人教版高中数学高考一轮复习训练--直线与圆锥曲线

这是一份人教版高中数学高考一轮复习训练--直线与圆锥曲线，共10页。试卷主要包含了基础巩固，能力提升，探究创新等内容，欢迎下载使用。

考点规范练47　直线与圆锥曲线
一、基础巩固
1.已知椭圆x236+y29=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A.12 B.-12
C.2 D.-2
2.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·FP的最大值为(　　)
A.2 B.3
C.6 D.8
3.已知直线l与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,M是线段AB的中点,若l与OM(O是原点)的斜率的乘积等于1,则此双曲线的离心率为(　　)
A.3 B.2
C.3 D.2
4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点F的直线交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为6,则|AB|=(　　)
A.6 B.8
C.12 D.16
5.已知抛物线y2=4x,过其焦点F的直线l与抛物线分别交于A,B两点(A在第一象限内),AF=3FB,过AB的中点且垂直于l的直线与x轴交于点G,则△ABG的面积为(　　)
A.839 B.1639
C.3239 D.6439
6.已知过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线,与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为　　　　　. 
7.设过抛物线y2=2px(p>0)上任意一点P(异于原点O)的直线与抛物线y2=8px(p>0)交于A,B两点,直线OP与抛物线y2=8px(p>0)的另一个交点为Q,则S△ABQS△ABO=　　　　　. 
8.已知双曲线与椭圆x29+y23=1有相同的焦点,且以x+2y=0为其一条渐近线,则双曲线方程为　　　　　,过其右焦点且长为4的弦有　　　条. 
9.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-2,2),B(2,2),直线AM,BM交于点M,且直线AM与直线BM的斜率满足:kAM-kBM=-2.
(1)求点M的轨迹C的方程;
(2)设直线l交曲线C于P,Q两点,若直线AP与直线AQ的斜率之积等于-2,证明:直线l过定点.
















二、能力提升
10.已知椭圆x216+y24=1,过其右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.2
11.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,双曲线C的一条渐近线为l,以F为圆心的圆与l相交于M,N两点,MF⊥NF,O为坐标原点,OM=λON(2≤λ≤5),则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A.52,2 B.52,133
C.103,133 D.103,345
12.(多选)已知B1,B2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)短轴的两个端点,点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点,点Q与点P关于y轴对称,则下列四个结论正确的是(　　)
A.直线PB1与PB2的斜率之积为定值-a2b2
B.PB1·PB2>0
C.△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a
D.直线PB1与QB2的交点M的轨迹为双曲线
13.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与抛物线C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k=　　　　　. 
14.已知m,n,s,t均为正实数,m+n=2,ms+nt=9,当s+t取最小值49时,m,n对应的点(m,n)是双曲线x24−y22=1一条弦的中点,则此弦所在的直线方程为　　　　　　　. 
15.设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,已知椭圆的离心率为53,|AB|=13.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k的值.







16.在平面直角坐标系中,点F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线C的离心率为2,点1,32在双曲线C上.不在x轴上的动点P与动点Q关于原点O对称,且四边形PF1QF2的周长为42.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)在动点P的轨迹上有两个不同的点M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点为G,已知点(x1,x2)在圆x2+y2=2上,求|OG|·|MN|的最大值,并判断此时△OMN的形状.










17.已知O为坐标原点,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,双曲线x24-y2=1的渐近线与椭圆C的交点到原点的距离均为102.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若点D,M,N为椭圆C上的动点,M,O,N三点共线,直线DM,DN的斜率分别为k1,k2.
①证明:k1k2=-14;
②若k1+k2=0,设直线DM过点(0,m),直线DN过点(0,n),证明:m2+n2为定值.














三、探究创新
18.已知F1,F2为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P1,233在椭圆上,且过点F2的直线l交椭圆E于A,B两点,△AF1B的周长为43.
(1)求椭圆E的方程;
(2)我们知道抛物线有性质:“过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦AB满足|AF|+|BF|=2p|AF|·|BF|.”那么对于椭圆E,是否存在实数λ,使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2|·|BF2|成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

考点规范练47　直线与圆锥曲线
1.B　设弦的端点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8,y1+y2=4,x1236+y129=1,x2236+y229=1,
两式相减,得(x1+x2)(x1-x2)36+(y1+y2)(y1-y2)9=0,
所以2(x1-x2)9=-4(y1-y2)9,
所以k=y1-y2x1-x2=-12.故选B.
2.C　由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),
则y02=31-x024(-2≤x0≤2).
因为OP=(x0,y0),FP=(x0+1,y0),
所以OP·FP=x0(x0+1)+y02=x02+x0+y02=x02+x0+31-x024=14(x0+2)2+2.
因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,OP·FP取得最大值,最大值为6.
3.D　设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),把A,B两点坐标分别代入双曲线C的方程,得x12a2-y12b2=1,x22a2-y22b2=1,
两式相减得(x1+x2)(x1-x2)a2−(y1+y2)(y1-y2)b2=0,
又x0=x1+x22,y0=y1+y22,所以x0a2=y0(y1-y2)b2(x1-x2),
所以b2a2=y0(y1-y2)x0(x1-x2)=kOM·kl=1,
所以e2=1+b2a2=2,又e>1,所以e=2.
4.A　由题意知抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),易知当直线AB垂直于x轴时,△AOB的面积为2,不满足题意,所以可设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0),与y2=4x联立,消去x得ky2-4y-4k=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=4k,y1y2=-4,所以|y1-y2|=16k2+16,
所以△AOB的面积为12×1×16k2+16=6,
解得k=±2,所以|AB|=1+1k2|y1-y2|=6.
5.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),∵AF=3FB,
∴y1=-3y2.设直线l的方程为x=my+1,
由y2=4x,x=my+1消去x,得y2-4my-4=0,∴y1y2=-4,
∴y1=23,y2=-233,∴y1+y2=4m=433,
∴m=33.∴x1+x2=103,AB的中点坐标为53,233.
∴过AB中点且垂直于直线l的直线方程为y-233=-33x-53,令y=0,可得x=113,即G113,0,
∴S△ABG=12×113-1×23+233=3239.
6.(1,5)　由题意得ba<2,∴e=ca=a2+b2a2<1+4=5.
∵e>1,∴1 7.3　设直线OP的方程为y=kx(k≠0),
由y=kx,y2=2px,解得P2pk2,2pk,
由y=kx,y2=8px,解得Q8pk2,8pk,
∴|OP|=4p2k4+4p2k2=2p1+k2k2,
|PQ|=36p2k4+36p2k2=6p1+k2k2,
∴S△ABQS△ABO=|PQ||OP|=3.
8.x24−y22=1　3　由双曲线与椭圆x29+y23=1有相同的焦点,可设双曲线的方程为x2a2−y26-a2=1,
又双曲线以x+2y=0为其一条渐近线,所以6-a2a2=12,
解得a2=4.
所以双曲线的方程为x24−y22=1.
右焦点坐标为(6,0),当过右焦点的直线垂直于x轴时,代入双曲线方程得y=±1,则弦长为2<4,不满足题意.
当过右焦点的直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-6),代入双曲线方程得(2k2-1)x2-46k2x+12k2+4=0,设直线与双曲线的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1+x2=46k22k2-1,x1x2=12k2+42k2-1,
所以弦长为1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)12k2-11=4,
解得k=0或k=±2.
故满足题意的弦有3条.
9.(1)解 设M(x,y),又A(-2,2),B(2,2),
则kAM-kBM=y-2x+2−y-2x-2=8-4yx2-4=-2,
可得x2=2y(x≠±2),
故点M的轨迹C的方程为x2=2y(x≠±2).
(2)证明 设点Pm,m22,Qn,n22,m≠±2,n≠±2,
又A(-2,2),可得kAP·kAQ=m22-2m+2·n22-2n+2=m-22·n-22=-2,即mn=2(m+n)-12,易知m≠n,
则直线l的斜率为kPQ=m22-n22m-n=m+n2,
可得直线l的方程为y-m22=m+n2(x-m),
即y=m+n2x-mn2,
可化为y-6=m+n2(x-2),
故直线l恒过定点(2,6).
10.B　∵c2=a2-b2=16-4=12,∴c=23.
∴椭圆的右焦点为F(23,0).
∴过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线方程为my=x-23,其中m=1k.
设A(x1,y1),B(x2,y2).
由my=x-23,x216+y24=1消去x,得(4+m2)y2+43my-4=0.
∴y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2.
∵AF=3FB,∴-y1=3y2.
联立方程组y1+y2=-43m4+m2,y1y2=-44+m2,-y1=3y2,消去y1,y2得m2=12,
∴1k2=12,即k2=2.
又k>0,∴k=2.
11.C　不妨令直线l的方程为y=bax,
设|MF|=|NF|=r,
取Q为MN的中点,
由题意可知△MNF为等腰直角三角形,
则FQ⊥MN,|FQ|=|NQ|=|MQ|=2r2.
在Rt△OFQ中,tan∠FOQ=|FQ||OQ|=ba,
∴|OQ|=ar2b.
∴|ON|=|OQ|-|NQ|=r2a-bb,|OM|=|OQ|+|MQ|=r2a+bb.
又OM=λON(2≤λ≤5),∴r2a+bb=λr2a-bb,
整理得λ=a+ba-b∈[2,5],
∴2a≥3b,a≤3b,
即4a2≥9b2,a2≤9b2,
即4a2≥9(c2-a2),a2≤9(c2-a2),
解得109≤c2a2≤139.
∴103≤e≤133.
12.BC　如图,设P(x0,y0),

则x02a2+y02b2=1,kPB1·kPB2=y0+bx0·y0-bx0=y02-b2x02=-b2a2,A不正确.
∵点P在圆x2+y2=b2外,∴x02+y02-b2>0,∴PB1·PB2=(-x0,-b-y0)·(-x0,b-y0)=x02+y02-b2>0,B正确.
如图,当点P在长轴的顶点A上时,∠B1PB2最小且为锐角,设△PB1B2的外接圆半径为r,由正弦定理可得2r=2bsin∠B1PB2≤2bsin∠B1AB2=2bsin2∠OAB2=2b2aba2+b2=a2+b2a.
∴r≤a2+b22a,∴△PB1B2的外接圆半径的最大值为a2+b22a,C正确.
直线PB1的方程为y+b=y0+bx0x,直线QB2的方程为y-b=y0-b-x0x,两式相乘可得y2-b2=y02-b2-x02x2,
可化为y2b2−x2a2=1,∵点P不与点B1,B2重合,∴点M的轨迹为双曲线的一部分,∴D不正确.
13.2　由题意知抛物线C的焦点为(1,0),则过抛物线C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x-1)(k≠0),
由y=k(x-1),y2=4x,消去y得k2(x-1)2=4x,
即k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1.
由y=k(x-1),y2=4x,消去x得y2=41ky+1,
即y2-4ky-4=0,
则y1+y2=4k,y1y2=-4.
因为∠AMB=90°,
所以有MA·MB=(x1+1,y1-1)·(x2+1,y2-1)=x1x2+x1+x2+1+y1y2-(y1+y2)+1=0,①
将x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1与y1+y2=4k,y1y2=-4代入①,得k=2.
14.x-2y+1=0　由已知得s+t=19(s+t)ms+nt=19m+n+mts+nst≥19(m+n+2mn)=19(m+n)2.
因为s+t的最小值是49,
所以19(m+n)2=49,
m+n=2,又m+n=2,所以m=n=1.
设以点(1,1)为中点的弦的两个端点的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2),
则有x1+x22=y1+y22=1,即x1+x2=y1+y2=2.①
又该两点在双曲线上,则有x124−y122=1,x224−y222=1,两式相减得(x1+x2)(x1-x2)4−(y1+y2)(y1-y2)2=0.②
由①②得y1-y2x1-x2=12,即所求直线的斜率是12,
所以所求直线的方程是y-1=12(x-1),
即x-2y+1=0.
15.解 (1)设椭圆的焦距为2c,由已知有c2a2=59.
又由a2=b2+c2,可得2a=3b.
由|AB|=a2+b2=13,得a=3,b=2.
所以椭圆的方程为x29+y24=1.
(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2),
由题意,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,
从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.
易知直线AB的方程为2x+3y=6,
由2x+3y=6,y=kx,消去y,可得x2=63k+2.
由x29+y24=1,y=kx,消去y,可得x1=69k2+4.
由x2=5x1,可得9k2+4=5(3k+2),
两边平方,整理得18k2+25k+8=0,
解得k=-89或k=-12.
当k=-89时,x2=-9<0,不合题意,舍去;
当k=-12时,x2=12,x1=125,符合题意.
所以k的值为-12.
16.解 (1)设F1,F2分别为(-c,0),(c,0),
可得ca=2,b2=c2-a2=3a2,
又点1,32在双曲线C上,
∴1a2−94b2=1,
又a>0,b>0,
∴a=12,c=1.
由题意易知四边形PF1QF2为平行四边形.
∴|PF1|+|PF2|=22>2,∴动点P的轨迹是以点F1,F2分别为左、右焦点的椭圆(除左、右顶点),
∴动点P的轨迹方程为x22+y2=1(y≠0).
(2)∵x12+x22=2,x122+y12=1,x222+y22=1,∴y12+y22=1.
∴|OG|·|MN|=(x1-x2)2+(y1-y2)2·x1+x222+y1+y222
=123-2x1x2-2y1y2·3+2x1x2+2y1y2≤123-2x1x2-2y1y2+3+2x1x2+2y1y22=32,
当3-2x1x2-2y1y2=3+2x1x2+2y1y2,
即x1x2+y1y2=0时取等号,
所以|OG|·|MN|的最大值为32,此时OM⊥ON,即△OMN为直角三角形.
17.(1)解 设椭圆的半焦距为c,
由题意可得e=ca=1-b2a2=32,所以a=2b.①
因为双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±12x,
所以可设双曲线的渐近线与椭圆C在第一象限的交点为P(2t,t),所以t2+(2t)2=102,即t2=12.
因为点P在椭圆上,所以4t2a2+t2b2=1,即2a2+12b2=1.②
由①②可得a=2,b=1,
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
(2)证明 ①由题意可得点M,N关于原点对称,可设点D(x1,y1),M(x2,y2),N(-x2,-y2),
因为点D,M在椭圆上,所以x124+y12=1,x224+y22=1,
所以y12=1-x124,y22=1-x224,所以k1k2=y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=y12-y22x12-x22=1-x124-1-x224x12-x22=-14.
②可设k1>0,k2<0,因为k1+k2=0,k1k2=-14,
所以k1=12,k2=-12.
因为直线DM过点(0,m),直线DN过点(0,n),
所以直线DM的方程为y=12x+m,DN的方程为y=-12x+n.
由y=12x+m,x2+4y2=4,可得x2+2mx+2m2-2=0,
所以x1x2=2m2-2.
由y=-12x+n,x2+4y2=4,可得x2-2nx+2n2-2=0,
所以-x1x2=2n2-2,所以x1x2+(-x1x2)=2m2+2n2-4=0,所以m2+n2=2,为定值.
18.解 (1)根据椭圆的定义,可得|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,
∴△AF1B的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a,
∴4a=43,a=3,
∴椭圆E的方程为x23+y2b2=1.
将P1,233代入得b2=2,
∴椭圆E的方程为x23+y22=1.
(2)由(1)可知4c2=a2-b2=1,得点F2(1,0),由题意可知直线l的斜率不为0,故可设直线l的方程为x=my+1,
由x23+y22=1,x=my+1,消去x,整理得(2m2+3)y2+4my-4=0.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=-4m2m2+3,y1y2=-42m2+3.
不妨设y1>0,y2<0,
则|AF2|=(x1-1)2+y12=(my1+1-1)2+y12=m2+1·|y1|=m2+1·y1.
同理|BF2|=m2+1·|y2|=-m2+1·y2.
所以1|AF2|+1|BF2|=1m2+1·y1+1-m2+1·y2=1m2+11y1-1y2
=1m2+1·y2-y1y1y2=1m2+1·-|y2-y1|y1y2
=1m2+1·-16n2+16(2m2+3)2m2+3-42m2+3
=1m2+1·43(m2+1)4=3,
即|AF2|+|BF2|=3|AF2|·|BF2|.
所以存在实数λ=3,使得|AF2|+|BF2|=λ|AF2|·|BF2|成立.