还剩24页未读，
继续阅读
吉林省通化市梅河口市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
展开
这是一份吉林省通化市梅河口市2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年吉林省通化市梅河口市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题。（每小题2分，共12分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抽到的是红球 B．抽到的是白球
C．抽到的是黑球 D．抽到的是红球或白球
4．下列各点中，在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣2，﹣2） D．（2，2）
5．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．180
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
二、填空题。（每小题3分，共24分）
7．某班级有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为 ．
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
9．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 ．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB＝90°，则∠ACB的大小为 ．
12．在一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的．试验数据：
摸球的次数n
500
1000
2000
2500
3000
5000
摸到红球的次数m
351
722
1486
1870
2262
3760
摸到红球的频率
0.702
0.722
0.743
0.748
0.754
0.752
根据上表估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为 ．（精确到0.01）
13．如图，菱形∠ABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为 ．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣4x+2＝0．
16．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC．
（1）画出△DEC；
（2）边AC在旋转过程中扫过的图形面积为 ．
17．如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB的长．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，9）、（2，﹣3）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P是这条抛物线上一点，其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．甲、乙两名同学做摸球游戏游戏规则是：甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则甲胜，否则乙胜．
（1）用列表法或画树状图法，求甲胜的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（2，4）、C（4，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D（3，﹣1）与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．
（1）分别求直线与双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线C2的顶点E的坐标；
（2）将C2绕着点B旋转180°得到C3，连结C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为 ．
五、解答题。（每小题8分，共16分）
23．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C＝50°．
（1）求∠B的度数；
（2）求的长．
24．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x（分）
6
12
18
24
空气中的含药量y（毫克/立方米）
12
6
4
3
（1）在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
（3）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
六、解答题。（每小题10分，共20分）
25．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、E在BC边上，∠DAE＝45°，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
（1）求证：BF⊥BC；
（2）连接DF，求证：△ADF≌△ADE；
（3）若BD＝3，CE＝4，则DF＝ ，四边形AFDE的面积＝ ．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．P为抛物线上一点，横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）△ABP面积记为S，当0≤m≤时，求S的取值范围．
（3）当此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
参考答案
一、选择题。（每小题2分，共12分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
解：A．2x﹣2＝3，是一元一次方程，故A不符合题意；
B．x2＝2x，是一元二次方程，故B符合题意；
C．x+y＝2，是二元一次方程，故C不符合题意；
D．+x＝3，是分式方程，故D不符合题意；
故选：B．
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抽到的是红球 B．抽到的是白球
C．抽到的是黑球 D．抽到的是红球或白球
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
解：一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，
A．抽到的是红球，这是随机事件，故A不符合题意；
B．抽到的是白球，这是随机事件，故B不符合题意；
C．抽到的是黑球，这是不可能事件，故C不符合题意；
D．抽到的是红球或白球，这是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
4．下列各点中，在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣2，﹣2） D．（2，2）
【分析】由反比例函数图象中xy＝k判断．
解：∵反比例函数y＝﹣，
∴xy＝﹣4，
选项A中﹣1×4＝﹣4，满足题意．
选项B中1×4＝4≠﹣4，不满足题意．
选项C中﹣2×（﹣2）＝4≠﹣4，不满足题意．
选项D中2×2＝4≠﹣4，不满足题意．
故选：A．
5．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．180
【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．
解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转＝60°后，能与其自身重合．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论．
解：∵A（﹣1，2），
∴OA＝＝，
由旋转的性质可知，OB＝OA＝，
∴B（﹣，0）．
故选：C．
二、填空题。（每小题3分，共24分）
7．某班级有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解：∵共30+20＝50名学生，女生20名，
∴从该班随机找一名学生是女生的概率为＝，
故答案为：．
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 1 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
9．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 （﹣5，0） ．
【分析】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 12 cm．
【分析】根据正六边形的定义确定其中心角的度数，得到△OCD是等边三角形，求得CD＝2cm，于是得到结论．
解：∵多边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝360°×＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵OC长为2cm，
∴CD＝2cm，
∴正六形ABCDEF的周长为2×6＝12（cm），
故答案为：12．
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB＝90°，则∠ACB的大小为 30° ．
【分析】设∠ACB＝x，则∠AOB＝2x，构建方程求解即可．
解：设∠ACB＝x，则∠AOB＝2x，
∵∠ACB+∠AOB＝90°，
∴3x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠ACB＝30°，
故答案为：30°．
12．在一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的．试验数据：
摸球的次数n
500
1000
2000
2500
3000
5000
摸到红球的次数m
351
722
1486
1870
2262
3760
摸到红球的频率
0.702
0.722
0.743
0.748
0.754
0.752
根据上表估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为 0.75 ．（精确到0.01）
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
解：根据上表知，当摸球的次数足够大时，摸到红球的频率约为0.75，
所以估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为0.75，
故答案为：0.75．
13．如图，菱形∠ABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为 ．
【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于E，根据S△AOE＝S△AOC＝S△AOD，再根据反比例函数k的几何意义得出k值即可．
解：连接AC，过点A作AE⊥OC于E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE＝S△AOC，
∵OA∥BC，
∴S△OAD＝S△OAC＝，
∴S△AOE＝S△AOC＝＝，
∴k＝，
故答案为：．
14．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为 0＜x＜2 ．
【分析】利用表中的数据可知抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）从而可得（2，﹣3）与（0，﹣3）关于对称轴对称，再利用抛物线开口方向向下，即可解答．
解：∵x＝﹣1和x＝3时，y＝﹣6，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），抛物线开口方向向下，
∴点（2，﹣3）关于对称轴直线x＝1对称的点为：（0，﹣3），
∴不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为：0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．
解：x2﹣4x+2＝0
x2﹣4x＝﹣2
x2﹣4x+4＝﹣2+4
（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
16．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC．
（1）画出△DEC；
（2）边AC在旋转过程中扫过的图形面积为 ．
【分析】（1）利用旋转的性质即可画出图形；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
解：（1）如图，△DEC即为所求；
（2）由勾股定理得，AC＝，
线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为＝，
故答案为：．
17．如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB的长．
【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形花园ABCD的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出边AB的长．
解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，
依题意得：x（20﹣2x）＝50，
整理得：x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5．
答：边AB的长为5m．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，9）、（2，﹣3）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P是这条抛物线上一点，其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标．
【分析】（1）把点（﹣1，9）、（2，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c进行计算即可；
（2）根据题意可得x+y＝0，再与抛物线表达式联立方程组即可解答．
解：（1）把点（﹣1，9）、（2，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中可得：
，
解得：，
∴抛物线所对应的函数表达式为：y＝x2﹣5x+3；
（2）由题意得：
，
解得：或，
∴点P的坐标为：（3+，﹣3﹣）或（3﹣，﹣3+）．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．甲、乙两名同学做摸球游戏游戏规则是：甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则甲胜，否则乙胜．
（1）用列表法或画树状图法，求甲胜的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种，再由概率公式求出乙胜的概率，比较大小即可．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，
∴甲胜的概率为＝；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种，
∴乙胜的概率为＝，
由（1）得：甲胜的概率为，
∵＜，
∴这个游戏不公平．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（2，4）、C（4，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （1，1） ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D（3，﹣1）与⊙M的位置关系为点D在⊙M 外 （填内、外、上）．
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求．
（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径．
（3）根据点与圆的位置关系判断即可．
解：（1）如图，点M（1，1）即为所求．
故答案是：（1，1）；
（2）M（1，1），MA＝＝．
故答案为：；
（3）由于MD＝＝2，且MD＞MA，
所以点D（3，﹣1）在⊙M的外部．
故答案为：外．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．
（1）分别求直线与双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）由函数的图象即可求得．
解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）经过点A（2，﹣3），
∴m＝﹣6．
∴双曲线的表达式为y＝﹣．
∵点B（n，2）在双曲线y＝﹣上，
∴点B的坐标为（﹣3，2）．
∵直线y＝kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），
∴，
解得，
∴直线的表达式为y＝﹣x﹣1；
（2）由图像可知，关于x的不等式kx+b＞的解集是x＜﹣3或0＜x＜2．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线C2的顶点E的坐标；
（2）将C2绕着点B旋转180°得到C3，连结C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为 4 ．
【分析】（1）利用配方法求得抛物线y＝x2+2x的顶点坐标，再利用中心对称的性质解答即可；
（2）过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，由于旋转不变性可知：抛物线C2的x轴上方部分与矩形GHKG的两个空白部分的面积，由面积割补法可得：S阴影部分＝S矩形GHKF，计算矩形的面积即可得出结论．
解：（1）设抛物线y＝x2+2x的顶点为G，
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴G（﹣1，﹣1）．
∵将C1绕着点O旋转180°，得到C2，
∴点G与点E关于原点O对称，
∴E（1，1）．
（2）设C3的最低点为F，
令y＝0，则x2+2x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
由题意：点A与点B关于原点O对称，
∴B（2，0）．
∵将C2绕着点B旋转180°得到C3，
∴点E与点F关于原点O对称，
∴F（3，﹣1）．
过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图，
∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），
∴GF∥HK，GH＝FK＝1．
∵GH⊥OA，FK⊥BD，
∴四边形GHKF为矩形．
∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），
∴HO＝1，OK＝3，
∴HK＝OH+OK＝4．
根据旋转不变性可得：S阴影部分＝S矩形GHKF．
∴S阴影部分＝HK•HG＝4×1＝4．
故答案为：4．
五、解答题。（每小题8分，共16分）
23．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C＝50°．
（1）求∠B的度数；
（2）求的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A可证明∠BAC＝90°，而∠C＝40°，由直角三角形的两个锐角互余得∠B＝90°﹣∠C＝50°；
（2）连结OD，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠B＝100°，而⊙O的半径为6，由弧长公式即可求出答案．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝40°．
（2）如图，连结OD，
∵∠AOD＝2∠B＝2×40°＝80°，⊙O的半径为6，
∴的长为＝π，
24．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x（分）
6
12
18
24
空气中的含药量y（毫克/立方米）
12
6
4
3
（1）在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
（3）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
【分析】（1）根据表格数据直接描出各点即可；
（2）先设出反比例函数解析式，把（6，12）代入解析式，利用待定系数法可求解析式，再把其他三个点代入验证即可；
（2）将y＝8分别代入两个解析式，可求x的值，即可判断此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．
解：（1）如图所示：
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．
设反比例函数解析式为y＝，
把（6，12）代入解析式得：k＝12×6＝72，
∴反比例函数解析式为y＝，
分别把（12，6），（18，4），（24，3）代入y＝中，
都满足函数解析式，
∴这些点都在反比例函数y＝的图象上；
（3）把y＝8代入y＝2x得，8＝2x，
∴x＝4，
把y＝8代入y＝得，
＝8，
∴x＝9，
∵9﹣4＝5＞4，
∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
六、解答题。（每小题10分，共20分）
25．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、E在BC边上，∠DAE＝45°，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
（1）求证：BF⊥BC；
（2）连接DF，求证：△ADF≌△ADE；
（3）若BD＝3，CE＝4，则DF＝ 5 ，四边形AFDE的面积＝ 30 ．
【分析】（1）由旋转的性质得∠C＝∠ABF，从而得到∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝45°+45°＝90°，即可证明结论；
（2）由旋转的性质得AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，则∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠BAF＝45°，再利用SAS即可证明；
（3）由（1）得，∠DBF＝90°，在Rt△BDF中，由勾股定理得，DF＝＝，则BC＝BD+DF+CE＝3+5+4＝12，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
∴∠C＝∠ABF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝45°+45°＝90°，
∴BF⊥BC；
（2）证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠BAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS）；
（3）解：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
∴BF＝CE＝4，
由（1）得，∠DBF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得，DF＝＝，
∴BC＝BD+DF+CE＝3+5+4＝12，
作AH⊥BC于H，
∴AH＝BC＝6，
∴四边形AFDE的面积为2S△ADE＝2××5×6＝30，
故答案为：5，30．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．P为抛物线上一点，横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）△ABP面积记为S，当0≤m≤时，求S的取值范围．
（3）当此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，利用点P的纵坐标设出高PE的值，利用三角形的面积公式求得三角形ABP的面积，利用配方法求得三角形ABP面积的最大值，则结论可求；
（3）由已知条件得到点P的纵坐标，列出关于m的方程，解方程即可求得结论．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过点P作PE⊥AB于点E，如图，
∵0≤m≤，
∴P（m，m2﹣2m﹣3）在第四象限，
∴PE＝﹣m2+2m+3．
∵A（﹣1，0），（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4．
∴S△PAB＝AB•PE
＝×4×（﹣m2+2m+3）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8．
∴当m＝1时，S△PAB有最大值8．
∵0≤m≤，
∴当m＝时，S△PAB有最小值．
∴S的取值范围为：≤S≤8．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4）．
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴点P不可能在点C的下方．
∴点P在点C的上方．
∴点P的纵坐标为﹣1，
令y＝﹣1，则m2﹣2m﹣3）＝﹣1．
解得：m＝1±．
∴m的值为：1+或1﹣．
2021-2022学年吉林省通化市梅河口市九年级第一学期期末数学试卷
一、选择题。（每小题2分，共12分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抽到的是红球 B．抽到的是白球
C．抽到的是黑球 D．抽到的是红球或白球
4．下列各点中，在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣2，﹣2） D．（2，2）
5．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．180
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
二、填空题。（每小题3分，共24分）
7．某班级有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为 ．
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 ．
9．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 ．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 cm．
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB＝90°，则∠ACB的大小为 ．
12．在一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的．试验数据：
摸球的次数n
500
1000
2000
2500
3000
5000
摸到红球的次数m
351
722
1486
1870
2262
3760
摸到红球的频率
0.702
0.722
0.743
0.748
0.754
0.752
根据上表估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为 ．（精确到0.01）
13．如图，菱形∠ABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为 ．
14．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为 ．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣4x+2＝0．
16．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC．
（1）画出△DEC；
（2）边AC在旋转过程中扫过的图形面积为 ．
17．如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB的长．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，9）、（2，﹣3）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P是这条抛物线上一点，其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．甲、乙两名同学做摸球游戏游戏规则是：甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则甲胜，否则乙胜．
（1）用列表法或画树状图法，求甲胜的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（2，4）、C（4，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D（3，﹣1）与⊙M的位置关系为点D在⊙M （填内、外、上）．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．
（1）分别求直线与双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线C2的顶点E的坐标；
（2）将C2绕着点B旋转180°得到C3，连结C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为 ．
五、解答题。（每小题8分，共16分）
23．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C＝50°．
（1）求∠B的度数；
（2）求的长．
24．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x（分）
6
12
18
24
空气中的含药量y（毫克/立方米）
12
6
4
3
（1）在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
（3）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
六、解答题。（每小题10分，共20分）
25．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、E在BC边上，∠DAE＝45°，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
（1）求证：BF⊥BC；
（2）连接DF，求证：△ADF≌△ADE；
（3）若BD＝3，CE＝4，则DF＝ ，四边形AFDE的面积＝ ．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．P为抛物线上一点，横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）△ABP面积记为S，当0≤m≤时，求S的取值范围．
（3）当此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
参考答案
一、选择题。（每小题2分，共12分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．2x﹣2＝3 B．x2＝2x C．x+y＝2 D．+x＝3
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
解：A．2x﹣2＝3，是一元一次方程，故A不符合题意；
B．x2＝2x，是一元二次方程，故B符合题意；
C．x+y＝2，是二元一次方程，故C不符合题意；
D．+x＝3，是分式方程，故D不符合题意；
故选：B．
2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
3．一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，下列事件属于必然事件的是（ ）
A．抽到的是红球 B．抽到的是白球
C．抽到的是黑球 D．抽到的是红球或白球
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
解：一个不透明的袋子中装有1个红球，2个白球，这3个球除颜色外完全相同，现从中随机抽取1个球，
A．抽到的是红球，这是随机事件，故A不符合题意；
B．抽到的是白球，这是随机事件，故B不符合题意；
C．抽到的是黑球，这是不可能事件，故C不符合题意；
D．抽到的是红球或白球，这是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
4．下列各点中，在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（﹣1，4） B．（1，4） C．（﹣2，﹣2） D．（2，2）
【分析】由反比例函数图象中xy＝k判断．
解：∵反比例函数y＝﹣，
∴xy＝﹣4，
选项A中﹣1×4＝﹣4，满足题意．
选项B中1×4＝4≠﹣4，不满足题意．
选项C中﹣2×（﹣2）＝4≠﹣4，不满足题意．
选项D中2×2＝4≠﹣4，不满足题意．
故选：A．
5．如图所示的正六边形花环绕中必至少旋转α度能与自身重合，则α为（ ）
A．30 B．60 C．120 D．180
【分析】观察可得图形有6部分组成，从而可得旋转角度．
解：该图形围绕自己的旋转中心，至少针旋转＝60°后，能与其自身重合．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，2），以点O为圆心，将线段OA逆时针旋转，使点A落在x轴的负半轴上点B处，则点B的横坐标为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【分析】利用勾股定理求出OA，可得结论．
解：∵A（﹣1，2），
∴OA＝＝，
由旋转的性质可知，OB＝OA＝，
∴B（﹣，0）．
故选：C．
二、填空题。（每小题3分，共24分）
7．某班级有男生30名，女生20名，从该班随机找一名学生是女生的概率为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
解：∵共30+20＝50名学生，女生20名，
∴从该班随机找一名学生是女生的概率为＝，
故答案为：．
8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为 1 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
∴（﹣2）2﹣4m＝0，
∴m＝1，
故答案为：1．
9．已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是 （﹣5，0） ．
【分析】利用待定系数法求得c值，令y＝0，解一元二次方程即可求得结论．
解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴1﹣6+c＝0．
∴c＝5，
∴二次函数y＝x2+6x+5．
令y＝0，则x2+6x+5＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5．
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）．
故答案为：（﹣5，0）．
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接OC、OD，若OC长为2cm，则正六形ABCDEF的周长为 12 cm．
【分析】根据正六边形的定义确定其中心角的度数，得到△OCD是等边三角形，求得CD＝2cm，于是得到结论．
解：∵多边形ABCDEF为正六边形，
∴∠COD＝360°×＝60°，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∵OC长为2cm，
∴CD＝2cm，
∴正六形ABCDEF的周长为2×6＝12（cm），
故答案为：12．
11．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB+∠AOB＝90°，则∠ACB的大小为 30° ．
【分析】设∠ACB＝x，则∠AOB＝2x，构建方程求解即可．
解：设∠ACB＝x，则∠AOB＝2x，
∵∠ACB+∠AOB＝90°，
∴3x＝90°，
∴x＝30°，
∴∠ACB＝30°，
故答案为：30°．
12．在一个不透明的盒子里装有质地大小都相同的红球和黑球共4个，将球搅后从中随机摸出一个记下颜色，放回，再重复进行下一次试验，如表是他们整理得到的．试验数据：
摸球的次数n
500
1000
2000
2500
3000
5000
摸到红球的次数m
351
722
1486
1870
2262
3760
摸到红球的频率
0.702
0.722
0.743
0.748
0.754
0.752
根据上表估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为 0.75 ．（精确到0.01）
【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
解：根据上表知，当摸球的次数足够大时，摸到红球的频率约为0.75，
所以估计在盒子中随机摸出一个球是红球的概率为0.75，
故答案为：0.75．
13．如图，菱形∠ABC在第一象限内，∠AOC＝60°，反比例函数y＝（＞0）的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为，则k的值为 ．
【分析】连接AC，过点A作AE⊥OC于E，根据S△AOE＝S△AOC＝S△AOD，再根据反比例函数k的几何意义得出k值即可．
解：连接AC，过点A作AE⊥OC于E，
∵四边形ABCO是菱形，
∴AO∥CB，OA＝OC，且∠AOC＝60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE＝S△AOC，
∵OA∥BC，
∴S△OAD＝S△OAC＝，
∴S△AOE＝S△AOC＝＝，
∴k＝，
故答案为：．
14．二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：
x
…
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣2
﹣3
﹣6
﹣11
…
则不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为 0＜x＜2 ．
【分析】利用表中的数据可知抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）从而可得（2，﹣3）与（0，﹣3）关于对称轴对称，再利用抛物线开口方向向下，即可解答．
解：∵x＝﹣1和x＝3时，y＝﹣6，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝1，抛物线的顶点坐标为（1，﹣2），抛物线开口方向向下，
∴点（2，﹣3）关于对称轴直线x＝1对称的点为：（0，﹣3），
∴不等式ax2+bx+c＞﹣3的解集为：0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2．
三、解答题。（每小题5分，共20分）
15．解方程：x2﹣4x+2＝0．
【分析】直接利用配方法解方程的步骤分析得出答案．
解：x2﹣4x+2＝0
x2﹣4x＝﹣2
x2﹣4x+4＝﹣2+4
（x﹣2）2＝2，
则x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣．
16．如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．将△ABC绕点C顺时针旋转90°，得到△DEC．
（1）画出△DEC；
（2）边AC在旋转过程中扫过的图形面积为 ．
【分析】（1）利用旋转的性质即可画出图形；
（2）根据扇形的面积公式计算即可．
解：（1）如图，△DEC即为所求；
（2）由勾股定理得，AC＝，
线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为＝，
故答案为：．
17．如图，某课外活动小组利用一面墙（墙足够长），另三边用20m长的篱笆围成一个面积为50m2的矩形花园ABCD，求边AB的长．
【分析】设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，根据矩形花园ABCD的面积为50m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出边AB的长．
解：设AB＝xm，则BC＝（20﹣2x）m，
依题意得：x（20﹣2x）＝50，
整理得：x2﹣10x+25＝0，
解得：x1＝x2＝5．
答：边AB的长为5m．
18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点（﹣1，9）、（2，﹣3）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P是这条抛物线上一点，其横、纵坐标互为相反数，求点P的坐标．
【分析】（1）把点（﹣1，9）、（2，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c进行计算即可；
（2）根据题意可得x+y＝0，再与抛物线表达式联立方程组即可解答．
解：（1）把点（﹣1，9）、（2，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c中可得：
，
解得：，
∴抛物线所对应的函数表达式为：y＝x2﹣5x+3；
（2）由题意得：
，
解得：或，
∴点P的坐标为：（3+，﹣3﹣）或（3﹣，﹣3+）．
四、解答题。（每小题7分，共28分）
19．在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的3个小球，上面分别标有数字2，3，4．甲、乙两名同学做摸球游戏游戏规则是：甲先从袋中随机摸出一个小球，乙再从袋中剩下的2个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则甲胜，否则乙胜．
（1）用列表法或画树状图法，求甲胜的概率；
（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图，共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，再由概率公式求解即可；
（2）共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种，再由概率公式求出乙胜的概率，比较大小即可．
解：（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有2种，
∴甲胜的概率为＝；
（2）这个游戏不公平，理由如下：
共有6种等可能的结果，其中摸出的两个小球上的数字和为奇数的结果有4种，
∴乙胜的概率为＝，
由（1）得：甲胜的概率为，
∵＜，
∴这个游戏不公平．
20．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（2，4）、C（4，2）．
（1）经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 （1，1） ；
（2）这个圆的半径为 ；
（3）点D（3，﹣1）与⊙M的位置关系为点D在⊙M 外 （填内、外、上）．
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求．
（2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径．
（3）根据点与圆的位置关系判断即可．
解：（1）如图，点M（1，1）即为所求．
故答案是：（1，1）；
（2）M（1，1），MA＝＝．
故答案为：；
（3）由于MD＝＝2，且MD＞MA，
所以点D（3，﹣1）在⊙M的外部．
故答案为：外．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+b（k≠0）与双曲线y＝（m≠0）交于点A（2，﹣3）和点B（n，2）．
（1）分别求直线与双曲线对应的函数表达式；
（2）直接写出关于x的不等式kx+b＞的解集．
【分析】（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；
（2）由函数的图象即可求得．
解：（1）∵双曲线y＝（m≠0）经过点A（2，﹣3），
∴m＝﹣6．
∴双曲线的表达式为y＝﹣．
∵点B（n，2）在双曲线y＝﹣上，
∴点B的坐标为（﹣3，2）．
∵直线y＝kx+b经过点A（2，﹣3）和点B（﹣3，2），
∴，
解得，
∴直线的表达式为y＝﹣x﹣1；
（2）由图像可知，关于x的不等式kx+b＞的解集是x＜﹣3或0＜x＜2．
22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+2x与x轴的另一个交点为A，把该抛物线在x轴及其下方的部分记作C1，将C1绕着点O旋转180°，得到C2，C2与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线C2的顶点E的坐标；
（2）将C2绕着点B旋转180°得到C3，连结C1与C3的最低点，则阴影部分图形的面积为 4 ．
【分析】（1）利用配方法求得抛物线y＝x2+2x的顶点坐标，再利用中心对称的性质解答即可；
（2）过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，由于旋转不变性可知：抛物线C2的x轴上方部分与矩形GHKG的两个空白部分的面积，由面积割补法可得：S阴影部分＝S矩形GHKF，计算矩形的面积即可得出结论．
解：（1）设抛物线y＝x2+2x的顶点为G，
∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴G（﹣1，﹣1）．
∵将C1绕着点O旋转180°，得到C2，
∴点G与点E关于原点O对称，
∴E（1，1）．
（2）设C3的最低点为F，
令y＝0，则x2+2x＝0，
解得：x＝0或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）．
由题意：点A与点B关于原点O对称，
∴B（2，0）．
∵将C2绕着点B旋转180°得到C3，
∴点E与点F关于原点O对称，
∴F（3，﹣1）．
过点G作GH⊥OA于点H，过点F作FK⊥BD于点K，过点E作EM⊥OB于点M，如图，
∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），
∴GF∥HK，GH＝FK＝1．
∵GH⊥OA，FK⊥BD，
∴四边形GHKF为矩形．
∵G（﹣1，﹣1），F（3，﹣1），
∴HO＝1，OK＝3，
∴HK＝OH+OK＝4．
根据旋转不变性可得：S阴影部分＝S矩形GHKF．
∴S阴影部分＝HK•HG＝4×1＝4．
故答案为：4．
五、解答题。（每小题8分，共16分）
23．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D，∠C＝50°．
（1）求∠B的度数；
（2）求的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A可证明∠BAC＝90°，而∠C＝40°，由直角三角形的两个锐角互余得∠B＝90°﹣∠C＝50°；
（2）连结OD，由圆周角定理可得∠AOD＝2∠B＝100°，而⊙O的半径为6，由弧长公式即可求出答案．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，
∴AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∵∠C＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠C＝40°．
（2）如图，连结OD，
∵∠AOD＝2∠B＝2×40°＝80°，⊙O的半径为6，
∴的长为＝π，
24．为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与药物点燃后的时间x（分）满足函数关系式y＝2x，药物点燃后6分钟燃尽，药物燃尽后，校医每隔6分钟测一次空气中含药量，测得数据如下表：
药物点燃后的时间x（分）
6
12
18
24
空气中的含药量y（毫克/立方米）
12
6
4
3
（1）在如图所示平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点；
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一个反比例函数图象上，如果在同一个反比例函数图象上，求出这个反比例函数图象所对应的函数表达式，如果不在同一个反比例函数图象上，说明理由；
（3）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于8毫克，且持续4分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，应用上述发现的规律估算此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌？
【分析】（1）根据表格数据直接描出各点即可；
（2）先设出反比例函数解析式，把（6，12）代入解析式，利用待定系数法可求解析式，再把其他三个点代入验证即可；
（2）将y＝8分别代入两个解析式，可求x的值，即可判断此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．
解：（1）如图所示：
（2）观察上述各点的分布规律，判断它们是在同一个反比例函数图象上．
设反比例函数解析式为y＝，
把（6，12）代入解析式得：k＝12×6＝72，
∴反比例函数解析式为y＝，
分别把（12，6），（18，4），（24，3）代入y＝中，
都满足函数解析式，
∴这些点都在反比例函数y＝的图象上；
（3）把y＝8代入y＝2x得，8＝2x，
∴x＝4，
把y＝8代入y＝得，
＝8，
∴x＝9，
∵9﹣4＝5＞4，
∴此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
六、解答题。（每小题10分，共20分）
25．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D、E在BC边上，∠DAE＝45°，将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
（1）求证：BF⊥BC；
（2）连接DF，求证：△ADF≌△ADE；
（3）若BD＝3，CE＝4，则DF＝ 5 ，四边形AFDE的面积＝ 30 ．
【分析】（1）由旋转的性质得∠C＝∠ABF，从而得到∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝45°+45°＝90°，即可证明结论；
（2）由旋转的性质得AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，则∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠BAF＝45°，再利用SAS即可证明；
（3）由（1）得，∠DBF＝90°，在Rt△BDF中，由勾股定理得，DF＝＝，则BC＝BD+DF+CE＝3+5+4＝12，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
∴∠C＝∠ABF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠DBF＝∠ABC+∠ABF＝45°+45°＝90°，
∴BF⊥BC；
（2）证明：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE，
∵∠DAE＝45°，
∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠BAF＝45°，
∴∠DAE＝∠DAF，
在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS）；
（3）解：∵将△ACE绕点A顺时针旋转90°得△ABF．
∴BF＝CE＝4，
由（1）得，∠DBF＝90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理得，DF＝＝，
∴BC＝BD+DF+CE＝3+5+4＝12，
作AH⊥BC于H，
∴AH＝BC＝6，
∴四边形AFDE的面积为2S△ADE＝2××5×6＝30，
故答案为：5，30．
26．如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．P为抛物线上一点，横坐标为m．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）△ABP面积记为S，当0≤m≤时，求S的取值范围．
（3）当此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2时，求m的值．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点P作PE⊥AB于点E，利用点P的纵坐标设出高PE的值，利用三角形的面积公式求得三角形ABP的面积，利用配方法求得三角形ABP面积的最大值，则结论可求；
（3）由已知条件得到点P的纵坐标，列出关于m的方程，解方程即可求得结论．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c（b、c是常数）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）过点P作PE⊥AB于点E，如图，
∵0≤m≤，
∴P（m，m2﹣2m﹣3）在第四象限，
∴PE＝﹣m2+2m+3．
∵A（﹣1，0），（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，
∴AB＝OA+OB＝4．
∴S△PAB＝AB•PE
＝×4×（﹣m2+2m+3）
＝﹣2m2+4m+6
＝﹣2（m﹣1）2+8．
∴当m＝1时，S△PAB有最大值8．
∵0≤m≤，
∴当m＝时，S△PAB有最小值．
∴S的取值范围为：≤S≤8．
（3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点为（1，﹣4）．
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）．
∵点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴点P不可能在点C的下方．
∴点P在点C的上方．
∴点P的纵坐标为﹣1，
令y＝﹣1，则m2﹣2m﹣3）＝﹣1．
解得：m＝1±．
∴m的值为：1+或1﹣．
相关试卷
吉林省通化市梅河口市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析）： 这是一份吉林省通化市梅河口市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了5 毫米黑色墨水签字等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年吉林省通化市梅河口市九年级（上）期末数学试卷(含解析）： 这是一份2023-2024学年吉林省通化市梅河口市九年级（上）期末数学试卷(含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
吉林省通化市梅河口市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题： 这是一份吉林省通化市梅河口市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
