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福建省福州市鼓楼区立志中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份福建省福州市鼓楼区立志中学2021-2022学年八年级上学期期末考试数学试卷（word版 含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年福建省福州市鼓楼区立志中学八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式的值为零，那么x的值为（ ）
A．x＝1或x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
4．下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
5．如图，若∠B＝∠C＝90°，AB＝AC，则△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
6．下面的计算正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a2＝a3
7．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
9．如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
10．计算（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣2021）（2+3+4+……+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣……﹣2022）（2+3+4+……+2021）＝（ ）
A．﹣2022 B．﹣2021 C．2021 D．2022
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：2x2﹣6x＝ ．
12．已知流感病毒的直径为0.00000008米，数据0.00000008用科学记数法可以表示为 ．
13．已知xm＝5，xn＝3，则xm+2n的值为 ．
14．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
15．如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是 ．
16．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，则CF+EF的最小值是 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：×﹣﹣（）2．
18．计算（2+y）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．
19．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝EC，∠A＝∠D，∠B＝∠E．
求证：AB＝DE．
20．解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣2
21．如图，△ABC是等边三角形，E是AB边上一点．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BD，交AC于D，连接ED，延长DE、BC交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若DE⊥AB，当AE＝2时，求BF的长．
22．2021年10月17日是我国第8个扶贫日，也是第29个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？
（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ；
（2）化简+++……+；
（3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
25．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
解：“立”、“志”、“学”均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
“中”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
3．若分式的值为零，那么x的值为（ ）
A．x＝1或x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
解：依题意，得
x2﹣1＝0，且x+1≠0，
解得x＝1．
故选：B．
4．下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；
故选：B．
5．如图，若∠B＝∠C＝90°，AB＝AC，则△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可．
解：∠B＝∠C＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故选：D．
6．下面的计算正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a2＝a3
【分析】选项A根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
解：A．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．（﹣a3）2＝a6，故本选项符合题意；
D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝DA+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝6cm，
故选：D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【分析】根据勾股定理得a2+b2＝c2，再根据已知条件由完全平方公式即可得出ab的值，即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
a2+b2＝c2，
∵a+b＝14cm，c＝10cm，
∴（a+b）2＝196，
即2ab＝196﹣（a2+b2）＝196﹣c2＝196﹣100＝96，
∴，
∴Rt△ABC的面积是24cm2，
故选：A．
9．如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
【分析】过点N作ND⊥y轴于点D，证明△MOP≌△PDN（AAS），由全等三角形的性质可得出OM＝PD＝4，则可得出答案．
解：过点N作ND⊥y轴于点D，
∵P（0，2），N（2，﹣2），
∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，
∴PD＝4，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴∠MPO+∠DPN＝90°，
又∵∠DPN+∠PND＝90°，
∴∠MPO＝∠PND，
又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，
∴△MOP≌△PDN（AAS），
∴OM＝PD＝4，
∴M（﹣4，0），
故选：D．
10．计算（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣2021）（2+3+4+……+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣……﹣2022）（2+3+4+……+2021）＝（ ）
A．﹣2022 B．﹣2021 C．2021 D．2022
【分析】设x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，则1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，2+3+…+2021＝y﹣2022，整体代入计算即可．
解：设x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，
则1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，
2+3+…+2021＝y﹣2022，
x+y＝1+2022＝2023，
所以原式＝xy﹣（x﹣2022）（y﹣2022）
＝xy﹣xy+2022（x+y）﹣20222
＝2022×2023﹣20222
＝2022（2022+1）﹣20222
＝2022．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：2x2﹣6x＝ 2x（x﹣3） ．
【分析】直接提取公因式2x即可．
解：2x2﹣6x＝2x（x﹣3）．
故答案为：2x（x﹣3）．
12．已知流感病毒的直径为0.00000008米，数据0.00000008用科学记数法可以表示为 8×10﹣8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00000008＝8×10﹣8．
故答案为：8×10﹣8．
13．已知xm＝5，xn＝3，则xm+2n的值为 45 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：∵xm＝5，xn＝3，
∴xm+2n
＝xm×x2n
＝xm×（xn）2
＝5×32
＝5×9
＝45．
故答案为：45．
14．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 m＞1且m≠3 ．
【分析】根据解分式方程、解一元一次不等式解决此题．
解：∵，
∴3﹣m＝x+2．
∴x＝1﹣m．
∵关于x的分式方程的解为负数，
∴1﹣m＜0且1﹣m≠﹣2．
∴m＞1且m≠3．
故答案为：m＞1且m≠3．
15．如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是 10° ．
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
解：连接OA、OB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
故答案为：10°．
16．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，则CF+EF的最小值是 ．
【分析】过点C作CH⊥AB交于H，交BD于F，过点F作EF⊥BC交于E，此时CF+EF的值最小，求出HC的长即可．
解：过点C作CH⊥AB交于H，交BD于F，过点F作EF⊥BC交于E，
∵BD平分∠ABC，
∴HF＝EF，
∴CF+EF＝CF+HF＝CH，此时CF+EF的值最小，
∵∠A＝45°，AC＝2，
∴CH＝AH＝，
∴CF+EF的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：×﹣﹣（）2．
【分析】原式利用二次根式的乘除法则，以及乘方的意义计算即可得到结果．
解：原式＝﹣﹣2
＝﹣﹣2
＝1﹣﹣2
＝﹣﹣1．
18．计算（2+y）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．
【分析】利用平方差公式和多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简．
解：原式＝y2﹣4+2y2+6y﹣4y﹣12
＝3y2+2y﹣16．
19．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝EC，∠A＝∠D，∠B＝∠E．
求证：AB＝DE．
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE．
20．解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣2
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
21．如图，△ABC是等边三角形，E是AB边上一点．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BD，交AC于D，连接ED，延长DE、BC交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若DE⊥AB，当AE＝2时，求BF的长．
【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线，然后利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，AD＝CD，∠ABD＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，再求出BE，最后得到BF的长．
解：（1）如图，BD，EF为所作；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD平分ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，∠ABD＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠F＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝2AE＝4，
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣2＝6，
在Rt△BEF中，BF＝2BE＝12．
22．2021年10月17日是我国第8个扶贫日，也是第29个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？
（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？
【分析】（1）设每辆乙种货车可装x箱生姜，则每辆甲种货车可装（x+20）箱生姜，根据甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲种货车有m辆，则乙种货车有（16﹣m）辆，根据“这批生姜有1535箱，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出甲种货车的数量，再将其代入（16﹣m）中即可求出乙种货车的数量．
解：（1）设每辆乙种货车可装x箱生姜，则每辆甲种货车可装（x+20）箱生姜，
依题意得：＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100．
答：每辆甲种货车可装100箱生姜，每辆乙种货车可装80箱生姜．
（2）设甲种货车有m辆，则乙种货车有（16﹣m）辆，
依题意得：100m+80（16﹣m﹣1）+55＝1535，
解得：m＝14，
∴16﹣m＝16﹣14＝2．
答：甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ﹣ ；
（2）化简+++……+；
（3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a＝+2得到a﹣2＝，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）＝＝﹣；
故答案为﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝13﹣1
＝12；
（3）∵a＝＝+2，
∴a﹣2＝，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2×1﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝＝（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝（7）cm．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
25．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．
【分析】（1）①利用SAS证明△ABD≌△ACM可得结论；
②由①知：△ABD≌△ACM，得∠ACM＝∠B＝30°，根据直角三角形含30°角的性质可得CD＝2BD，从而得结论；
（2）介绍两种解法：
解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，证明△ADF∽△AEG，列比例式可得DF的长，由勾股定理可得EF的长，相加可得结论；
解法二：如图3，作辅助线构建全等三角形，由（1）同理得△ABD≌△ACM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，证明△ADE≌△AME（SAS），得EM＝DE＝5﹣2x，最后利用勾股定理列方程可解答．
【解答】（1）①证明：如图1，
∵∠BAC＝∠DAM＝120°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM；
②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
由①知：△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CM＝CD，
∵BD＝CM，
∴＝；
（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，
Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，
∴EG＝CE＝，CG＝，
∵AC＝AB＝2，
∴AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴AF＝AC＝，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠DAF＝∠EAG，
∵∠AFD＝∠AGE＝90°，
∴△ADF∽△AEG，
∴，即＝，
∴DF＝，
由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，
∴，
解得：EF＝2或﹣2（舍），
∴DE＝DF+EF＝+2＝；
解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，
由（1）同理得△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，
∴∠MCQ＝60°，
Rt△QMC中，CQ＝CM，
由图2知：AB＝2，AF＝，
由勾股定理得得：BF＝CF＝3，
∵CE＝1，
∴BE＝3+3﹣1＝5，
设CQ＝x，则CM＝BD＝2x，QM＝x，
∴EQ＝x﹣1，
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，
∴∠DAE＝∠EAM，
∵AD＝AM，AE＝AE，
∴△ADE≌△AME（SAS），
∴EM＝DE＝5﹣2x，
由勾股定理得：EM2＝EQ2+QM2，
∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，
解得：x＝，
∴DE＝5﹣2x＝．
2021-2022学年福建省福州市鼓楼区立志中学八年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若分式的值为零，那么x的值为（ ）
A．x＝1或x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
4．下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
5．如图，若∠B＝∠C＝90°，AB＝AC，则△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
6．下面的计算正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a2＝a3
7．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
9．如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
10．计算（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣2021）（2+3+4+……+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣……﹣2022）（2+3+4+……+2021）＝（ ）
A．﹣2022 B．﹣2021 C．2021 D．2022
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：2x2﹣6x＝ ．
12．已知流感病毒的直径为0.00000008米，数据0.00000008用科学记数法可以表示为 ．
13．已知xm＝5，xn＝3，则xm+2n的值为 ．
14．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
15．如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是 ．
16．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，则CF+EF的最小值是 ．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：×﹣﹣（）2．
18．计算（2+y）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．
19．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝EC，∠A＝∠D，∠B＝∠E．
求证：AB＝DE．
20．解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣2
21．如图，△ABC是等边三角形，E是AB边上一点．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BD，交AC于D，连接ED，延长DE、BC交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若DE⊥AB，当AE＝2时，求BF的长．
22．2021年10月17日是我国第8个扶贫日，也是第29个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？
（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ；
（2）化简+++……+；
（3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
25．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．
参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．中国文字博大精深，而且有许多是轴对称图形，在这四个文字中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
解：“立”、“志”、“学”均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
“中”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：C．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的概念解答即可．
解：A选项被开方数是小数，可以化成分数，有分母，不符合题意；
B选项的被开方数含分母，不符合题意；
C选项是最简二次根式，符合题意；
D选项的被开方数中有能开的尽方的因数4，不符合题意；
故选：C．
3．若分式的值为零，那么x的值为（ ）
A．x＝1或x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝﹣1 D．x＝0
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
解：依题意，得
x2﹣1＝0，且x+1≠0，
解得x＝1．
故选：B．
4．下列变形是因式分解的是（ ）
A．x（x+1）＝x2+x B．x2+2x+1＝（x+1）2
C．x2+xy﹣3＝x（x+y）﹣3 D．x2+6x+4＝（x+3）2﹣5
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．
解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故B正确；
C、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，故D错误；
故选：B．
5．如图，若∠B＝∠C＝90°，AB＝AC，则△ABD≌△ACD的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．HL
【分析】根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可．
解：∠B＝∠C＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
故选：D．
6．下面的计算正确的是（ ）
A．（ab）2＝ab2 B．a2•a3＝a6 C．（﹣a3）2＝a6 D．a6÷a2＝a3
【分析】选项A根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；
选项B根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
选项C根据幂的乘方运算法则判断即可，幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；
选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
解：A．（ab）2＝a2b2，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C．（﹣a3）2＝a6，故本选项符合题意；
D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；
故选：C．
7．如图，在△ABC中，AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧，BC＝6cm，则△ADE的周长是（ ）
A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴△ADE的周长＝DA+DE+EA＝DB+DE+EC＝BC＝6cm，
故选：D．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【分析】根据勾股定理得a2+b2＝c2，再根据已知条件由完全平方公式即可得出ab的值，即可得出结果．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：
a2+b2＝c2，
∵a+b＝14cm，c＝10cm，
∴（a+b）2＝196，
即2ab＝196﹣（a2+b2）＝196﹣c2＝196﹣100＝96，
∴，
∴Rt△ABC的面积是24cm2，
故选：A．
9．如图，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），则M的坐标是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
【分析】过点N作ND⊥y轴于点D，证明△MOP≌△PDN（AAS），由全等三角形的性质可得出OM＝PD＝4，则可得出答案．
解：过点N作ND⊥y轴于点D，
∵P（0，2），N（2，﹣2），
∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，
∴PD＝4，
∵PM⊥PN，
∴∠MPN＝90°，
∴∠MPO+∠DPN＝90°，
又∵∠DPN+∠PND＝90°，
∴∠MPO＝∠PND，
又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，
∴△MOP≌△PDN（AAS），
∴OM＝PD＝4，
∴M（﹣4，0），
故选：D．
10．计算（1﹣2﹣3﹣4﹣……﹣2021）（2+3+4+……+2022）﹣（1﹣2﹣3﹣……﹣2022）（2+3+4+……+2021）＝（ ）
A．﹣2022 B．﹣2021 C．2021 D．2022
【分析】设x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，则1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，2+3+…+2021＝y﹣2022，整体代入计算即可．
解：设x＝1﹣2﹣3﹣…﹣2021，y＝2+3+…+2022，
则1﹣2﹣3﹣…﹣2022＝x﹣2022，
2+3+…+2021＝y﹣2022，
x+y＝1+2022＝2023，
所以原式＝xy﹣（x﹣2022）（y﹣2022）
＝xy﹣xy+2022（x+y）﹣20222
＝2022×2023﹣20222
＝2022（2022+1）﹣20222
＝2022．
故选：D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．因式分解：2x2﹣6x＝ 2x（x﹣3） ．
【分析】直接提取公因式2x即可．
解：2x2﹣6x＝2x（x﹣3）．
故答案为：2x（x﹣3）．
12．已知流感病毒的直径为0.00000008米，数据0.00000008用科学记数法可以表示为 8×10﹣8 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.00000008＝8×10﹣8．
故答案为：8×10﹣8．
13．已知xm＝5，xn＝3，则xm+2n的值为 45 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
解：∵xm＝5，xn＝3，
∴xm+2n
＝xm×x2n
＝xm×（xn）2
＝5×32
＝5×9
＝45．
故答案为：45．
14．若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 m＞1且m≠3 ．
【分析】根据解分式方程、解一元一次不等式解决此题．
解：∵，
∴3﹣m＝x+2．
∴x＝1﹣m．
∵关于x的分式方程的解为负数，
∴1﹣m＜0且1﹣m≠﹣2．
∴m＞1且m≠3．
故答案为：m＞1且m≠3．
15．如图，∠A＝80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是 10° ．
【分析】连接OA、OB，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝100°，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OA＝OC，得到∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
解：连接OA、OB，
∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OA＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，
∴∠OBA+∠OCA＝80°，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣80°＝20°，
∵OB＝OC，
∴∠BCO＝∠CBO＝10°，
故答案为：10°．
16．如图，在△ABC中，∠A＝45°，AC＝2，BD平分∠ABC，E，F分别为BC，BD上的动点，则CF+EF的最小值是 ．
【分析】过点C作CH⊥AB交于H，交BD于F，过点F作EF⊥BC交于E，此时CF+EF的值最小，求出HC的长即可．
解：过点C作CH⊥AB交于H，交BD于F，过点F作EF⊥BC交于E，
∵BD平分∠ABC，
∴HF＝EF，
∴CF+EF＝CF+HF＝CH，此时CF+EF的值最小，
∵∠A＝45°，AC＝2，
∴CH＝AH＝，
∴CF+EF的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：×﹣﹣（）2．
【分析】原式利用二次根式的乘除法则，以及乘方的意义计算即可得到结果．
解：原式＝﹣﹣2
＝﹣﹣2
＝1﹣﹣2
＝﹣﹣1．
18．计算（2+y）（y﹣2）+（2y﹣4）（y+3）．
【分析】利用平方差公式和多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后合并同类项进行化简．
解：原式＝y2﹣4+2y2+6y﹣4y﹣12
＝3y2+2y﹣16．
19．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝EC，∠A＝∠D，∠B＝∠E．
求证：AB＝DE．
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】证明：∵BF＝EC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AB＝DE．
20．解分式方程：
（1）＝
（2）＝﹣2
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：（1）去分母得：2x＝3x+3，
解得：x＝﹣3，
经检验x＝﹣3是分式方程的解；
（2）去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2x+4，
移项合并得：x＝2，
经检验x＝2是增根，分式方程无解．
21．如图，△ABC是等边三角形，E是AB边上一点．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线BD，交AC于D，连接ED，延长DE、BC交于点F（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若DE⊥AB，当AE＝2时，求BF的长．
【分析】（1）利用基本作图作∠ABC的平分线，然后利用几何语言画出对应的几何图形；
（2）先根据等边三角形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，BD⊥AC，AD＝CD，∠ABD＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出AD，再求出BE，最后得到BF的长．
解：（1）如图，BD，EF为所作；
（2）∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵BD平分ABC，
∴BD⊥AC，AD＝CD，∠ABD＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠F＝30°，
在Rt△ADE中，AD＝2AE＝4，
在Rt△ABD中，AB＝2AD＝8，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣2＝6，
在Rt△BEF中，BF＝2BE＝12．
22．2021年10月17日是我国第8个扶贫日，也是第29个国际消除贫困日．为组织开展好扶贫日系列活动，加快脱贫攻坚步伐．我市决定将一批生姜送往外地销售．现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装20箱生姜，且甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等．
（1）求甲、乙两种货车每辆车可装多少箱生姜？
（2）如果这批生姜有1535箱，用甲、乙两种汽车共16辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满，求甲、乙两种货车各有多少辆？
【分析】（1）设每辆乙种货车可装x箱生姜，则每辆甲种货车可装（x+20）箱生姜，根据甲种货车装运1000箱生姜所用车辆与乙种货车装运800箱生姜所用车辆相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设甲种货车有m辆，则乙种货车有（16﹣m）辆，根据“这批生姜有1535箱，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆只装了55箱，其它装满”，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出甲种货车的数量，再将其代入（16﹣m）中即可求出乙种货车的数量．
解：（1）设每辆乙种货车可装x箱生姜，则每辆甲种货车可装（x+20）箱生姜，
依题意得：＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x+20＝80+20＝100．
答：每辆甲种货车可装100箱生姜，每辆乙种货车可装80箱生姜．
（2）设甲种货车有m辆，则乙种货车有（16﹣m）辆，
依题意得：100m+80（16﹣m﹣1）+55＝1535，
解得：m＝14，
∴16﹣m＝16﹣14＝2．
答：甲种货车有14辆，乙种货车有2辆．
23．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：
已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：
∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝﹣．
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．
∴a2﹣4a＝﹣1．
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
（1）＝ ﹣ ；
（2）化简+++……+；
（3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．
【分析】（1）利用分母有理化计算；
（2）先分母有理化，然后合并即可；
（3）先利用a＝+2得到a﹣2＝，两边平方得到a2﹣4a＝1，然后利用整体代入的方法计算．
解：（1）＝＝﹣；
故答案为﹣；
（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣
＝﹣1
＝13﹣1
＝12；
（3）∵a＝＝+2，
∴a﹣2＝，
∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．
∴a2﹣4a＝1．
∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3
＝a2×1﹣4a+3
＝a2﹣4a+3
＝1+3
＝4．
24．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【分析】（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．
（2）因为AB与CB，由勾股定理得AC＝4 因为AB为5cm，所以必须使AC＝CB，或CB＝AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．
（3）分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，t+2t﹣3＝6；当P点在AB上，Q在AC上，则AC＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，t﹣4+2t﹣8＝6．
解：（1）如图1，由∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，
∴AC＝4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP＝2，
∵∠C＝90°，
∴PB＝＝（cm），
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB＝2+5+＝（7）cm．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC＝CP＝3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP＝CB＝3cm，此时AP＝2cm，P运动的路程为2+4＝6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP＝BC＝3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD＝＝＝1.8（cm），
所以BP＝2PD＝3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6＝5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP＝CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5＝6.5cm
则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC＝t，BQ＝2t﹣3，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3＝3，
∴t＝2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP＝t﹣4，AQ＝2t﹣8，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8＝6，
∴t＝6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．
25．如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上一点．
（1）如图1，若AD＝AM，∠DAM＝120°．
①求证：BD＝CM；
②若∠CMD＝90°，求的值；
（2）如图2，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝2，∠DAE＝60°，求DE的长．
【分析】（1）①利用SAS证明△ABD≌△ACM可得结论；
②由①知：△ABD≌△ACM，得∠ACM＝∠B＝30°，根据直角三角形含30°角的性质可得CD＝2BD，从而得结论；
（2）介绍两种解法：
解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，证明△ADF∽△AEG，列比例式可得DF的长，由勾股定理可得EF的长，相加可得结论；
解法二：如图3，作辅助线构建全等三角形，由（1）同理得△ABD≌△ACM，设CQ＝x，则CM＝2x，QM＝x，证明△ADE≌△AME（SAS），得EM＝DE＝5﹣2x，最后利用勾股定理列方程可解答．
【解答】（1）①证明：如图1，
∵∠BAC＝∠DAM＝120°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAM﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAM，
∵AB＝AC，AD＝AM，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴BD＝CM；
②解：∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
由①知：△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°，
∴∠DCM＝60°，
∵∠CMD＝90°，
∴∠CDM＝30°，
∴CM＝CD，
∵BD＝CM，
∴＝；
（2）解：解法一：如图2，过点E作EG⊥AC于G，过A作AF⊥BC于F，
Rt△CEG中，∠C＝30°，CE＝1，
∴EG＝CE＝，CG＝，
∵AC＝AB＝2，
∴AG＝AC﹣CG＝2﹣＝，
∵AF⊥BC，
∴∠AFC＝90°，
∴AF＝AC＝，
∵∠DAE＝∠FAC＝60°，
∴∠DAF＝∠EAG，
∵∠AFD＝∠AGE＝90°，
∴△ADF∽△AEG，
∴，即＝，
∴DF＝，
由勾股定理得：AE2＝AF2+EF2＝AG2+EG2，
∴，
解得：EF＝2或﹣2（舍），
∴DE＝DF+EF＝+2＝；
解法二：如图3，线段AD绕点A逆时针旋转120°到AM，连接CM，EM，过M作MQ⊥BC于Q，
由（1）同理得△ABD≌△ACM，
∴∠ACM＝∠B＝30°＝∠ACB，∠BAD＝∠CAM，
∴∠MCQ＝60°，
Rt△QMC中，CQ＝CM，
由图2知：AB＝2，AF＝，
由勾股定理得得：BF＝CF＝3，
∵CE＝1，
∴BE＝3+3﹣1＝5，
设CQ＝x，则CM＝BD＝2x，QM＝x，
∴EQ＝x﹣1，
∵∠DAE＝60°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD+∠EAC＝∠EAC+∠CAM＝60°，
∴∠DAE＝∠EAM，
∵AD＝AM，AE＝AE，
∴△ADE≌△AME（SAS），
∴EM＝DE＝5﹣2x，
由勾股定理得：EM2＝EQ2+QM2，
∴（x）2+（x﹣1）2＝（5﹣2x）2，
解得：x＝，
∴DE＝5﹣2x＝．
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