高考数学(理数)二轮复习专题强化训练13《空间几何体》 (教师版)

一、选择题

1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A­BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正视图，下图为俯视图)(　　)

解析：选A.正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.

2．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．

易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，

AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，

因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，

所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，

所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝，PD＝2，

故△PCD不是直角三角形，故选C.

3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V＝××π×22×2＝，故选A.

4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(　　)

A. B.

C．2＋ D．4＋

解析：选B.由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V＝π×13＋π×12×2＝，故选B.

5．已知矩形ABCD的顶点都在球心为O，半径为R的球面上，AB＝6，BC＝2，且四棱锥O­ABCD的体积为8，则R等于(　　)

A．4   B．2

C. D.

解析：选A.如图，设矩形ABCD的中心为E，连接OE，EC，由球的性质可得OE⊥平面ABCD，所以VO­ABCD＝·OE·S矩形ABCD＝×OE×6×2＝8，所以OE＝2，在矩形ABCD中可得EC＝2，则R＝＝＝4，故选A.

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为(　　)

A. B.

C．2 D.

解析：选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A­BCD所示，故该几何体的体积V＝××1×2×2＝.

7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是(　　)

A．8   B．16

C．24 D．48

解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥P­ABC 所示，且长方体的长、宽、高分别为6，2，4，△ABC是直角三角形，AB⊥BC，AB＝2，BC＝6，三棱锥P­ABC的高为4，故其体积为××6×2×4＝8，故选A.

8．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选B.如图所示，设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，由题意可得＝，所以x＝2－2r，所以圆柱的体积V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)，设V(r)＝2π(r2－r3)(0<r<1)，则V′(r)＝2π(2r－3r2)，由2π(2r－3r2)＝0得r＝，所以圆柱的最大体积Vmax＝2π＝.

9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为　(　　)

A．14   B．10＋4

C.＋4 D.＋4

解析：选D.由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S＝2×＋×(22－12)＋×22＋2×2＋××()2＝＋4，故选D.

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为(　　)

A．3   B．2

C. D．2

解析：选B.由三视图得，该几何体是四棱锥P­ABCD，如图所示，ABCD为矩形，AB＝2，BC＝3，平面PAD⊥平面ABCD，过点P作PE⊥AD，则PE＝4，DE＝2，所以CE＝2，所以最长的棱PC＝＝2，故选B.

11．已知三棱锥P­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC满足AB＝2，∠ACB＝90°，PA为球O的直径且PA＝4，则点P到底面ABC的距离为(　　)

A.   B．2

C. D．2

解析：选B.取AB的中点O1，连接OO1，如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆，所以O1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直径PA＝4，所以OA＝2，所以OO1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以点P到平面ABC的距离为2OO1＝2.

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A.记该正方体为ABCD­A′B′C′D′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A′A，A′B′，A′D′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB′，AD′，B′D′，因为三棱锥A′­AB′D′是正三棱锥，所以A′A，A′B′，A′D′与平面AB′D′所成的角都相等．分别取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′的中点E，F，G，H，I，J，连接EF，FG，GH，IH，IJ，JE，易得E，F，G，H，I，J六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB′D′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以该正六边形的面积为6××＝，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为，故选A.

二、填空题

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是一个对角线长为2的正方形，底面积S＝×2×2＝2，高h＝1，则该几何体的体积V＝Sh＝.

答案：

14．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

解析：在长、宽、高分别为3，3，3的长方体中，由几何体的三视图得几何体为如图所示的三棱锥C­BAP，其中底面BAP是∠BAP＝90°的直角三角形，AB＝3，AP＝3，所以BP＝6，又棱CB⊥平面BAP且CB＝3，所以AC＝6，所以该几何体的表面积是×3×3＋×3×3＋×6×3＋×6×3＝27.

答案：27

15．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为________．

解析：如图所示，设S在底面的射影为S′，连接AS′，SS′.△SAB的面积为·SA·SB·

sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4.因为SA与底面所成的角为45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4×＝2.所以底面周长l＝2π·AS′＝4π，所以圆锥的侧面积为×4×4π＝40π.

答案：40π

16．已知正四棱柱的顶点在同一个球面上，且球的表面积为12π，当正四棱柱的体积最大时，正四棱柱的高为________．

解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为r，由题意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的体积V＝a2h＝h，则V′＝6－h2，由V′>0，得0<h<2，由V′<0，得h>2，所以当h＝2时，正四棱柱的体积最大，Vmax＝8.

答案：2