人教版高中数学高考一轮复习训练--直线的交点坐标与距离公式

考点规范练41　直线的交点坐标与距离公式

一、基础巩固

1.若O为坐标原点,P为直线x-y+2=0上的动点,则|OP|的最小值为(　　)

A. B. C. D.2

2.已知点A(cos 10°,sin 10°),B(cos 100°,sin 100°),则|AB|=(　　)

A.1 B. C. D.2

3.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为(　　)

A. B.4 C. D.2

4.已知直线nx-y=n-1和直线ny-x=2n的交点在第二象限,则实数n的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.-∞,∪(1,+∞)

C.0, D.,+∞

5.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为(　　)

A.1 B.2 C.-2或1 D.-1或2

6.直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点　　　　,点P(1,1)到该直线的距离的最大值为　　　　.

7.直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为　　　　　　　　　　. 

8.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为　　　　　　　　. 

9.已知正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,则正方形ABCD的边长为　　　　　. 

10.已知直线l1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.

(1)若l1⊥l2,求m的值;

(2)若l1∥l2,且它们间的距离为,求m,n的值.

二、综合应用

11.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为(　　)

A.(-2,4) B.(-2,-4) C.(2,4) D.(2,-4)

12.若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则k的取值情况是(　　)

A.只有唯一值 B.有两个不同的值

C.有三个不同的值 D.无穷多个值

13.(多选)在平面直角坐标系Oxy中,点P在曲线y=x+(x>0)上,则点P到直线3x-4y-2=0的距离可以为(　　)

A. B.1 C. D.

14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为　　　.

15.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)为圆M:x2+y2=4上的两点,且x1x2+y1y2=-,设P(x0,y0)为弦AB的中点,则|3x0+4y0-10|的最小值为　　　　　. 

16.已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,0),B(-2,-4).

(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小;

(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||的值最大.

三、探究创新

17.已知平面上一点M(5,0),若一条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.给出直线:①y=x+1;②y=2;③y=x,其中是“切割型直线”的是(　　)

A.②③ B.① C.①② D.①③

18.定义:点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的有向距离为.已知点A(-1,0),B(1,0),直线m过点P(3,0),若圆x2+(y-18)2=81上存在一点C,使得A,B,C三点到直线m的有向距离之和为0,则直线m的斜率的取值范围为　　　　　. 

考点规范练41　直线的交点坐标与距离公式

1.B　由已知得原点O到直线x-y+2=0的距离d=,故|OP|的最小值为

2.B　|AB|=

=

=

=

3.C　∵l1∥l2,∴a≠2,且a≠0,,解得a=-1,

∴两直线方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,

∴直线l1与l2之间的距离为d=

4.C　对于直线nx-y=n-1和直线ny-x=2n,

当n=1时,两直线平行,没有交点,不符合题意;

当n=-1时,两直线重合,不符合题意.故n≠±1.

由解得

若两直线的交点在第二象限,则有解得0<n<,故n的取值范围为(0,).

5.C　因为直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,所以这三条直线必有两条直线平行.

又直线2x+y-4=0与x-y+1=0不平行,所以当直线2x+y-4=0与ax-y+2=0平行时,a=-2;

当直线x-y+1=0与ax-y+2=0平行时,a=1.

所以实数a的值为1或-2.

6.(-2,3)　　依题意,直线l的方程可化为λ(y-3)+x+2=0,所以直线l恒过定点Q(-2,3),点P(1,1)到该直线的距离的最大值为|PQ|=

7.x-2y=0　由解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),所以可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.

在直线l上取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得,解得k=(k=2舍去),所以直线l2的方程为x-2y=0.

8.6x-y-6=0　设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以解得点M'的坐标为(1,0).

又反射光线经过点N(2,6),

所以所求直线的方程为y=(x-1),即6x-y-6=0.

9.2或14　因为AB∥CD,所以可设直线CD的方程为x+y+m=0,

由得C,

由得D.

所以|CD|==|m+11|.

又直线AB与CD之间的距离d=,

所以|m+11|=,解得m=-8或m=-32,

所以正方形ABCD的边长为2或14

10.解 (1)若l1⊥l2,则m+2=0,解得m=-2.

(2)直线l1的方程可化为2x+2y+4=0.

若l1∥l2,则,解得m=2.

又两直线之间的距离为,则,解得n=4+2或n=4-2

11.C　设A(-4,2)关于直线y=2x的对称点为(x,y),则解得所以BC所在直线的方程为y-1=(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2x的对称点为(-1,3),所以AC所在直线的方程为y-2=(x+4),即x-3y+10=0.

由解得所以点C的坐标为(2,4).故选C.

12.C　若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则其中有2条直线互相平行,第三条直线和这2条平行线都相交,此时k=-2或k=0,或者三条直线经过同一个点,即直线x-2y+2=0和x=2的交点(2,2)在直线x+ky=0上,此时k=-1.综上,k=-2或k=0或k=-1.

13.CD　由已知得y'=1-,设点P(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为1-

当点P到直线3x-4y-2=0的距离最小时,曲线y=x+(x>0)在点P处的切线的斜率应等于直线3x-4y-2=0的斜率,即1-,解得x0=2,所以y0=2+,点P的坐标为2,,所以点P到直线3x-4y-2=0的距离的最小值为

故选CD.

14　由

解得

将x=1,y=2代入mx+ny+5=0,

得m+2n+5=0.

所以m=-5-2n.

所以点(m,n)到原点的距离d=,

当n=-2时取等号,此时m=-1.

所以点(m,n)到原点的距离的最小值为

15.10-　由点P(x0,y0)为弦AB的中点,

得

则有(x1+x2)2+(y1+y2)2=4(),

展开得+2(x1x2+y1y2)=4().

又点A(x1,y1),B(x2,y2)为圆M:x2+y2=4上的两点,

所以=4,=4,

又x1x2+y1y2=-,

所以,

即点P的轨迹方程为圆x2+y2=,

则|3x0+4y0-10|=5,其几何意义为圆x2+y2=上一点到直线3x+4y-10=0的距离的5倍.

又圆x2+y2=的圆心(0,0)到直线3x+4y-10=0的距离d==2,

所以圆x2+y2=上一点到直线3x+4y-10=0的距离的最小值为d-r=2-,

即的最小值为2-,

所以|3x0+4y0-10|=552-=10-,

所以|3x0+4y0-10|的最小值为10-

16.解 (1)设点A关于直线l的对称点为A'(m,n),

则

解得

所以A'(-2,8).

因为P为直线l上一点,

所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,等号成立,此时点P为直线A'B与直线l的交点,

则有

解得

所以当点P的坐标为(-2,3)时,|PA|+|PB|的值最小.

(2)因为A,B两点在直线l的同侧,P为直线l上一点,直线AB与l相交,所以||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,等号成立,此时点P为直线AB与l的交点.

由题意可知直线AB的方程为y=x-2.

由

解得

所以当点P的坐标为(12,10)时,||PB|-|PA||的值最大.

17.A　由题意可知,点M到直线y=x+1的距离为=3>4,点M到直线y=2的距离为2<4,点M到直线y=x的距离为=4,故②③符合题意,①不符合题意.故选A.

18　由题意,设直线m的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,点C的坐标为(x,y),由已知得=0,化简得kx-y-9k=0,则直线kx-y-9k=0与圆x2+(y-18)2=81有公共点,所以9,解得k≤-