人教版高中数学高考一轮复习训练--函数与方程

 考点规范练12　函数与方程

一、基础巩固

1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为(　　)

A.,0 B.-2,0

C. D.0

2.函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标所在的区间为(　　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

3.若函数f(x)的图象在R上是连续的,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内一定没有零点

B.f(x)在区间(0,1)内一定没有零点,在区间(1,2)内一定有零点

C.f(x)在区间(0,1)内一定有零点,在区间(1,2)内可能有零点

D.f(x)在区间(0,1)内可能有零点,在区间(1,2)内一定有零点

4.方程x3-6x2+9x-10=0的实根个数是(　　)

A.3 B.2

C.1 D.0

5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则(　　)

A.a<b<c B.c<b<a

C.c<a<b D.b<a<c

6.若f(x)是奇函数,且x0是函数y=f(x)+ex的一个零点,则下列函数中,-x0一定是其零点的是(　　)

A.y=f(-x)ex-1 B.y=f(x)e-x+1

C.y=exf(x)-1 D.y=exf(x)+1

7.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,若函数y=f(x+1)-1为奇函数,则函数f(x)的零点个数为(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.3

8.定义在R上的函数f(x)=x2-[x]-2有(　　)个零点.(其中[x]表示不大于实数x的最大整数)

A.0 B.1 

C.2 D.3

9.若函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　　. 

二、综合应用

10.已知函数f(x)=|2x-2|+b的两个零点分别为x1,x2(x1>x2),则下列结论正确的是(　　)

A.1<x1<2,x1+x2<2

B.1<x1<2,x1+x2<1

C.x1>1,x1+x2<2

D.x1>1,x1+x2<1

11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为(　　)

A.8 B.-8 C.0 D.-4

12.(多选)已知函数f(x)=2x-lox,且实数a,b,c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0.若实数x0是函数y=f(x)的一个零点,则下列不等式中可能成立的是(　　)

A.x0<a B.x0>a

C.x0<b D.x0<c

13.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是(　　)

A.f(a)<f(1)<f(b)

B.f(a)<f(b)<f(1)

C.f(1)<f(a)<f(b)

D.f(b)<f(1)<f(a)

14.(多选)已知函数f(x)=下列是关于函数y=f(f(x))+1的零点个数的判断,其中正确的是(　　)

A.当k>0时,有3个零点

B.当k<0时,有2个零点

C.当k>0时,有4个零点

D.当k<0时,有1个零点

15.已知函数f(x)=5x+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为x1,x2,则x1+x2的值为　　　　　. 

三、探究创新

16.若定义在R上的函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,函数g(x)=则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,5]上的零点的个数为　　　　　. 

17.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x-1).当0≤x≤1时,f(x)=x2.若函数y=f(x)-x-a在区间[0,2]上有三个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　　　　　. 

考点规范练12　函数与方程

1.D　当x≤1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;

当x>1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=,

又因为x>1,所以此时方程无解.

综上可知,函数f(x)的零点只有0,故选D.

2.B　函数y=ln(x+1)与y=的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-的零点.

由于f(x)在区间(0,+∞)内的图象是连续的,且f(x)是单调递增的,又f(1)=ln 2-1<0,f(2)=ln 3->0,得f(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.

3.C　由题知f(0)f(1)<0,根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)内一定有零点,又f(1)f(2)>0,因此无法判断f(x)在区间(1,2)内是否有零点.

4.C　由x3-6x2+9x-10=0,得x3=6x2-9x+10,在同一平面直角坐标系中作出函数y=x3和y=6x2-9x+10的图象,由图知两个函数图象只有一个交点.故选C.

5.A　∵ea=-a,∴a<0,∵ln b=-b,且b>0,∴0<b<1,

∵ln c=1,∴c=e>1,故选A.

6.C　由已知可得f(x0)=-,则f(x0)=-1,f(-x0)=1,故-x0一定是函数y=exf(x)-1的零点.

7.B　∵f(x)=x3+ax2+bx+1,

∴f(x+1)-1=(x+1)3+a(x+1)2+b(x+1)+1-1=x3+(3+a)x2+(3+2a+b)x+1+b+a.

∵函数y=f(x+1)-1为奇函数,∴a=-3,b=2.

∴f(x)=x3-3x2+2x+1.

∴f'(x)=3x2-6x+2=3(x-1)2-1

=3

经分析可知f(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减,在区间内单调递增,且f>0,f>0,

∴函数f(x)的零点个数为1,故选B.

8.D　令f(x)=x2-[x]-2=0,得x2-2=[x],令f1(x)=x2-2,g1(x)=[x],

在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象,如图所示.

函数f1(x)和g1(x)的图象有3个交点,故函数f(x)=x2-[x]-2有3个零点.

9.(0,1]　当x>0时,由f(x)=ln x=0,得x=1.

因为函数f(x)有两个不同的零点,所以当x≤0时,函数f(x)=2x-a有一个零点.令f(x)=2x-a=0,得a=2x.

因为当x≤0时,0<2x≤20=1,所以0<a≤1.

所以实数a的取值范围是0<a≤1.

10.A　函数f(x)=|2x-2|+b有两个零点,即y=|2x-2|与y=-b的图象有两个交点,交点的横坐标就是x1,x2(x2<x1).

在同一平面直角坐标系中作出y=|2x-2|与y=-b的图象(如图).

当y=-b=2时,x1=2,两个函数图象只有一个交点,当0<-b<2时,由图可知1<x1<2,x1+x2<2.

11.B　∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),

∴f(x)=f(x+8),f(4-x)=f(x),f(0)=0.

∴函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且函数的周期为8.

∵f(x)在区间[0,2]上单调递增,

∴f(x)在区间[-2,0]上单调递增,综合以上条件得函数f(x)的示意图如图所示.

由图看出,四个交点中两个交点的横坐标之和为2×(-6),另两个交点的横坐标之和为2×2,故x1+x2+x3+x4=-8,故选B.

12.ABC　由f(x)=2x-lox=2x+log2x,可知函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

因为实数a,b,c(a>b>c>0)满足f(a)f(b)f(c)<0,

所以f(a)>f(b)>0>f(c)或0>f(a)>f(b)>f(c),则c<x0<b<a或x0>a>b>c,故ABC可能成立.

13.A　由题意,知f'(x)=ex+1>0在x∈R上恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.

而f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1);

由题意,知g'(x)=+1>0在x∈(0,+∞)内恒成立,故函数g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.

又g(1)=ln 1+1-2=-1<0,g(2)=ln 2+2-2=ln 2>0,所以函数g(x)的零点b∈(1,2).综上,可得0<a<1<b<2.

因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)<f(1)<f(b).故选A.

14.CD　当k>0时,作出函数f(x)=的图象如图所示.

当f(f(x))+1=0时,即f(f(x))=-1,有f1(x)∈(-∞,0),f2(x)=两种情况.

又当f1(x)∈(-∞,0)时有两根,当f2(x)=时也有两根,故函数y=f(f(x))+1有4个零点.

当k<0时,作出函数f(x)=的图象如图所示.

当f(f(x))+1=0时,即f(f(x))=-1,只有f(x)=一种情况,此时f(x)=仅有一个根.

故当k>0时,函数y=f(f(x))+1有4个零点;当k<0时,函数y=f(f(x))+1有1个零点.

15.2　令f(x)=0,g(x)=0,得5x=-x+2,log5x=-x+2.

作出函数y=5x,y=log5x,y=-x+2的图象,如图所示.

因为函数f(x)=5x+x-2,g(x)=log5x+x-2的零点分别为x1,x2,所以x1是函数y=5x的图象与直线y=-x+2交点A的横坐标,x2是函数y=log5x的图象与直线y=-x+2交点B的横坐标.

因为y=5x与y=log5x的图象关于直线y=x对称,直线y=-x+2也关于直线y=x对称,且直线y=-x+2与它们都只有一个交点,故这两个交点关于直线y=x对称.

又线段AB的中点是直线y=x与y=-x+2的交点,即点(1,1),故x1+x2=2.

16.8　∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f(x).

又x∈[-1,1]时,f(x)=x2,

∴f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5≤x≤5)与y=2x(x≤1)的图象有5个交点,y=f(x)(-5≤x≤5)与y=log3(x-1)(x>1)的图象有3个交点,故共有8个交点.

即函数h(x)在区间[-5,5]上有8个零点.

17　因为对任意的x∈R都有f(x+1)=f(x-1),所以f(x+2)=f(x).所以函数f(x)的周期为2.

由f(x)-x-a=0,得f(x)=x+a.

又当0≤x≤1时,f(x)=x2,且f(x)是定义在R上的偶函数,故可作出f(x)的示意图如图所示.

设直线y=x+a与抛物线f(x)=x2在区间[0,1]上相切于点P(x0,y0).

由f'(x)=2x,可得2x0=1,解得x0=

故y0=,即点P,将点P代入y=x+a,得a=-当直线经过点O,A时,a=0.

若函数y=f(x)-x-a在区间[0,2]上有三个不同的零点,即直线y=x+a与曲线y=f(x)在区间[0,2]上恰有三个不同的交点,则-<a<0.