人教版高中数学高考一轮复习训练--椭圆

考点规范练44　椭圆

一、基础巩固

1.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于(　　)

A. B.

C. D.4

2.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

3.设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点,点P在椭圆上,且||=2,则∠F1PF2等于 (　　)

A. B. C. D.

4.设F1,F2为椭圆+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,的值为(　　)

A.0 B.2 

C.4 D.-2

5.(多选)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是(　　)

A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1

B.椭圆C的短轴长可能为2

C.椭圆C的离心率的取值范围为0,

D.若,则椭圆C的长轴长为

6.设F1,F2为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4的等边三角形,则椭圆C的方程为　　　　　　　　　　. 

7.已知椭圆C1:=1(a>b>0)与椭圆C2:=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为　　　　　. 

8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.

9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.

二、综合应用

10.已知椭圆C1:=1的离心率为e1,双曲线C2:=1的离心率为e2,其中,a>b>0,,直线l:x-y+3=0与椭圆C1相切,则椭圆C1的方程为(　　)

A.+y2=1 B.=1

C.=1 D.=1

11.(多选)设椭圆的方程为=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点.下列说法正确的是(　　)

A.直线AB与OM垂直

B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0

C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为

D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=

12.(多选)已知F是椭圆=1的右焦点,椭圆上至少有21个不同的点Pn(n=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为d(d>0)的等差数列,则(　　)

A.该椭圆的焦距为6

B.|FP1|的最小值为2

C.d的值可以为

D.d的值可以为

13.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则的最小值是　　　　　. 

14.如图,过原点O的直线AB交椭圆C:=1(a>b>0)于A,B两点,过点A分别作x轴、AB的垂线AP,AQ交椭圆C于点P,Q,连接BQ交AP于一点M,若,则椭圆C的离心率是　　　　.

15.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有∠AFB≥120°,则椭圆C离心率的取值范围为　　　　　. 

16.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,为椭圆上一点,|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA=6S△PHN,求直线MN的方程.

三、探究创新

17.如图,把半椭圆:=1(x≥0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称为“曲圆”,其中点F(1,0)是半椭圆的右焦点,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=120°,过点F的直线与“曲圆”交于P,Q两点,则△A1PQ的周长的取值范围是　　　　　. 

考点规范练44　椭圆

1.A　由已知得F1(-,0),∵PF1⊥x轴,∴P-,±,

∴|PF1|=,又|PF1|+|PF2|=4,

∴|PF2|=4-

2. B　如图,由题意得,|BF|=a,|OF|=c,|OB|=b,|OD|=2b=b.

在Rt△FOB中,

|OF|·|OB|=|BF|·|OD|,即cb=ab,得a=2c,故椭圆的离心率e=故选B.

3.D　因为=2,O为坐标原点,||=2,所以|PO|=,

又|OF1|=|OF2|=,所以点P,F1,F2在以点O为圆心的圆上,且F1F2为直径,所以∠F1PF2=

4.D　根据题意可知,当P,Q分别在椭圆短轴端点处时,四边形PF1QF2的面积最大.不妨令P(0,1),

∵F1(-,0),F2(,0),

=(-,-1),=(,-1),

=-2.

5.ACD　由|F1F2|=2可得F2(1,0),所以PF2⊥x轴.

A中,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|=2a-(|QF2|-|QP|)≥2a-|PF2|=2a-1,当且仅当Q,P,F2三点共线且点Q在第一象限时,取到最小值为2a-1,所以A正确.

B中,因为P在椭圆内,所以b>1,短轴长2b>2,故B不正确.

C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a>|PF1|+|PF2|=1+,所以离心率e=,

所以e∈(0,),所以C正确.

D中,因为,所以F1为PQ的中点,又F1(-1,0),F2(1,0),P(1,1),所以Q(-3,-1),所以长轴长2a=|QF1|+|QF2|=,所以D正确.

6=1　∵△F2AB是面积为4的等边三角形,

∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可得|F1A|=|F1B|=

又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,

2c.①

又2c=4,②

a2=b2+c2,③

由①②③解得a2=9,b2=6,c2=3,

∴椭圆C的方程为=1.

7　联立两式相减得,又a≠b,

所以x2=y2=,

故四边形ABCD为正方形,其面积为(*)

由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,所以a2=4,所以椭圆C1的离心率e=

8.解 由题意得F1(-1,0),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,

所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,

其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为,

所以点M的轨迹方程为=1.

9.解 椭圆方程可化为=1,m>0.

∵m->0,∴m>

∴a2=m,b2=,c=

由e=,得,∴m=1.

∴椭圆的标准方程为x2+=1,∴a=1,b=,c=

∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-,0),F2(,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-),B2(0,).

10.C　椭圆C1:=1的离心率e1=,双曲线C2:=1的离心率e2=,由,得,则a=b.由得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为=1.故选C.

11.BD　对于A选项,设A(x1,y1),B(x2,y2),

则M().

由已知得=1,=1,两式相减,整理得=-2,即kAB·kOM=-2≠-1,

故选项A错误.

对于B选项,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确.

对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M,则kAB·kOM=1×4=4≠-2,所以选项C错误.

对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-,所以|AB|=,故选项D正确.

12.ABC　由椭圆=1可得a=5,b=4,c=3,所以A正确.

|FP1|的最小值为a-c=5-3=2,所以B正确.

设|FP1|,|FP2|,|FP3|,…组成公差为d(d>0)的等差数列{an},可得该数列为递增数列,a1=|FP1|≥2,an=|FPn|≤a+c=8,又d=,

所以d,

所以C正确,D不正确.

13　据题意,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,

所以)(|PF1|+|PF2|)=(5+),

当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=,|PF1|=时,等号成立.

14　设A(x1,y1),Q(x2,y2),

则B(-x1,-y1),P(x1,-y1),M(x1,-y1),

由AB⊥AQ,得=-1,

由B,M,Q三点共线,得,

故=-,即=-).

又因为=1,=1,

所以=0,

所以,故椭圆C的离心率是

15. (0,]　如图所示,设椭圆的右焦点为E,则四边形AFBE是平行四边形,∵∠AFB≥120°,

∴∠FAE≤60°.

设|AE|=m,|AF|=n,由椭圆的定义可知,m+n=2a,则mn=a2.

在△AFE中,由余弦定理知,

cos∠FAE=-1=-1-1=1-2e2.

∵∠FAE≤60°,∴cos∠FAE∈[,1),∴1-2e2,

∴e2又0<e<1,∴e∈(0,].

16.解 (1)因为|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2.

又点P(-1,)在椭圆上,所以=1,所以c=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为=1.

(2)由(1)知点A(2,0),因为点P,所以直线AP的方程为x+2y-2=0,所以H(0,1).

当直线MN与x轴垂直时,不合题意.

当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,

由可得(4k2+3)x2+8kx-8=0.

设点M(x1,y1),N(x2,y2),则

由S△HMA=6S△PHN,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,

代入①,可得所以3,

解得k=±,所以直线MN的方程为y=x+1或y=-x+1.

17.(6,8]　由(x-1)2+y2=a2(x<0),令y=0,可得x=1-a,即A1(1-a,0).

由半椭圆的方程可得A2(a,0),B2(0,b),B1(0,-b),由∠B1FB2=120°,可得,由F(1,0)可得b=,所以a=2,所以半椭圆和圆弧的方程分别为=1(x≥0),(x-1)2+y2=4,所以A1(-1,0),A2(2,0), B1(0,-),B2(0,),可得A1相当于椭圆的左焦点,△A1PQ的周长为|PF|+|PA1|+|A1Q|+|QF|,当点P,Q均在半椭圆上时,|PF|+|PA1|=4,|A1Q|+|QF|=4,此时△A1PQ的周长为8.当点P,Q有一个在半椭圆上,另一个在圆弧上时,不妨设点P在圆弧上,则|A1Q|+|QF|=4,|PF|=2,0<|PA1|<2,此时△A1PQ的周长的取值范围为(6,8).

综上所述,△A1PQ的周长的取值范围为(6,8].