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山东省济宁市任城区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案）
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这是一份山东省济宁市任城区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济宁市任城区九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题满分30分。每小题3分）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
2．与如图中的三视图相对应的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点．若∠D＝55°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
4．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
7．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米
9．如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．
10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（ ）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ °．
12．如图，从一张腰长为6cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥底面半径为 cm．
13．如图，小军、小珠之间的距离为2.8m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.7m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.7m，1.5m，则路灯的高为 m．
14．如图，在平面直角坐标系中．Rt△ABC的顶点A，C在坐标轴上，∠ACB＝90°．OA＝OC＝4，AC＝2BC，反比例函数y＝的图象经过点B．则k的值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值为 ．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：sin260°+tan45°•cos60°．
17．如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1＝45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
18．为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
19．某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．
（1）求证：∠COB＝2∠PCB；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
21．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，点D是△ABC中BC边上的“好点”，且∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝4，则BD＝ ；
（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．
①一学生通过推导CH•HD＝AH•BH，从而证明出OH⊥AB，请写出完整的证明过程；
②若OH∥BD，⊙O的半径为3，OH＝1，求CH的值．
22．已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3，0），半径为5，⊙P与抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；
（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题满分30分。每小题3分）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
2．与如图中的三视图相对应的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三视图判断长方体上面放着小正方体，确定具体位置后即可得到答案．
解：由主视图和左视图可以得到该几何体是一个正方体和一个长方体的复合体，
由俯视图可以得到小正方体位于大长方体的右侧靠里的角上．
故选：D．
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点．若∠D＝55°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠B＝∠D，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠B，再求出答案即可．
解：∵∠D＝55°，
∴∠B＝∠D＝55°，
∴∠AOC＝2∠B＝110°，
故选：B．
4．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率＝＝．
故选：B．
5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．
解：当k＞0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝ 在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；
故选：D．
6．在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
解：设袋中有黑球x个，
由题意得：＝0.125，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有10个．
故选：A．
7．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
解：∵D是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上一点，
∴△AOD的面积为＝1．
∵点B在函数 的图象上，四边形OABC为矩形，
∴矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝4﹣1＝3．
故选：B．
8．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米
【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．
解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，
则四边形EDHF为矩形，
∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，
∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，
∴设BH＝12x，CH＝5x，
由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，
解得，x＝4，
则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，
则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），
在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，
则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），
∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），
故选：B．
9．如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【分析】连接OD，求出∠AOD＝∠BOD＝60°，由于点O和点A到BD的距离相等，△ABD的面积与△OBD的面积相同，从而可知阴影部分面积为扇形OBD的面积．
解：连接OD，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∵BC⊥PA，
∴∠OAP＝∠BCA＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠AOB+∠OBC＝180°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OA∥BC，
∴点O和点A到BD的距离相等，
∴S△ABD＝S△OBD，
∴S阴影＝S扇形OBD，
∴S阴影＝．
故选：B．
10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（ ）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
【分析】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．
解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形．
∴AC＝OD，OC＝AD．
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径．
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB．
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10．
在Rt△PAD中，根据勾股定理，得PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11．
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故选：C．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
【分析】由切线的性质得出PA＝PB，PA⊥OA，得出∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
12．如图，从一张腰长为6cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥底面半径为 1 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r即可．
解：过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB＝6cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝3cm，
∴弧CD的长＝＝2π，
设圆锥的底面圆的半径为r，
则2πr＝2π，
解得r＝1，
故答案为：1．
13．如图，小军、小珠之间的距离为2.8m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.7m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.7m，1.5m，则路灯的高为 3 m．
【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知＝，＝，即可得到结论．
解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴＝，＝，即＝，＝，
解得：AB＝3．
故答案是：3．
14．如图，在平面直角坐标系中．Rt△ABC的顶点A，C在坐标轴上，∠ACB＝90°．OA＝OC＝4，AC＝2BC，反比例函数y＝的图象经过点B．则k的值为 12 ．
【分析】根据OA＝OC＝4，可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵OA＝OC＝4，
在Rt△AOC中，AC＝＝4，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝2，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝×2＝2，
∴OD＝4+2＝6，
∴B（6，2）代入y＝得：k＝12，
故答案为：12．
15．如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值为 或 ．
【分析】分两种情况，⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切，⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切．
解：如图：
分两种情况：
当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切，
设⊙A与x轴相切于点M，连接AM，
则AM⊥x轴，
在Rt△ABM中，AM＝1，BM＝OB﹣OM＝4﹣1＝3，
∴tan∠ABO＝＝，
当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切，
设⊙A′与x轴相切于点M′，连接AM′，
则AM′⊥x轴，
在RtΔA′BM′中，AM′＝1，BM′＝OB+OM＝4+1＝5，
∴tan∠A′BO＝＝，
综上所述：tan∠ABO的值为：或．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：sin260°+tan45°•cos60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解：sin260°+tan45°•cos60°
＝（）2+1×
＝+
＝．
17．如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1＝45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
【分析】过B点作BH⊥CC1于H，如图，利用∠BCC1＝45°得到BH＝，再利用平行投影的性质得到B1C1＝BH＝，C1D1＝CD＝5，然后根据矩形的面积公式计算四边形A1B1C1D1的面积．
解：过B点作BH⊥CC1于H，如图，
∵∠BCC1＝45°，
∴BH＝BC＝，
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，
∴B1C1＝BH＝，C1D1＝CD＝5，
∴四边形A1B1C1D1的面积＝×5＝（cm2）．
18．为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积小于4的情况，再利用概率公式求出合唱《大海啊，故乡》和合唱《红旗飘飘》的概率，然后进行比较，即可得出答案．
解：根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是，
∴合唱《红旗飘飘》的概率是，
∵＜，
∴游戏不公平．
19．某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
【分析】设CD＝xm，解Rt△ACD与Rt△DCB，用含x的代数式表示出AD、DB，然后根据△ADE是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x的值，进而可得AB．
解：设CD＝xm，
∵∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，
∴AD＝x•tan60＝x（m），DB＝x•tan45°＝x（m），
∵∠AED＝30°，DE＝6m，
∴AD＝DE•tan30°＝6×＝2（m），
∴x＝2，
解得x＝2（m），
∴AB＝AD+DB＝x+x＝（2+2）m．
答：雕像AB的高度为（2+2）m．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．
（1）求证：∠COB＝2∠PCB；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
【分析】（1）根据PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，可得∠ACO＝∠PCB，进而可以解决问题；
（2）连接MA．由△AMC∽△NMA，可得＝，根据等腰直角三角形可得AM2＝18，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥CP，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴＝，
∴AM2＝MC•MN，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵AM＝BM，AB＝6．
∴2AM2＝62，
∴AM2＝18，
∴MC•MN＝18．
21．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，点D是△ABC中BC边上的“好点”，且∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝4，则BD＝ 或 ；
（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．
①一学生通过推导CH•HD＝AH•BH，从而证明出OH⊥AB，请写出完整的证明过程；
②若OH∥BD，⊙O的半径为3，OH＝1，求CH的值．
【分析】（1）AD是BC上的高或斜边上的中线时，解直角三角形可求出答案；
（2）①由△ACH∽△DBH得，CH•HD＝AH•BH，结合BH2＝CH•HD可得出结论；
②先确定AD是直径，然后求出AH＝2，由三角形中位线定理求出BD，求出DH的长，则可得出答案．
解：（1）如图1，
当AD⊥BC时，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∴AD2＝BD•CD，
∴D是BC边上的“好点”，
在Rt△ABC 中，∠C＝30°，AC＝4，
∴AB＝4•tan30°＝，BC＝，
在Rt△ABD中，∠BAD＝∠C＝30°，
∴BD＝AB＝，
当AD是斜边上的中线时，
∵AD＝BC＝CD＝BC＝，
∴AD2＝BD•CD，
故答案是：或；
（2）①证明：如图2，
∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2＝CH•HD，
∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴△ACH∽△DBH，
∴，
∴CH•HD＝AH•BH，
∴BH2＝AH•BH，
∴AH＝BH，
∴OH⊥AB；
②连接AD，
由①知，OH⊥AB，
又∵OH∥BD，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∴OA＝OD＝3，
在Rt△AOH 中，由勾股定理得，
AH＝＝＝2，
∵AH＝BH＝2，OA＝OD，OH＝1，
∴BD＝2OH＝2，
∴DH＝＝＝2，
∵CH•HD＝AH•BH，
∴CH＝＝．
22．已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3，0），半径为5，⊙P与抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；
（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），由已知条件可求出A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；
（2）直线CD与⊙P相切，易求直线yCD＝k1x+b1连接PC，设经过C（0，4）、P（3，0）的直线yPC＝k2x+b2，可求出直线的解析式，因为，
所以CD⊥PC 且CD经过⊙P的半径外端点C，所以直线CD是⊙P的切线；
（3）因为抛物线的对称轴是直线x＝3，所以点F（6，4），设经过A（﹣2，0）、F（6，4）的直线yAF＝m1x+n1，则可求出直线的解析式，连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H，则C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小，再利用给出的已知数据即可求出其最小值．
解：（1）∵⊙P的圆心P（3，0），半径为5，
∴A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4），
∴设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴，
∴所求抛物线的关系式为：．
（2）直线CD与⊙P相切．
理由如下：由的顶点D
设经过C（0，4）、D的直线yCD＝k1x+b1
得，
解之得
∴，
连接PC，如图1，
设经过C（0，4）、P（3，0）的直线yPC＝k2x+b2，
解之得
∴，
又∵，
∴CD⊥PC 且CD经过⊙P的半径外端点C
∴直线CD是⊙P的切线．
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴点F（6，4）
设经过A（﹣2，0）、F（6，4）的直线yAF＝m1x+n1
∴解之得
∴与y轴交于点K（0，1）
又∵点K（0，1）关于x轴的对称点K'（0，﹣1），
连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H，如图2
则C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小．
又设经过K'（0，﹣1）、F（6，4）的直线yK'F＝m2x+n2
∴解之得
∴
当y＝0时，即H；
当x＝3时，即G，
∴，
∴CK＝4﹣1＝3，
∴四边形CGHK的最小周长．
2021-2022学年山东省济宁市任城区九年级第一学期期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题满分30分。每小题3分）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
2．与如图中的三视图相对应的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点．若∠D＝55°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
4．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
7．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米
9．如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．
10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（ ）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ °．
12．如图，从一张腰长为6cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥底面半径为 cm．
13．如图，小军、小珠之间的距离为2.8m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.7m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.7m，1.5m，则路灯的高为 m．
14．如图，在平面直角坐标系中．Rt△ABC的顶点A，C在坐标轴上，∠ACB＝90°．OA＝OC＝4，AC＝2BC，反比例函数y＝的图象经过点B．则k的值为 ．
15．如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值为 ．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：sin260°+tan45°•cos60°．
17．如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1＝45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
18．为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
19．某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．
（1）求证：∠COB＝2∠PCB；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
21．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，点D是△ABC中BC边上的“好点”，且∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝4，则BD＝ ；
（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．
①一学生通过推导CH•HD＝AH•BH，从而证明出OH⊥AB，请写出完整的证明过程；
②若OH∥BD，⊙O的半径为3，OH＝1，求CH的值．
22．已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3，0），半径为5，⊙P与抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；
（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题满分30分。每小题3分）
1．抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选：A．
2．与如图中的三视图相对应的几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三视图判断长方体上面放着小正方体，确定具体位置后即可得到答案．
解：由主视图和左视图可以得到该几何体是一个正方体和一个长方体的复合体，
由俯视图可以得到小正方体位于大长方体的右侧靠里的角上．
故选：D．
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点．若∠D＝55°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．125° D．135°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠B＝∠D，根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠B，再求出答案即可．
解：∵∠D＝55°，
∴∠B＝∠D＝55°，
∴∠AOC＝2∠B＝110°，
故选：B．
4．小张和小王相约去参加“抗疫情党员志愿者进社区服务”活动现在有A、B、C三个社区可供随机选择，他们两人恰好进入同一社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好进入同一社区的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：画树状图如图：
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一社区的结果为3种，
则两人恰好进入同一社区的概率＝＝．
故选：B．
5．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．
解：当k＞0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝ 在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；
故选：D．
6．在一个不透明的布袋中装有70个白球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小强每次摸出一个球记录下颜色后并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.125左右，则布袋中黑球的个数可能有（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
解：设袋中有黑球x个，
由题意得：＝0.125，
解得：x＝10，
经检验x＝10是原方程的解，
则布袋中黑球的个数可能有10个．
故选：A．
7．如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，四边形OABC为矩形，点A、C分别在x轴、y轴上，点B在函数的图象上，边AB与函数的图象交于点D，则阴影部分ODBC的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOD的面积为1，矩形ABCO的面积为4，从而可以求出阴影部分ODBC的面积．
解：∵D是反比例函数y2＝（x＞0）的图象上一点，
∴△AOD的面积为＝1．
∵点B在函数 的图象上，四边形OABC为矩形，
∴矩形ABCO的面积为4．
∴阴影部分ODBC的面积＝矩形ABCO的面积﹣△AOD的面积＝4﹣1＝3．
故选：B．
8．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．16.8米 B．28.8米 C．40.8米 D．64.2米
【分析】延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，根据矩形的性质得到FH＝DE＝12，EF＝DH，根据坡度的概念分别求出CH、BH，根据正切的定义求出AF，结合图形计算即可．
解：延长AB交DC的延长线于H，作EF⊥AH于F，
则四边形EDHF为矩形，
∴FH＝DE＝12米，EF＝DH，
∵斜坡CB的坡度为t＝12：5，
∴设BH＝12x，CH＝5x，
由勾股定理得，（5x）2+（12x）2＝522，
解得，x＝4，
则BH＝12x＝48米，CH＝5x＝20米，
则EF＝DH＝DC+CH＝60+20＝80（米），
在Rt△AEF中，tan∠AEF＝，
则AF＝EF•tan∠AEF≈80×0.81＝64.8（米），
∴AB＝AF+HF﹣BH＝64.8+12﹣48＝28.8（米），
故选：B．
9．如图，已知PA与⊙O相切于点A，点B为⊙上一点，∠AOB＝120°，过点B作BC⊥PA于点C，BC交⊙O于点D，连接AB．已知OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．π D．
【分析】连接OD，求出∠AOD＝∠BOD＝60°，由于点O和点A到BD的距离相等，△ABD的面积与△OBD的面积相同，从而可知阴影部分面积为扇形OBD的面积．
解：连接OD，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∵BC⊥PA，
∴∠OAP＝∠BCA＝90°，
∴OA∥BC，
∴∠AOB+∠OBC＝180°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠OBC＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵OA∥BC，
∴点O和点A到BD的距离相等，
∴S△ABD＝S△OBD，
∴S阴影＝S扇形OBD，
∴S阴影＝．
故选：B．
10．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（ ）
A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）
【分析】连接AB，过点A分别作AC⊥x轴、AD⊥y轴，利用根据圆的切线性质可知△PAB、△AOC为直角三角形，AB＝AC＝5，利用直角三角形中30°角的性质和勾股定理分别求出AP、AD的长度，进而求出OD、PD的长度即可求得答案．
解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，
∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，
∴四边形ADOC为矩形．
∴AC＝OD，OC＝AD．
∵⊙A与x轴相切，
∴AC为⊙A的半径．
∵点A坐标为（8，5），
∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，
∵PB是切线，
∴AB⊥PB．
∵∠APB＝30°，
∴PA＝2AB＝10．
在Rt△PAD中，根据勾股定理，得PD＝＝＝6，
∴OP＝PD+DO＝11．
∵点P在y轴的正半轴上，
∴点P坐标为（0，11）．
故选：C．
二、填空题（本大题满分15分，每小题3分，请你将答案填写在题目中的横线上）
11．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
【分析】由切线的性质得出PA＝PB，PA⊥OA，得出∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，由已知得出∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
12．如图，从一张腰长为6cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥底面半径为 1 cm．
【分析】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r即可．
解：过O作OE⊥AB于E，∵OA＝OB＝6cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE＝OA＝3cm，
∴弧CD的长＝＝2π，
设圆锥的底面圆的半径为r，
则2πr＝2π，
解得r＝1，
故答案为：1．
13．如图，小军、小珠之间的距离为2.8m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.7m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.7m，1.5m，则路灯的高为 3 m．
【分析】根据CD∥AB∥MN，得到△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，根据相似三角形的性质可知＝，＝，即可得到结论．
解：如图，∵CD∥AB∥MN，
∴△ABE∽△CDE，△ABF∽△MNF，
∴＝，＝，即＝，＝，
解得：AB＝3．
故答案是：3．
14．如图，在平面直角坐标系中．Rt△ABC的顶点A，C在坐标轴上，∠ACB＝90°．OA＝OC＝4，AC＝2BC，反比例函数y＝的图象经过点B．则k的值为 12 ．
【分析】根据OA＝OC＝4，可求出AC，由AC＝2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵OA＝OC＝4，
在Rt△AOC中，AC＝＝4，
又∵AC＝2BC，
∴BC＝2，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°＝∠BCD＝∠CBD，
∴CD＝BD＝×2＝2，
∴OD＝4+2＝6，
∴B（6，2）代入y＝得：k＝12，
故答案为：12．
15．如图，在直角坐标系中，点A是函数y＝﹣x图象l上的动点，以A为圆心，1为半径作⊙A．已知点B（﹣4，0），连接AB，线段AB与x轴所成的角∠ABO为锐角，当⊙A与两坐标轴同时相切时，tan∠ABO的值为 或 ．
【分析】分两种情况，⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切，⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切．
解：如图：
分两种情况：
当⊙A在第二象限，与两坐标轴同时相切，
设⊙A与x轴相切于点M，连接AM，
则AM⊥x轴，
在Rt△ABM中，AM＝1，BM＝OB﹣OM＝4﹣1＝3，
∴tan∠ABO＝＝，
当⊙A在第四象限，与两坐标轴同时相切，
设⊙A′与x轴相切于点M′，连接AM′，
则AM′⊥x轴，
在RtΔA′BM′中，AM′＝1，BM′＝OB+OM＝4+1＝5，
∴tan∠A′BO＝＝，
综上所述：tan∠ABO的值为：或．
三、解答题（本大题满分55分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
16．计算：sin260°+tan45°•cos60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
解：sin260°+tan45°•cos60°
＝（）2+1×
＝+
＝．
17．如图，正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，其中边AB、CD与投影面平行，AD，BC与投影面不平行．若正方形ABCD的边长为5厘米，∠BCC1＝45°，求其投影A1B1C1D1的面积．
【分析】过B点作BH⊥CC1于H，如图，利用∠BCC1＝45°得到BH＝，再利用平行投影的性质得到B1C1＝BH＝，C1D1＝CD＝5，然后根据矩形的面积公式计算四边形A1B1C1D1的面积．
解：过B点作BH⊥CC1于H，如图，
∵∠BCC1＝45°，
∴BH＝BC＝，
∵正方形纸板ABCD在投影面α上的正投影为A1B1C1D1，
∴B1C1＝BH＝，C1D1＝CD＝5，
∴四边形A1B1C1D1的面积＝×5＝（cm2）．
18．为践行青岛市中小学生“十个一”行动，某校举行文艺表演，小静和小丽想合唱一首歌．小静想唱《红旗飘飘》，而小丽想唱《大海啊，故乡》．她们想通过做游戏的方式来决定合唱哪一首歌，于是一起设计了一个游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动两个转盘，若两个指针指向的数字之积小于4，则合唱《大海啊，故乡》，否则合唱《红旗飘飘》；若指针刚好落在分割线上，则需要重新转动转盘，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏是否公平．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之积小于4的情况，再利用概率公式求出合唱《大海啊，故乡》和合唱《红旗飘飘》的概率，然后进行比较，即可得出答案．
解：根据题意画树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中数字之积小于4的有5种结果，
∴合唱《大海啊，故乡》的概率是，
∴合唱《红旗飘飘》的概率是，
∵＜，
∴游戏不公平．
19．某校一初三学生在学习了“锐角三角函数”的应用后，来到“孔子圣像”的雕像前，如图，想要用所学知识解决“孔子圣像”雕像AB的高度，他在雕像前C处用自制测角仪测得顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为45°；又在同一水平线上的E处用自制测角仪测得顶端A的仰角为30°，已知DE＝6m，求雕像AB的高度．（结果保留根号）
【分析】设CD＝xm，解Rt△ACD与Rt△DCB，用含x的代数式表示出AD、DB，然后根据△ADE是含30度角的直角三角形列出方程，解方程即可求x的值，进而可得AB．
解：设CD＝xm，
∵∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，
∴AD＝x•tan60＝x（m），DB＝x•tan45°＝x（m），
∵∠AED＝30°，DE＝6m，
∴AD＝DE•tan30°＝6×＝2（m），
∴x＝2，
解得x＝2（m），
∴AB＝AD+DB＝x+x＝（2+2）m．
答：雕像AB的高度为（2+2）m．
20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CP是⊙O的切线．点P在AB的延长线上．
（1）求证：∠COB＝2∠PCB；
（2）若M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝6．求MC•MN的值．
【分析】（1）根据PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，可得∠ACO＝∠PCB，进而可以解决问题；
（2）连接MA．由△AMC∽△NMA，可得＝，根据等腰直角三角形可得AM2＝18，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵CP是⊙O的切线，
∴OC⊥CP，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ACO＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠PCB＝∠A，
∴∠COB＝2∠A＝2∠PCB；
（2）解：如图2中，连接MA．
∵点M是弧AB的中点，
∴＝，
∴∠ACM＝∠BAM，
∵∠AMC＝∠AMN，
∴△AMC∽△NMA，
∴＝，
∴AM2＝MC•MN，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵AM＝BM，AB＝6．
∴2AM2＝62，
∴AM2＝18，
∴MC•MN＝18．
21．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD•CD，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，点D是△ABC中BC边上的“好点”，且∠BAC＝90°，∠C＝30°，AC＝4，则BD＝ 或 ；
（2）如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是△BCD中CD边上的“好点”．
①一学生通过推导CH•HD＝AH•BH，从而证明出OH⊥AB，请写出完整的证明过程；
②若OH∥BD，⊙O的半径为3，OH＝1，求CH的值．
【分析】（1）AD是BC上的高或斜边上的中线时，解直角三角形可求出答案；
（2）①由△ACH∽△DBH得，CH•HD＝AH•BH，结合BH2＝CH•HD可得出结论；
②先确定AD是直径，然后求出AH＝2，由三角形中位线定理求出BD，求出DH的长，则可得出答案．
解：（1）如图1，
当AD⊥BC时，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠BAD＝∠C，
∴△ABD∽△CAD，
∴，
∴AD2＝BD•CD，
∴D是BC边上的“好点”，
在Rt△ABC 中，∠C＝30°，AC＝4，
∴AB＝4•tan30°＝，BC＝，
在Rt△ABD中，∠BAD＝∠C＝30°，
∴BD＝AB＝，
当AD是斜边上的中线时，
∵AD＝BC＝CD＝BC＝，
∴AD2＝BD•CD，
故答案是：或；
（2）①证明：如图2，
∵点H是△BCD中CD边上的“好点”，
∴BH2＝CH•HD，
∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，
∴△ACH∽△DBH，
∴，
∴CH•HD＝AH•BH，
∴BH2＝AH•BH，
∴AH＝BH，
∴OH⊥AB；
②连接AD，
由①知，OH⊥AB，
又∵OH∥BD，
∴BD⊥AB，
∴∠ABD＝90°，
∴AD是⊙O的直径，
∴OA＝OD＝3，
在Rt△AOH 中，由勾股定理得，
AH＝＝＝2，
∵AH＝BH＝2，OA＝OD，OH＝1，
∴BD＝2OH＝2，
∴DH＝＝＝2，
∵CH•HD＝AH•BH，
∴CH＝＝．
22．已知：如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心P（3，0），半径为5，⊙P与抛物线y＝ax2+bx+c
（a≠0）的交点A、B、C刚好落在坐标轴上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线的顶点，经过C、D的直线是否与⊙P相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由；
（3）如图2，点F是点C关于对称轴PD的对称点，若直线AF交y轴于点K，点G为直线PD上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），由已知条件可求出A，B，C的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值即可；
（2）直线CD与⊙P相切，易求直线yCD＝k1x+b1连接PC，设经过C（0，4）、P（3，0）的直线yPC＝k2x+b2，可求出直线的解析式，因为，
所以CD⊥PC 且CD经过⊙P的半径外端点C，所以直线CD是⊙P的切线；
（3）因为抛物线的对称轴是直线x＝3，所以点F（6，4），设经过A（﹣2，0）、F（6，4）的直线yAF＝m1x+n1，则可求出直线的解析式，连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H，则C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小，再利用给出的已知数据即可求出其最小值．
解：（1）∵⊙P的圆心P（3，0），半径为5，
∴A（﹣2，0）、B（8，0）、C（0，4），
∴设抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），
∴，
∴所求抛物线的关系式为：．
（2）直线CD与⊙P相切．
理由如下：由的顶点D
设经过C（0，4）、D的直线yCD＝k1x+b1
得，
解之得
∴，
连接PC，如图1，
设经过C（0，4）、P（3，0）的直线yPC＝k2x+b2，
解之得
∴，
又∵，
∴CD⊥PC 且CD经过⊙P的半径外端点C
∴直线CD是⊙P的切线．
（3）存在，理由如下：
∵抛物线的对称轴是直线x＝3，
∴点F（6，4）
设经过A（﹣2，0）、F（6，4）的直线yAF＝m1x+n1
∴解之得
∴与y轴交于点K（0，1）
又∵点K（0，1）关于x轴的对称点K'（0，﹣1），
连接K'F交对称轴PD于点G，交x轴于点H，如图2
则C、G、H、K四点所围成的四边形周长最小．
又设经过K'（0，﹣1）、F（6，4）的直线yK'F＝m2x+n2
∴解之得
∴
当y＝0时，即H；
当x＝3时，即G，
∴，
∴CK＝4﹣1＝3，
∴四边形CGHK的最小周长．
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