人教版高中数学高考一轮复习训练--离散型随机变量的数字特征

考点规范练57　离散型随机变量的数字特征

一、基础巩固

1.若离散型随机变量X的分布列为

则E(X)等于(　　)

A.2 B.2或 C. D.1

2.现有一个项目,对该项目投资10万元,一年后的利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为.设对该项目投资10万元,一年后的利润为X(单位:万元),则X的均值为(　　)

A.1.18 B.3.55 C.1.23 D.2.38

3.(多选)袋内有除颜色外其他完全相同的2个黑球和3个白球,从中不放回地每次任取1个球,直到取出白球后停止,则(　　)

A.取2次后停止的概率为

B.停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数的概率为

C.取球次数X的均值为2

D.取球次数X的方差为

4.(多选)若随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,则下列结论正确的是(　　)

A.E(X)=

B.E(3X+2)=4

C.D(3X+2)=4

D.D(X)=

5.某公司有5万元资金用于投资某开发项目,若成功,则一年后可获利12%;若失败,则一年后将损失全部资金的50%.统计过去200例类似投资项目的结果如表所示.

则估计该公司投资该项目一年后可获收益的均值为　　　　　元. 

6.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=,P(X=x2)=,x1<x2,E(X)=,D(X)=2,则x1+x2=　　　　　. 

7.某袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共5个.从袋中随机取出3个球,全为黑球的概率为,则黑球的个数为　　　　　;若记取出的3个球中黑球的个数为X,则D(X)=　　　　　. 

8.近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究,则抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为　　　　　;记X表示抽取的3天中空气质量为优的天数,则随机变量X的均值为　　　　　. 

9.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机抽取3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X.

(1)求X的分布列及方差D(X);

(2)若Y=aX+2,且D(Y)=33.6,求实数a的值.

10.某企业计划在某地建立饮品基地进行饮品A,B,C的研发.

(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中,对100名试饮人员进行抽样调查,得到对三种饮品选择情况的条形图.若饮品A每件的利润为4元,饮品B每件的利润为3元,饮品C每件的利润为7元,请估计三种饮品每件的平均利润.

(2)为进一步提高企业利润,企业决定对饮品C进行加工工艺的改进和饮品D的研发.已知工艺改进成功的概率为,新饮品研发成功的概率为,且工艺改进与饮品研发相互独立.

①求工艺改进和新饮品研发恰有一项成功的概率;

②若工艺改进成功,则企业可获利80万元,否则亏损30万元;若饮品研发成功,则企业可获利150万元,否则亏损70万元.求该企业获利X的均值.

二、综合应用

11.某大学对该校参加了某博览会的志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,已知某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为,他们考核所得的等次相互独立.

(1)求在这次考核中,甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀的概率;

(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量X,求随机变量X的分布列和均值E(X).

12.一次考试中,五名同学的数学、物理成绩如表所示.

(1)求出y关于x的经验回归方程;

(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2人参加一项活动,设选出的2人中物理成绩高于90分的人数为X,求随机变量X的分布列及均值E(X).

附:经验回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为.

三、探究创新

13.某学校为鼓励家校互动,与某手机通信商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L(单位:M)的数据,其频率分布直方图如下:

若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率视为概率,回答以下问题.

(1)从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率;

(2)现该通信商推出三款流量套餐,详情如下:

这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用流量一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值200 M流量,资费20元;如果又超出充值流量,那么系统就再次自动帮用户充值200 M流量,资费20元,以此类推.如果当月流量有剩余,那么系统将自动清零,无法转入次月使用.

学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,则学校订购哪一款套餐最经济?说明理由.

考点规范练57　离散型随机变量的数字特征

1.C　由题意知=1,a>0,解得a=1.

所以E(X)=0+1故选C.

2.A　由题意可知E(X)=1.2+1.18+1.17=1.18.

3.BD　依题意,取球次数X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=1=

故E(X)=1+2+3,

D(X)=

设事件A=“取2次后停止”,B=“停止取球时,取出的白球个数不少于黑球个数”,则P(A)=P(X=2)=,P(B)=P(X=1)+P(X=2)=故选BD.

4.AB　因为随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=,

所以P(X=1)=,

所以E(X)=0+1,

D(X)=

所以E(3X+2)=3E(X)+2=4,D(3X+2)=9D(X)=2.

故选AB.

5.4 760　依题意,用频率估计概率,可知一年后获利6 000元的概率为0.96,获利-25 000元的概率为0.04,故估计一年后可获收益的均值为6 000×0.96+(-25 000)×0.04=4 760(元).

6　由题意可知E(X)=x1+x2=,

D(X)==2,

因为x1<x2,所以x1=-,x2=所以x1+x2=

7.3　　设黑球的个数为n,由题意可知,

解得n=3.

X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=

故X的分布列为

E(X)=1+2+3,

D(X)=

8　依题意,从7天中随机抽取3天,有=35(种)取法,其中至少有1天空气质量为良的取法有=25(种),

故抽取的3天中至少有1天空气质量为良的概率为

由已知得X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=,

P(X=3)=

故E(X)=0+1+2+3

9.解 (1)由题意可知X的所有可能取值为6,9,12,

P(X=6)=,

P(X=9)=,

P(X=12)=

故X的分布列为

E(X)=6+9+12=7.8,

D(X)=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.

(2)因为Y=aX+2,D(X)=3.36,

所以D(Y)=D(aX+2)=a2D(X)=3.36a2=33.6,

解得a=±

10.解 (1)根据题中条形图可得样本中选择饮品A的频率为0.35,选择饮品B的频率为0.45,选择饮品C的频率为0.2,则样本中三种饮品每件的平均利润为4×0.35+3×0.45+7×0.2=4.15(元).

故估计三种饮品每件的平均利润为4.15元.

(2)①设事件A=“工艺改进成功”,B=“新饮品研发成功”,C=“工艺改进和新饮品研发恰有一项成功”.由题意可知A,B相互独立,P(A)=,P(B)=,

故P(C)=P(A)+P(B)=

②由已知得X的可能取值为-100,10,120,230,

P(X=-100)=,

P(X=10)=,

P(X=120)=,

P(X=230)=

故E(X)=-100+10+120+230

11.解 (1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“甲、乙、丙三名志愿者中至少有一名考核为优秀”为事件E,

则事件A,B,C相互独立,事件与事件E是对立事件.

故P(E)=1-P()=1-P()P()P()=1-

(2)依题意,X的可能取值为,2,,3,

则P=P()=,

P(X=2)=P(A)+P()+P(C)=,

P=P(AB)+P(AC)+P(BC)=,

P(X=3)=P(ABC)=

故X的分布列为

E(X)=+2+3

12.解 (1)由已知得

(89+91+93+95+97)=93,(87+89+89+92+93)=90,

(xi-)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40,

(xi-)(yi-)=(-4)×(-3)+(-2)×(-1)+0×(-1)+2×2+4×3=30,

则=0.75,=90-0.75×93=20.25.

故所求经验回归方程为=0.75x+20.25.

(2)X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=,

P(X=1)=,

P(X=2)=

故X的分布列为

E(X)=0+1+2=1.

13.解 (1)记“从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量不超过300 M”为事件D.

依题意,P(D)=(0.000 8+0.002 2)×100=0.3.

从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过300 M的人数为X,则X~B(3,0.3),

所以从该校教师中随机抽取3人,至多有1人手机月使用流量不超过300 M的概率为P(X=0)+P(X=1)=0.30×(1-0.3)3+0.3×(1-0.3)2=0.343+0.441=0.784.

(2)依题意,从该校随机抽取1位教师,该教师手机月使用流量L∈(300,500]的概率为(0.002 5+0.003 5)×100=0.6,L∈(500,700]的概率为(0.000 8+0.000 2)×100=0.1.

当学校订购A套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X1,则X1的所有可能取值为20,35,50,且P(X1=20)=0.3,P(X1=35)=0.6,P(X1=50)=0.1,

所以X1的分布列为

所以E(X1)=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32.

所以学校为1位教师承担的月费用的平均值为32元.

当学校订购B套餐时,设学校为1位教师承担的月费用为X2,则X2的所有可能取值为30,45,

且P(X2=30)=0.3+0.6=0.9,P(X2=45)=0.1,

所以X2的分布列为

所以E(X2)=30×0.9+45×0.1=31.5.

所以学校为1位教师承担的月费用的平均值为31.5元.

当学校订购C套餐时,因为每位教师的手机月使用流量均不超过700 M,所以学校为1位教师承担的月费用为38元.

因为31.5<32<38,所以学校订购B套餐最经济.