2021年初中数学二轮复习 规律探索问题 练习

规律探索问题

类型1　数字规律

1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是____分．

解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n个数为1＋3(n－1)＝3n－2，3n－2＝2020，则n＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．

2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．

3．计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是___．

解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n2

＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n－1)n＋n

＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n－1)n]

＝＋{(1×2×3－0×1×2)＋(2×3×4－1×2×3)＋(3×4×5－2×3×4)＋…＋[(n－1)·n·(n＋1)－(n－2)·(n－1)·n]}＝＋[(n－1)·n·(n＋1)]＝，

∴当n＝29时，原式＝＝8555.

类型2　图形规律

4．观察下列的“蜂窝图”

则第n个图案中的“”的个数是__3n＋1__．(用含有n的代数式表示)

5．将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n个图形中“○“的个数是78，则n的值是( B )

A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14

解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n个图形有1＋2＋3＋…＋n＝个小圆；∵第n个图形中“○“的个数是78，∴78＝，解得：n1＝12，n2＝－13(不合题意舍去)．

6．观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )

A．121  B．362  C．364  D．729

解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，

类型3　坐标变化规律

7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)，若规定以下三种变换：①△(a，b)＝(－a，b)；②○(a，b)＝(－a，－b)；③Ω(a，b)＝(a，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．

8．如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，)__，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为　(＋

896)π　．

解析：如图作B3E⊥x轴于E，易知OE＝5，B3E＝，∴B3(5，)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M的运动路径为＋＋＝()π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672·()π＋π＝(＋896)π.

9．如图，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2落在直线y＝－x上，依次进行下去…若点B的坐标是(0，1)，则点O12的纵坐标为__(－9－9，9＋3)__．

解：观察图象可知，O12在直线y＝－x时，OO12＝6·OO2＝6(1＋＋2)＝18＋6，

∴O12的横坐标＝－(18＋6)·cos30°＝－9－9，

O12的纵坐标＝OO12＝9＋3，∴O12(－9－9，9＋3)．

10．定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )

A．2  B．3  C．4  D．5

解析：如图，∵到直线l1的距离是l的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离为2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M1，M2，M3，M4，一共4个．

11．在平面直角坐标系中，对图形F给出如下定义：如图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD的坐标角度是90°.现将二次函数y＝ax2(1≤a≤3)的图象在直线y＝1下方的部分沿直线y＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )

A．30°≤α≤60°  B．60°≤α≤90°

C．90°≤α≤120°  D．120°≤α≤150°

12．赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1，C1，C2，C3，…，Cn在直线y＝－x＋上，顶点D1，D2，D3，…，Dn在x轴上，则第n个阴影小正方形的面积为__()2n－2__．

解：设第n个大正方形的边长为an，则第n个阴影小正方形的边长为an，当x＝0时，y＝－x＋＝，∴＝a1＋a1，∴a1＝.∵a1＝a2＋a2，∴a2＝，同理可得：a3＝a2，a4＝a3，a5＝a4，…，∴an＝()n－1a1＝()n－1，∴第n个阴影小正方形的面积为(an)2＝[()n－1]2＝()2n－2.