高考数学(理数)二轮复习专题强化训练10《三角恒等式》 (教师版)

这是一份高考数学(理数)二轮复习专题强化训练10《三角恒等式》 (教师版)，共7页。
[A组　夯基保分专练]一、选择题1．已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B.易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B为(　　)A.　　　　　　　　　 B.C.   D.解析：选A.由bsin B－asin A＝asin C，且c＝2a，得b＝a，因为cos B＝＝＝，所以sin B＝ ＝.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2＝c2＋ac－bc，则＝(　　)A.   B.C.   D.解析：选B.由a，b，c成等比数列得b2＝ac，则有a2＝c2＋b2－bc，由余弦定理得cos A＝＝＝，故A＝，对于b2＝ac，由正弦定理得，sin2 B＝sin Asin C＝·sin C，由正弦定理得，＝＝＝.故选B.4．在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于(　　)A．1   B.C.   D．2解析：选A.法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·ACsin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1，故选A.法二：因为tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－<0，则∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A.5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)A.   B.C.   D.解析：选B.因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0，所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得sin C(sin A＋cos A)＝0.因为sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0，所以tan A＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝.由正弦定理得sin C＝＝＝，又0<C<，所以C＝.6.如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cos A等于(　　)A.   B.C.   D.解析：选C.依题意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cos A＝. 二、填空题7．若sin＝，则cos＝________．解析：依题意得cos＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.答案：－8．在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝________．解析：因为cos C＝2cos2 －1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4.答案：49．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2.答案：(4，2)三、解答题10．在△ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccos B＝2a＋b.(1)求C；(2)若a＋b＝6，△ABC的面积为2，求c.解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B，又sin A＝sin(B＋C)，所以2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B，所以2sin Ccos B＝2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B，所以2sin Bcos C＋sin B＝0，因为sin B≠0，所以cos C＝－.又C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为S△ABC＝absin C＝2，所以ab＝8，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝28，所以c＝2.11．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且＝tan A＋tan B.(1)求角A的大小；(2)设AD为BC边上的高，a＝，求AD的取值范围．解：(1)在△ABC中，因为＝tan A＋tan B，所以＝＋，即＝，所以＝，则tan A＝，所以A＝.(2)因为S△ABC＝AD·BC＝bcsin A，所以AD＝bc.由余弦定理得cos A＝＝≥，所以0<bc≤3(当且仅当b＝c时等号成立)，所以0<AD≤.12．已知△ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，c＝3.(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD＝，求△ABC的面积．解：(1)对于2R(sin2B－sin2A)＝(b－c)sin C，由正弦定理得，bsin B－asin A＝bsin C－csin C，即b2－a2＝bc－c2，所以cos A＝＝，因为0°<A<180°，所以A＝60°.(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线．在△ABE中，∠ABE＝120°，AE＝2AD＝，在△ABE中，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BEcos 120°，即19＝9＋AC2－2×3×AC×，得AC＝2.故S△ABC＝bcsin∠BAC＝.[B组　大题增分专练]1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S＝b2sin A.(1)求的值；(2)设内角A的平分线AD交于BC于D，AD＝，a＝，求b.解：(1)由S＝bcsin A＝b2sin A，可知c＝2b，即＝2.(2)由角平分线定理可知，BD＝，CD＝，在△ABC中，cos B＝，在△ABD中，cos B＝，即＝，解得b＝1.2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边上的高h＝c.(1)若△ABC为锐角三角形，且cos A＝，求角C的正弦值；(2)若C＝，M＝，求M的值．解：(1)作CD⊥AB，垂足为D，因为△ABC为锐角三角形，且cos A＝，所以sin A＝，tan A＝，所以AD＝，BD＝AB－AD＝，所以BC＝＝＝，由正弦定理得：sin∠ACB＝＝＝.(2)因为S△ABC＝c×c＝absin∠ACB＝ab，所以c2＝ab，又a2＋b2－c2＝2abcos∠ACB＝ab，所以a2＋b2＝ab＋c2，所以a2＋b2＋c2＝ab＋c2＝ab＋×ab＝2ab，所以M＝＝＝2.3．已知△ABC中，D为AC边上一点，BC＝2，∠DBC＝45°.(1)若CD＝2，求△BCD的面积；(2)若角C为锐角，AB＝6，sin A＝，求CD的长．解：(1)在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 45°，即20＝8＋BD2－4BD，解得BD＝6，所以△BCD的面积S＝×2×6×sin 45°＝6.(2)在△ABC中，由＝得＝，解得sin C＝.由角C为锐角得，cos C＝，所以sin∠BDC＝sin(C＋45°)＝.在△BCD中，＝，即＝，解得CD＝.4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos ，得asin B＝acos ，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a<c，故cos A＝.因此sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos2A－1＝，所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝×－×＝.