2021年初中数学二轮复习 专题训练 规律探索型问题 作业

规律探索型问题

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）

1．观察下列等式： 根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ）

A．0 B．1 C．7 D．8

【答案】A

【解析】

∵

∴个位数4个数一循环，

∴，

∴，

∴的结果的个位数字是：0．

故选A．

2．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m+n的值为（　　）

A．33 B．301 C．386 D．571

【答案】C

【解析】

由图形知第n个三角形数为1+2+3+…+n=，第n个正方形数为n2，

当n=19时，=190＜200，当n=20时，=210＞200，

所以最大的三角形数m=190；

当n=14时，n2=196＜200，当n=15时，n2=225＞200，

所以最大的正方形数n=196，

则m+n=386，

故选C．

3．已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是，-1的差倒数是．如果，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么的值是（　　）

A．-7.5 B．7.5 C．5.5 D．-5.5

【答案】A

【解析】

∵，

∴，，，……

∴这个数列以-2，，依次循环，且，

∵，

∴，

故选：A．

4．如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，

符合此要求的只有：

故选C．

5．将正整数1至2018按一定规律排列如下表：

平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　）

A．2019 B．2018 C．2016 D．2013

【答案】D

【解析】

设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，

∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x，

根据题意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013，

解得：x=673或x=672（舍去）或x=672或x=671，

∵673=84×8+1，

∴2019不合题意，舍去；

∵672=84×8，

∴2016不合题意，舍去；

∵671=83×7+7，

∴三个数之和为2013，

故选D．

6．下面摆放的图案，从第二个起，每个都是前一个按顺时针方向旋转90°得到，第2019个图案中箭头的指向是(      )

A．上方 B．右方 C．下方 D．左方

【答案】C

【解析】

如图所示：每旋转4次一周，2019÷4＝504…3，

则第2019个图案中箭头的指向与第3个图案方向一致，箭头的指向是下方，

故选C.

7．观察等式：；；已知按一定规律排列的一组数：、、、、、．若，用含的式子表示这组数的和是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

250＋251＋252＋…＋299＋2100

＝a＋2a＋22a＋…＋250a

＝a＋(2＋22＋…＋250)a，

∵，

，

，

…，

∴2＋22＋…＋250＝251－2，

∴250＋251＋252＋…＋299＋2100

＝a＋(2＋22＋…＋250)a

＝a＋(251－2)a

＝a＋(2 a－2)a

＝2a2－a    ，

故选C.

二、填空题（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）

9．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．

【答案】6058

【解析】

由图可得，

第1个图象中〇的个数为：，

第2个图象中〇的个数为：，

第3个图象中〇的个数为：，

第4个图象中〇的个数为：，

……

∴第2019个图形中共有：个〇，

故答案为：6058．

10．将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵

则第20行第19个数是_____________________

【答案】625

【解析】

由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，

∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628，

∴第20行第19个数是：628-3=625，

故答案为：625．

11．数轴上两点的距离为4，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，那么线段的长度为_______（，是整数）．

【答案】

【解析】

由于OA=4，

所有第一次跳动到OA的中点A1处时，OA1=OA=×4=2，

同理第二次从A1点跳动到A2处，离原点的（）2×4处，

同理跳动n次后，离原点的长度为（）n×4=，

故线段AnA的长度为4-（n≥3，n是整数）．

故答案为4-．

12．如图，在中，，，过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；过点作，垂足为点，过点作交于点，得到；……按照上面的作法进行下去，则的面积为_____．（用含正整数n的代数式表示）

【答案】

【解析】

由等腰三角形的性质得出，由含30°角直角三角形的性质得出，

解：，，

，

，

，

，

，

，

，

，

同理，，

，

同理，，

，

，

，

同理，，

，

，

…，

，

故答案为：．

三、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．观察以下等式:

第1个等式:，

第2个等式:，

第3个等式:，

第4个等式:，

第5个等式:，

……按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：                    ；

（2）写出你猜想的第n个等式：                    (用含n的等式表示)，并证明.

【答案】（1）；（2），见解析.

【解析】

解：（1）第6个等式：

（2）

证明：∵右边左边.

∴等式成立

14．（阅读理解）

用的矩形瓷砖，可拼得一些长度不同但宽度均为的图案．已知长度为、、的所有图案如下：

（尝试操作）

(1)如图，将小方格的边长看作，请在方格纸中画出长度为的所有图案．

（归纳发现）

(2)观察以上结果，探究图案个数与图案长度之间的关系，将下表补充完整．

【答案】(1)见解析；(2)，，.

【解析】

 (1)如图：

根据作图可知时，所有图案个数个；

(2)时，如图所示，所有图案个数个；

同理，时，所有图案个数个，

故答案为，，.

15．问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a× b  的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数） ．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在 2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于 2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 3×2  的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×4＝8种

不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤， 在 a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．

……

问题解决：

把图①放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．

【答案】探究三：，  ；探究四：，  ；问题解决：共有种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(b-1)(c-1).

【解析】

探究三：

根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的 2×2方格，

根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）种不同的放置方法；

故答案为a-1，4a-4；

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a-1）条边长为2的线段，

同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，

所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的2×2方格，

根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）种不同的放置方法．

故答案为2a-2，8a-8；

问题解决：

在a×b的方格纸中，共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的2×2方格，

依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法；

问题拓展：

发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，

这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段，

所以在a×b×c的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方体，

再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，

所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图⑦这样的几何体；

故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）．