卷5-备战2022年高考数学（文）【名校好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）·第一辑

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备战2022年高考数学（文）【名校好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）第五模拟（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2021·云南·曲靖一中高三月考（文））设集合，B=，则（）A．{-2，-1，1} B．{-2， 0， 1} C．{-2，-1} D．{-1， 1}【答案】A【分析】由题知，再根据集合的补集运算与交集运算求解即可.【详解】，则或，所以.故选：A.2．（2021·广西南宁·模拟预测（文））已知复数和，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的四则运算法则，求解即可【详解】由题意，故选：B3．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（文））已知向量，且，则（）A． B． C．2 D．-2【答案】D【分析】利用列方程，化简求得【详解】因为，，所以，又因为，所以，化简得.故选：D.4．（2021·四川·高三期中（文））下列叙述中错误的是（）A．若为真命题，则为真命题B．命题“，”的否定是“，”C．命题“若，则”的逆否命题是真命题D．已知，则“”是“”的必要不充分条件【答案】A【分析】对于A，用复合命题真值表判断；对于B，用存在量词命题的否定方法判断；对于C判断原命题真假即可；对于D，利用充分条件、必要条件的定义判断即可作答.【详解】对于A，若为真命题，则，中至少一个为真命题，当，中只有一个为真命题时，为假命题，A不正确；对于B，命题“，”是存在量词命题，其否定为“，”，B正确；对于C，命题“若，则”是真命题，则其逆否命题是真命题，C正确；对于D，当时，函数在上单调递增，若，则，反之，若，当时，a，b可以都为负数，即不一定成立，所以“”是“”的必要不充分条件，D正确.故选：A5．（2021·吉林·长春外国语学校高三期中（文））在中，，则的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.【详解】因，则有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故选：B6．（2021·四川内江·一模（文））函数的图象如图所示，则下列结论成立的是A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】C【详解】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以，，由即，即函数的零点，故选C．考点：函数的图像 7．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（文））已知数列的前项和为，且，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据，由求解.【详解】因为，所以当时，，当时，又适合上式，所以，所以当时，取得最小值1，故选：A.8．（2021·陕西汉中·高三月考（文））设数列的前n项和为，且，则使得成立的最大正整数n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据错位相减求和法求出，结合选项把n的值代入计算验证即可.【详解】由题意，得，①，则②，①-②，得所以，当时，，当时，，所以要使成立的最大正整数为.故选：B9．（2021·贵州毕节·三模（文））“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年是“干支纪年法”中的（）A．甲辰年 B．乙巳年 C．丙午年 D．乙未年【答案】D【分析】按照题中规律依次从2021年倒推，列举到2015年，即可得到答案.【详解】依题意，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．2021年是辛丑年，2020年为庚子，2019年是己亥年，2018年是戊戌年，2017年是丁酉年，2016年是丙申年，2015年是乙未年.故选：D.【点睛】关键点点睛:本题的解题关键在于根据题意理解“干支纪年法”的定义，根据规律突破难点即可.10．（2021·吉林长春·一模（文））给出下列命题：①若的三条边所在直线分别交平面于三点，则三点共线；②若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线是异面直线；③若三条直线两两平行且分别交直线于三点，则这四条直线共面；④对于三条直线，若，，则. 其中所有真命题的序号是（）A．①② B．①③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】根据平面的基本性质，以及空间中两直线的位置关系，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，若的三条边所在直线分别交平面于三点，可得且平面，所以三点必在两平面的交线上，所以三点共线，所以①正确；对于②中，若直线是异面直线，直线是异面直线，则直线可能相交，平行或异面直线，所以②错误；对于③中，若三条直线两两平行且分别交直线于三点，由公理3可得这四条直线共面，所以③正确；对于④中，例如：若是过长方体一顶点的三条棱，则满足若，，此时与相交，所以④错误.其中所有真命题的序号是①③.故选：B.11．（2021·山西·怀仁市第一中学校高三期中（文））已知函数的最小正周期为，其最小值为，且满足，则(    )A． B． C．或 D．【答案】D【分析】利用辅助角公式和周期公式求出，由最小值即可求出，再根据求出的值.【详解】由辅助角公式可得：.因为，，所以.又最小值为，所以.又，所以.因为，所以关于对称，所以.因为，所以，.故选：D.12．（2021·甘肃靖远·高三开学考试（文））已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，再通过通径的性质有即可得解.【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长交椭圆另一交点为，由再结合椭圆的对称性，易知，所以，由椭圆过焦点的弦通径最短，所以当垂直轴时，最短，所以，所以，解得.故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2021·陕西渭滨·二模（文））已知是定义在上的奇函数，当时，，___________．【答案】【分析】因是定义在上的奇函数，所以，从而可求，再由奇函数的定义即可求出的值.【详解】解：是定义在上的奇函数，又当时，，，，当时，，，故答案为：.14．（2021·云南·曲靖一中模拟预测（文））若实数满足约束条件，则取最大值时，的最小值为______．【答案】【分析】由约束条件可得可行域，当取最大值时，直线在轴截距最大，利用数形结合的方式可确定当过时最大，利用可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当时，直线在轴截距最大，，，则由图形可知：当过时，在轴截距最大，由得：，即，，（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故答案为：.【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有：①截距型：，将问题转化为在轴截距的问题；②斜率型：，将问题转化为与连线斜率的问题；③两点间距离型：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：，将问题转化为到直线的距离的倍的问题.15．（2021·广西崇左·二模（文））设点P是直线上的动点，过点P引圆的切线（切点为），若的最大值为，则该圆的半径r等于____．【答案】1【分析】设圆的圆心为，由题意可知，当与直线垂直时，取得最大值，然后利用点到直线的距离公式求出的最小值，因为为，可得，进而可求出圆的半径【详解】设圆的圆心为，因为点P是直线上的动点，所以当点到点的距离最小时，取得最大值，此时与直线垂直，因为为，所以，点到直线的距离为，在中，，故答案为：116．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三月考（文））已知正方体的棱长为2，点E是棱的中点，点在平面内，若，，则的最小值为_________．【答案】．【分析】由已知求得F的轨迹，再由CE⊥BG分析得到，G的轨迹，然后数形结合即可求得|FG|的最小值．【详解】如图，取A1D1的中点O，连接EO，FO，则EO⊥平面A1B1C1D1，连接OE，由，OE＝2，可得OF＝1，则F在以O为圆心，以1为半径的圆上，取CD中点K，连接BK，在正方形ABCD中，由E为AD的中点，K为CD的中点，可得CE⊥BK，取C1D1的中点H，连接KH，B1H，由BB1∥KH，BB1＝KH，得四边形BB1HK为平行四边形，则BK∥B1H，得G在线段B1H上．过O作OG⊥B1H，交半圆弧于F，则|FG|为要求的最小值．由已知可得，设|OG|＝h，由等面积法可得，，可得h，∴|FG|的最小值为．故答案为:．【点睛】关键点点睛：求得F，G的轨迹，转化成问题平面化是关键三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021·山西·三模（文））我国是世界最大的棉花消费国、第二大棉花生产国，其中，新疆棉产量约占国内产量的87%，消费量约占国内消费量的67%．新疆棉的品质高：纤维柔长，洁白光泽，弹性良好，各项质量指标均超国家标准．尤其是被授予“中国彩棉之乡”称号的新疆建设兵团一四八团生产的天然彩棉，株型紧凑，吐絮集中，品质优良，色泽纯正、艳丽，手感柔软，适合中高档纺织．新疆彩棉根据色泽、手感、纤维长度等评分指标打分，得分在区间内分别对应四级、三级、二级、一级．某经销商从采购的新蚯彩棉中随机抽取20包（每包1kg），得分数据如图．（1）试统计各等级数量，并估计各等级在该批彩棉中所占比例；（2）用样本估计总体，经销商参考以下两种销售方案进行销售：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；方案2：分等级卖出，不同等级的新疆彩棉售价如下表所示：等级一级二级三级四级售价（万元/吨）若从经销商老板的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由．【答案】（1）答案见解析；（2）答案、理由见解析．【分析】（1）根据茎叶图计算出数量以及比例.（2）计算出方案的彩棉售价平均值，由此作出决策.【详解】（1）得分在（0，25]内的有19，21，共2个，所以四缓彩棉在该批彩棉中所占比例为；得分在（25，50]内的有27，31，36，42，45，48，共6个，所以三级彩棉在该批彩棉中所占比例为；得分在（50，75]内的有51，51，58，63，65，68，73，共7个，所以二级彩棉在该批彩棉中所占比例为；得分在（75，100]内的有76，79，83，85，92，共5个，所以一级彩棉在该批彩棉中所占比例．（2）解答一：选用方案2，理由如下：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；设方案2的彩棉售价平均值为万元/吨，则．因为，所以从经销商老板角度考虑，采用方案2时销售利润比较大，应选方案2．解答二：选用方案1，理由如下：方案1：不分等级卖出，单价为1.79万元/吨；设方案2的彩棉售价平均值为．则，因为，但（万元）差别较小．所以从经销商老板后期对彩棉分类的人力资源和时间成本角度考虑，采用方案1比较好．18．（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文））在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的空格处：已知是公差为的等差数列的前项和，是公比为的等比数列的前项和，___________，若，．是否存在正实数，使得对任意的正自然数，不等式恒成立，若恒成立，求出正实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】选①：；选②：；选③：不存在满足条件的，理由见解析.【分析】根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质求出，以及的值，若选①：由的值可求出的值，再由等比数列的求和公式可得，分离，由单调性即可求解；若选②：求出，的值，分为奇数和偶数求出，即可得的取值范围；若选③：求出以及的值，即可得，由函数的单调性即可求解.【详解】因为，所以，所以，所以．可得：，若选①，因为，所以，可得，所以若，可得，可得，当时，最大为，所以，所以，又，所以的取值范围为；若选②，因为，所以，所以，所以，所以当为偶数时，，则；当为奇数时，，由得综上得的取值范围为；若选③，由得，所以，所以，由指数函数的性质可知无最大值，所以不存在正数，使得．19．（2021·安徽·池州市第一中学模拟预测（文））如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据已知可得，进而有≌，可得，即，从而证得平面，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线和底面半径的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形边长，在等腰直角三角形中求出，在中，求出，即可求出结论.【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，，是圆内接正三角形，，≌，，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，，解得，，在等腰直角三角形中，，在中，，三棱锥的体积为.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（文））在平面直角坐标系中，为坐标原点，动点到两点的距离之和为4.（1）试判断动点的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程；（2）已知直线与圆交于､两点，与曲线交于､两点，其中､在第一象限.为原点到直线的距离，是否存在实数，使得取得最大值，若存在，求出；不存在，说明理由.【答案】（1）动点的轨迹是椭圆，轨迹方程为；（2）存在，.【分析】（1）根据椭圆定义得方程；（2）分析可知，再代入消元，用韦达定理及弦长公式得到的函数关系式，再求最值.【详解】（1）由题意知，，又，所以，动点的轨迹是椭圆.由椭圆的定义可知，，，又因为所以，故的轨迹方程.（2）由题设可知，、一个椭圆外，一个在椭圆内；、一个在内，一个在外，在直线上的四点满足：由消去得：，恒成立.设，，由韦达定理，得，.所以，到距离，，当且仅当，即时等号成立.验证可知满足题意.，21．（2021·陕西·西安中学高三月考（文））已知函数.（1）设曲线在处的切线为，求证：；（2）若有两个根，，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先利用导数的几何意义求出切线，然后令，再利用导数求出的最小值大于等于零即可得结论；（2）不妨设，由于直线与相交于点，由（1）可得，所以只要证即可，即证，构造函数，利用导数求其最小值非负即可【详解】证明：（1）由于，则，又，所以在处的切线方程为，即，令，则，于是当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，故，即.（2）不妨设，直线与相交于点，又由（1）知：，则，从而，当且仅当，时取等号.下证：.由于，所以，即证：，令，则，当时，；当，；所以在上单调递减，在上单调递增；故，即成立，当且仅当，时取等号.由于等号成立的条件不能同时满足，所以.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义的应用，考查利用导数证明不等式，解题的关键是在第2问中设，直线与相交于点，又由（1）知：，则，从而，所以将问题转化为证，进一步转化为证明，然后构造函数，利用导数求其最值即可，考查计算能力和转化思想，属于较难题请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2021·河南·高三月考（文））在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数且），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）说明是哪种曲线，并将的方程化为极坐标方程；（2）设点的极坐标为，射线与的交点为（异于极点），与的交点为（异于极点），若，求的值．【答案】（1）是圆心为，半径为的右半圆，；（2）．【分析】（1）利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；（2）利用极坐标的几何意义和三角函数关系式求解.【详解】（1）因为曲线的参数方程为，所以是圆心为，半径为的右半圆，所以的直角坐标方程为，由，，，得，所以的极坐标方程为．（2）设，，∵，∴，，，，因为，所以或（舍）．【点睛】方法点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式；直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用.23．（2021·河南·高三开学考试（文））已知函数．（1）求不等式的解集．（2）已知函数的最小值为，且，，都是正数，，证明：．【答案】（1）；（2）证明见解析【分析】（1）根据绝对值不等式的解法即可求解；（2）先求出的最小值，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：（1）且，即，即，解得：，故不等式的解集为；（2）证明：，则，则，，当且仅当时，取等号，即.