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门.学校规定每名同学选修三门,则每名同学不同的选修方案种数为(　　)

A.30 B.40

C.90 D.140

13.从集合{1,2,3,…,10}中任意选出三个不同的数,使这三个数成等比数列,这样的等比数列的个数为              (　　)

A.3 B.4 

C.6 D.8

14.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3 443,94 249等.显然两位回文数有9个:11,22,33,…,99;三位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999,则五位回文数有　　　　　个. 

15.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4},定义函数f:M→N.若点A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),△ABC的外接圆的圆心为D,且=λ(λ∈R),则满足条件的函数有　　　　　种. 

三、探究创新

16.如图,某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动,准备在一抛物线形地块上的A,B,C,D,G,F,E七点处各种植一棵树苗,其中点A,B,C分别与点E,F,G关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗,要求每种树苗至少种植一棵,且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗,则不同的种植方法种数是　　　　　.(用数字作答) 

17.用6种不同的颜色给三棱柱ABC-DEF的六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有　　　　　种.(用数字作答) 

考点规范练48　

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.C　根据题意,行车路线的起点有4种,行驶方向有3种,因此行车路线共有4×3=12(种).故选C.

2.B　依题意,分四类:第一类,从1,2和6,7,8,9中各取一个数,组成的两位数有2×4×2=16(个);第二类,从3,4,5和6,7,8,9中各取一个数,组成的两位数有3×4×2=24(个);第三类,从1,2和3,4,5中各取一个数,组成的两位数有2×3×2=12(个);第四类,从3,4,5中取两个不同的数,组成的两位数有3×2=6(个).故组成的没有重复数字的两位数有16+24+12+6=58(个).

3.C　先涂A,B,E三个点,有4×3×2=24(种)涂色方法;再涂点C,有2种涂色方法;最后涂点D,有2种涂色方法.故不同的涂色方法有24×2×2=96(种).

4.B　分两类:第一类赠送1本画册,3本集邮册,需从4人中选取一人赠送画册,其余送集邮册,有种方法.

第二类赠送2本画册,2本集邮册,只需从4人中选出2人送画册,其余2人送集邮册,有种方法.

由分类加法计数原理,不同的赠送方法有=10(种).

5.C　分两类:第一类,M中的元素作为点的横坐标,N中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有1×2=2(个);第二类,M中的元素作为点的纵坐标,N中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有2×2=4(个),在第二象限内的点共有2×2=4(个).

故所求不同点的个数为4+2+4+4=14.

6.36　另两边长用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.当y取11时,x可取1,2,3,…,11,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,…,10,有9个三角形;……当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.

因此所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

7.36　第一步,安排女生演讲顺序,有3×2×1=6(种);第二步,安排男生演讲顺序,女生安排好后,有4个空位,因为男生不排第一个演讲,且两名男生不能相邻演讲,所以只有3个空位可选,有3×2=6(种).故演讲顺序有6×6=36(种).

8.180　分三步完成:第一步任取一个数为a,由于a不为0,有6种方法;第二步从剩余的6个数中任取一个数为b,有6种方法;第三步从剩余的5个数中任取一个数为c,有5种方法.由分步乘法计数原理,可知共有6×6×5=180(个)不同的解析式.

9.20　根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类.

第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种;

第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有=6(种);

第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有=12(种).

根据分类加法计数原理,可知组成无重复数字的三位凸数的个数是2+6+12=20.

10.96　按区域1与3是否同色分类:

第一类,区域1与3同色,第一步,涂区域1与3,有4种涂色方法;第二步,涂区域2,4,5,有种涂色方法.

故当区域1与3同色时,共有4=24(种)涂色方法.

第二类,区域1与3不同色,第一步,涂区域1与3,有种涂色方法;第二步,涂区域2,有2种涂色方法;第三步,涂区域4,只有1种涂色方法;第四步,涂区域5,有3种涂色方法.

故当区域1与3不同色时,共有2×1×3=72(种)涂色方法.

由分类加法计数原理,可知不同的涂色方法种数为24+72=96.

11.D　先涂区域1,2,5,有=60(种)涂色方法;再涂区域3,4,若区域3与区域1同色,则区域3只有1种涂色方法,区域4有3种涂色方法,若区域3与区域1不同色,则区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法.故不同的涂色方法有60×(1×3+2×2)=420(种).

12.B　因为A,B,C三门至多选一门,所以可分两类:

第一类,A,B,C三门课都不选,有=10(种)方案;

第二类,A,B,C中选一门,剩余5门课中选2门,有=30(种)方案.

故根据分类加法计数原理知共有10+30=40(种)方案.

13.D　当公比为2时,等比数列可为1,2,4或2,4,8;当公比为3时,等比数列可为1,3,9;当公比为时,等比数列可为4,6,9.同理,公比为时,也有4个.故共有8个等比数列.

14.900　第一步,选左边第一个数字和右边第一个数字相同,有9种选法;

第二步,选左边第二个数字和右边第二个数字相同,有10种选法;

第三步,选左边第三个数字,也就是右边第三个数字,有10种选法.

故五位回文数有9×10×10=900(个).

15.12　由D为△ABC的外接圆的圆心,=(λ∈R),可知△ABC为等腰三角形,且|BA|=|BC|,则必有f(1)=f(3),f(1)≠f(2).

当f(1)=f(3)=1时,f(2)=2,3,4,有3种;

当f(1)=f(3)=2时,f(2)=1,3,4,有3种;

当f(1)=f(3)=3时,f(2)=1,2,4,有3种;

当f(1)=f(3)=4时,f(2)=1,2,3,有3种.

故满足条件的函数有12种.

16.36　依题意,只需考虑A,B,C,D四点处种植树苗情况即可.当A,B,C三点处种植树苗均不相同时,有=6(种)种植方法,此时点D处有3种种植方法,故不同的种植方法有6×3=18(种);当A,B,C三点处有两点种植树苗相同时,有=18(种)种植方法,此时点D处只有1种种植方法,故不同的种植方法有18×1=18(种).由分类加法计数原理,可知不同的种植方法有18+18=36(种).

17.8 520　第一类,6种颜色都用上,此时涂色方法有=720种.

第二类,6种颜色只用5种,第一步,选出5种颜色,方法有种;第二步,涂A,B,C三点,方法有种;第三步,涂D,E,F三点中的两点,方法有种;第四步,涂剩余的一点,方法有2种.故此时涂色方法有2=4 320(种).

第三类,6种颜色只用4种,第一步,选出4种颜色,方法有种;第二步,涂A,B,C三点,方法有种;第三步,涂D,E,F三点中的一点,方法有3种;第四步,涂剩余的两点,方法有3种.

故此时涂色方法有3×3=3 240(种).

第四类,6种颜色只用3种,第一步,选出3种颜色,方法有种;第二步,涂A,B,C三点,方法有种;第三步,涂D,E,F三点,方法有2种.故此时涂色方法有2=240(种).

由分类加法计数原理,可知不同的涂色方法有720+4 320+3 240+240=8 520(种).